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高中数学第十一章知识点总结(精华版)——概率


高中数学第十一章-概率
考试内容:
随机事件的概率.等可能性事件的概率.互斥事件有一个发生的概率.相互独立事件同时发 生的概率.独立重复试验.

考试要求:
(1)了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义. (2)了解等可能性事件的概率的意义,会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的 概率。 (3)了解互斥事件、相互独立事件的意义,会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件 的概率乘法公式计算一些事件的概率. (4)会计算事件在 n 次独立重复试验中恰好发生κ 次的概率.

§ 概率 知识要点 11.
1. 概率:随机事件 A 的概率是频率的稳定值,反之,频率是概率的近似值. 2. 等可能事件的概率:如果一次试验中可能出现的结果有年 n 个,且所有结果出现的可能 性都相等,那么,每一个基本事件的概率都是 么事件 A 的概率 P(A)
? m n 1 n

,如果某个事件 A 包含的结果有 m 个,那

.

3. ①互斥事件:不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件 A、B 互斥,那么事件 A+B 发生(即 A、B 中有一个发生)的概率,等于事件 A、B 分别发生的概率和,即 P(A+B)=P(A)+P(B),推广: P(A 1 ? A 2 ? ? ? A n ) ? P(A 1 ) ? P(A 2 ) ? ? ? P(A n ) . ②对立事件:两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件. 例如:从 1~52 张扑克牌中任 ............... 取一张抽到“红桃”与抽到“黑桃”互为互斥事件,因为其中一个不可能同时发生,但又不能保 证其中一个必然发生,故不是对立事件.而抽到“红色牌”与抽到黑色牌“互为对立事件,因为 互斥 其中一个必发生. 对立 注意:i.对立事件的概率和等于 1: P(A) ? P( A ) ? P(A ? A ) ? 1 . ii.互为对立的两个事件一定互斥,但互斥不一定是对立事件. ③相互独立事件:事件 A(或 B)是否发生对事件 B(或 A)发生的概率没有影响.这样的两个事 件叫做相互独立事件. 如果两个相互独立事件同时发生的概率, 等于每个事件发生的概率的 积,即 P(A· B)=P(A)· P(B). 由此,当两个事件同时发生的概率 P(AB)等于这两个事件发生 概率之和,这时我们也可称这两个事件为独立事件.例如:从一副扑克牌(52 张)中任抽一 张设 A:“抽到老 K”;B:“抽到红牌”则 A 应与 B 互为独立事件[看上去 A 与 B 有关系很有 可能不是独立事件,但 P(A)
? 4 52 ? 1 13 , P(B) ? 26 52 ? 1 2
? B) ? 2 52 ?

, P(A) ? P(B) ?

1 26
1

.又事件 AB 表示“既抽到老 ,因此有 P(A)
2

K 对抽到红牌”即“抽到红桃老 K 或方块老 K”有 P(A 推广:若事件 A 1 ,A 2 , ? ,A n 相互独立,则 P(A
1

? P(B) ? P(A ? B )

.

26

?A 2 ? A n ) ? P(A 1 ) ? P(A

) ? P(A

n

)

.

注意:i. 一般地,如果事件 A 与 B 相互独立,那么 A 与 B , A 与 B, A 与 B 也都相互独立. ii. 必然事件与任何事件都是相互独立的.

iii. 独立事件是对任意多个事件来讲,而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件,且这多个 事件不能同时发生,故这些事件相互之间必然影响,因此互斥事件一定不是独立事件. ④独立重复试验: n 次重复试验中, 若 每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果, 则称这 n 次试验是独立的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为 P,那么在 n 次独立重复 试验中这个事件恰好发生 k 次的概率: P n (k) 4. 对任何两个事件都有 P ( A ? B ) ?
? C n P (1 ? P)
k k n?k

.

P ( A) ? P ( B ) ? P ( A ? B )

第十二章-概率与统计
考试内容: 抽样方法.总体分布的估计. 总体期望值和方差的估计. 考试要求: (1)了解随机抽样了解分层抽样的意义,会用它们对简单实际问题进行抽样. (2)会用样本频率分布估计总体分布. (3)会用样本估计总体期望值和方差.

§ 概率与统计 知识要点 12.
一、随机变量. 1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件: ①试验可以在相同的情形下重复进行; ②试验的所有可能结果是明确可知的, 并且不止一个; ③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个, 但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现 哪一个结果. 它就被称为一个随机试验. 2. 离散型随机变量:如果对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随 机变量叫做离散型随机变量.若 ξ 是一个随机变量,a,b 是常数.则 ? ? a ? ? b 也是一个随机变 量.一般地, ξ 是随机变量, f ( x ) 是连续函数或单调函数, f (? ) 也是随机变量.也就是说, 若 则 随机变量的某些函数也是随机变量. 设离散型随机变量 ξ 可能取的值为: x 1 , x 2 , ? , x i , ? ξ 取每一个值 x 1 ( i ? 1, 2 , ? ) 的概率 P (? ? x i ) ? p i ,则表称为随机变量 ξ 的概率分布,简称 ξ 的 分布列.
?
x1 p1 x2 p2



xi pi

… …

P 有性质① p 1 ?

0 , i ? 1, 2 , ?



… ② p1? p 2 ? ? ? p i ? ? ? 1 .

注意:若随机变量可以取某一区间内的一切值,这样的变量叫做连续型随机变量.例如: ? ? [ 0 , 5 ] 即 ? 可以取 0~5 之间的一切数,包括整数、小数、无理数. 3. ⑴二项分布:如果在一次试验中某事件发生的概率是 P,那么在 n 次独立重复试验中这个 事件恰好发生 k 次的概率是: P( ξ
? k) ? C n p q
k k n?k

[其中 k

? 0 ,1, ? , n , q ? 1 ? p

]

于是得到随机变量 ξ 的概率分布如下:我们称这样的随机变量 ξ 服从二项分布,记作 ? ~B (n· p),其中 n,p 为参数,并记 C k p k q n ? k ? n
b(k; n ? p)

.

⑵二项分布的判断与应用. ①二项分布,实际是对 n 次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行 n 次独立重复,且 每次试验只有两种结果,如果不满足此两条件,随机变量就不服从二项分布.

②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小, 而每次抽取时又只有 两种试验结果,此时可以把它看作独立重复试验,利用二项分布求其分布列. 4. 几何分布:“ ? ? k ”表示在第 k 次独立重复试验时,事件第一次发生,如果把 k 次试验时 事件 A 发生记为 A k ,事 A 不发生记为 A k , P(A 相互独立事件的概率乘法分式: P( ξ ? k) 到随机变量 ξ 的概率分布列.
?
k

)?q

,那么 P( ξ ? k)

? P( A 1 A 2 ? A k ? 1 A k )
k ?1

.根据

? P( A 1 )P( A 2 ) ? P( A k ? 1 )P(A

k

) ?q

p ( k ? 1, 2 ,3 , ? )

于是得

1 q

2 qp
p) ? q

3
q p
k ?1
2

… … ,其中 q
? 1 ? p.

k
q
k ?1


p

P



我们称 ξ 服从几何分布,并记 g(k,

p

k ? 1, 2 ,3 ?
? n ? N)

5. ⑴超几何分布:一批产品共有 N 件,其中有 M(M<N)件次品,今抽取 n(1 则 其 中 的 次 品 数
P( ξ ? k) ? C
k M

件,

ξ

是 一 离 散 型 随 机 变 量 , 分 布 列 为 .〔分子是从 M 件次品中取 k 件,从 N-M 件正

?C C
n N

n?k N?M

? (0 ? k ? M,0 ? n ? k ? N ? M )

品中取 n-k 件的取法数,如果规定 m < r 时 C mr ?

0

,则 k 的范围可以写为 k=0,1,…,n.〕

⑵超几何分布的另一种形式: 一批产品由 a 件次品、 件正品组成, b 今抽取 n 件 (1≤n≤a+b) , 则次品数 ξ 的分布列为 P( ξ
? k) ? C a ?C
k n?k b

C

n a?b

k ? 0,1, ? , n.

.

⑶超几何分布与二项分布的关系. 设一批产品由 a 件次品、b 件正品组成,不放回抽取 n 件时,其中次品数 ξ 服从超几何分布. 若放回式抽取,则其中次品数 ? 的分布列可如下求得:把 a ? b 个产品编号,则抽取 n 次共有
(a ? b)
n

个 可 能 结 果 , 等 可 能 :
Cna b (a ? b)
k k n?k n

(η ? k)



Cna b
a

k

k

n?k

个 结 果 , 故 .[我们先为 k 个次品

P( η ? k) ?

?C n (
k

a a ? b

) (1 ?
k

a a ? b

)

n?k

, k ? 0,1,2, ? , n

,即 ? ~ B ( n ?

a ?b

)

选定位置,共 C kn 种选法;然后每个次品位置有 a 种选法,每个正品位置有 b 种选法] 可以 证明:当产品总数很大而抽取个数不多时, P( ξ
? k) ? P( η ? k)

,因此二项分布可作为超几何

分布的近似,无放回抽样可近似看作放回抽样. 二、数学期望与方差. 1. 期望的含义:一般地,若离散型随机变量 ξ 的概率分布为
?
x1 p1 x2 p2



xi pi



P 则称 E ?

? x1p1? x 2 p 2 ? ? ? x n p n ? ?

… … 为 ξ 的数学期望或平均数、 均值.数学期望又简称期望.数学

期望反映了离散型随机变量取值的平均水平. 2. ⑴随机变量 ? ? a ? ? b 的数学期望: E ? ? E ( a ? ? b ) ? aE ? ? b ①当 a ? 0 时, E ( b ) ? b ,即常数的数学期望就是这个常数本身. ②当 a ? 1 时, E (? ? b ) ? E ? ? b ,即随机变量 ξ 与常数之和的期望等于 ξ 的期望与这个常数 的和. ③当 b
?0

时, E ( a ? ) ?

aE ?

,即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的

乘积. ⑵单点分布: E ? ⑶两点分布: E ? q = 1) ⑷二项分布: E ?

其分布列为: P (? ? 1) ? c . (p + ? 0 ? q ? 1 ? p ? p ,其分布列为:
? c ?1 ? c

ξ P

0 q

1 p

?

?
1 p

k?

n! k ! ( n ? k )!

p ?q
k

n?k

? np

其分布列为 ? ~ B ( n ,

p ) .(P

为发生 ? 的概率)

⑸几何分布: E ?

?

其分布列为 ? ~ q ( k ,

p)

.(P 为发生 ? 的概率)
? x k ) ? p k ( k ? 1, 2 , ? )

3.方差、标准差的定义:当已知随机变量 ξ 的分布列为 P (?
D? ? ( x 1 ? E? ) p 1 ?( x 2 ? E? ) p 2 ? ? ? ( x n ? E? ) p n ? ?
2 2 2

时,则称 为ξ的

为 ξ 的方差. 显然 D ?

? 0

,故 ??

?

D? .

??

根方差或标准差.随机变量 ξ 的方差与标准差都反映了随机变量 ξ 取值的稳定与波动,集中 与离散的程度. D ? 越小,稳定性越高,波动越小. . ............. 4.方差的性质. ⑴随机变量 ?
? a? ? b
? 0 ?

的方差 D (? ) ?

D (a? ? b) ? a D ?
2

.(a、b 均为常数) 0 q 1 p

⑵单点分布: D ? ⑶两点分布: D ? ⑷二项分布: D ? ⑸几何分布: D ?

? npq

其分布列为 P (? ? 1) ? p ξ pq 其分布列为:(p + q = 1) P
q p
2

?

5. 期望与方差的关系. ⑴如果 E ? 和 E ? 都存在,则 E (? ? ? ) ? E ? ? E ? ⑵设 ξ 和 ? 是互相独立的两个随机变量,则 E (?? ) ? E ? ? E ? , D (? ? ? ) ? D ? ? D ? ⑶ 期 望 与 方 差 的 转 化 : D? ? E? ?(E? ) ⑷ E (? ? E ? ) ? E (? ) ? E ( E ? ) ( 因 为 E ? 为 一 常 数 ) ? E? ? E? ? 0 .
2 2

三、正态分布.(基本不列入考试范围) 1.密度曲线与密度函数:对于连续型随机变量 ξ,位于 x 轴上方,ξ 落在任一区间 [ a , b ) 内的
y 概率等于它与 x 轴.直线 x ? a 与直线 x ? b 所围成的曲边梯形的面积 (如图阴影部分)的曲线叫 ξ 的密度曲线,以其作为 图像的函数 f ( x ) 叫做 ξ 的密度函数,由于“ x ? ( ?? , ?? ) ”


y = f(x )

是必然事件,故密度曲线与 x 轴所夹部分面积等于 1.
a b

x

2. ⑴正态分布与正态曲线: 如果随机变量 ξ 的概率密度为:f ( x )

?

1 2? ?

?

(x?? ) 2?
2

2

e

.( x ? R , ? , ?

为常数,且 ?

? 0 ),称

ξ 服从参数为 ? , ? 的正态分布,用 ? ~ N ( ? ,?

2

)

表示.

f (x)

的表达式

可简记为 N ( ? ,?

2

)

,它的密度曲线简称为正态曲线.
2

⑵正态分布的期望与方差:若 ? ~ N ( ? ,? ⑶正态曲线的性质.

)

,则 ξ 的期望与方差分别为: E ?

? ? , D ? ??

2

.

①曲线在 x 轴上方,与 x 轴不相交. ②曲线关于直线 x ? ? 对称. ③当 x ? ? 时曲线处于最高点,当 x 向左、向右远离时,曲线不断地降低,呈现出“中间高、 两边低”的钟形曲线. ④当 x < ? 时,曲线上升;当 x > ? 时,曲线下降,并且当曲线向左、向右两边无限延伸时, 以 x 轴为渐近线,向 x 轴无限的靠近. ⑤当 ? 一定时,曲线的形状由 ? 确定,? 越大, 曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散;? 越 小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中. 3. ⑴标准正态分布:如果随机变量 ξ 的概率函数为 ? ( x ) ?
1 2?
? x
2

e

2

( ?? ? x ? ?? )

,则称 ξ 服

从标准正态分布. 即 ? ~ N ( 0 ,1) 有 ? ( x ) ? P (? ? x ) , ? ( x ) ? 1 ? ? ( ? x ) 求出,而 P(a< ξ ≤b)的 计算则是 P ( a ? ? ? b ) ? ? ( b ) ? ? ( a ) . 注意:当标准正态分布的 ? ( x ) 的 X 取 0 时,有 ? ( x ) ? 0 . 5 当 ? ( x ) 的 X 取大于 0 的数时,有
? ( x ) ? 0 .5

.比如 ? (

0 .5 ? ?

?

) ? 0 . 0793 ? 0 . 5



0 .5 ? ?

?

必然小于 0,如图.
2



y S

⑵正态分布与标准正态分布间的关系:若 ? ~ N ( ? ,? 常用 F ( x ) 表示,且有 P( ξ
? x) ? F(x) ? ? ( x ?μ σ ).

)

则 ξ 的分布函数通
x a 标准正态分布曲线 S阴=0.5 Sa=0.5+S

4.⑴“3 ? ”原则. 假设检验是就正态总体而言的,进行假设检验可归结为如下三步:①提出统计假设,统计假 设里的变量服从正态分布
( ? ? 3? , ? ? 3? )
N ( ? ,? )
2

.② 确 定 一 次 试 验 中 的 取 值

a

是否落入范围

a ? ( ? ? 3? , ?

.③ 做 出 判 断 : 如 果 a ? ( ? ? 3? , ? ? 3? ) , 接 受 统 计 假 设 . 如 果 ? 3? ) ,由于这是小概率事件,就拒绝统计假设.
2

⑵“3 ? ”原则的应用: 若随机变量 ξ 服从正态分布 N ( ? ,? 为 99.7% 亦即落在 ( ?
? 3? , ? ? 3? )

)

则 ξ 落在 ( ?

? 3? , ? ? 3? )

内的概率

之外的概率为 0.3%,此为小概率事件,如果此事件发生

了,就说明此种产品不合格(即 ξ 不服从正态分布).



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