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二元一次不等式组与简单的线性规划问题


(五)二元一次不等式组与简单的线性规划问题
一、知识归纳: 1.二元一次不等式表示的平面区域: 二元一次不等式 Ax ? By ? C ? 0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax ? By ? C ? 0 某一侧所有点组成的平面 区域.(虚线表示区域不包括边界直线). 对于在直线 Ax ? By ? C ? 0 同一侧的所有点 ( x, y ) ,实数 Ax ? By ? C 的符号相同,所以只需在此直线的 某一侧取一特殊点( x0,y0),从 Ax0 ? By0 ? C 的正负即可判断 Ax ? By ? C ? 0 表示直线哪一侧的平面区域 . (特殊地,当 C≠0 时,常把原点作为此特殊点) 2.线性规划: 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题. 满足线性约束条件的解 ( x, y ) 叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域。分别使目标函数取得最 大值和最小值的可行解叫做最优解. 3.线性规划问题应用题的求解步骤: (1)先设出决策变量,找出约束条件和线性目标函数; (2)作出相应的图象(注意特殊点与边界) (3 )利用图象,在线性约束条件下找出决策变量 , 使线性目标函数达到最大 (小) 值;在在求线性目标函数

z ? mx ? ny 的最大(小)时,直线 mx? ny ? 0 往右 (左) 平移则值随之增大(小),这样就可在可行域中确定最优解.
二、例题分析: 例 1.①画出不等式 2 x ? y ? 6 ? 0 表示的平面区域;②点 (?2, t ) 在直线 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 的上方,则 t 的取值

?x ? y ? 5 ? 0 ? 范围是________;③画出不等式组 ? x ? y ? 0 表示的平面区域. ?x ? 3 ? ? x ? 4 y ? ?3 ? 例 2.设 x , y 满足约束条件: ?3 x ? 5 y ? 25 ,分别求下列目标函数的的最大值与最小值: ?x ? 1 ?
2 2 (1) z ? 6 x ? 10 y ; (2) z ? 2 x ? y ; (3) z ? 2 x ? y ( x , y 是整数) ; (4) ? ? x ? y ; (5) ? ?

y . x ?1

例 3.甲乙两个粮库要向 A、B 两镇运送大米,已知甲库可调出 100 吨大米,乙库可调出 80 吨大米,A 镇需 70 吨大米,B 镇需 110 吨大米,两库到两镇的路程和运费如下表: 路程/km 甲库 A镇 B镇 20 25 乙库 15 20 运费(元﹒ t 甲库 12 10
?1

? km?1 )
乙库 12 8

(1)这两个粮库各运往 A、B 两镇多少吨大米?才能使总运费最省?此时总运费是多少? (2)最不合理的调运方案是什么?它使国家造成的损失是多少?
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例 4.预算用 2000 元购买单价为 50 元的桌子和 20 元的椅子,希望使桌、椅的总数尽可能的多。但椅子数不能 少于桌子数,且不多于桌子数的 1.5 倍。问桌子、椅子各买多少才合适? 四、练习题: (一)选择题: 1.不等式 x ? 2 y ? 0 表示的平面区域是

A.

B.

C.

D.

2.满足不等式 y 2 ? x 2 ? 0 的点 ( x, y ) 的集合(用阴影表示)是

A.
2

B.

C.

D.

3.若函数 y ? ax ? bx ? a 的图象与 x 轴有两个交点,则点 ( a, b) 在 aOb 平面上的区域(不含边界)为

A.

B.

C.

D.

?2 x ? y ? 1 ? 0 ? 4.不等式组 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 表示的平面区域是 ?x ? y ? 1 ?
A.一个正 ? 及几个内部 B.一个等腰 ? 及内部 C.一象限内的一无界区域 D.不含一象限的一个有界区域

?x ? y ?1 ? 0 ? 5.如果实数 x、 y 满足条件 ? y ? 1 ? 0 ,那么 2 x ? y 的最大值为 ?x ? y ?1 ? 0 ?
A. 2 B. 1 C. ?2 D. ? 3

? x ? 2 ? 0, ? 6.已知点 P(x,y)在不等式组 ? y ? 1 ? 0, 表示的平面区域上运动,则 z=x-y 的取值范围是 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
A.[-2,-1]
2 2

B.[-2,1]

C.[-1,2]

D.[1,2]

7.双曲线 x ? y ? 4 的两条渐近线与直线 x ? 3 围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是
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?x ? y ? 0 ? A. ? x ? y ? 0 ?0 ? x ? 3 ?

?x ? y ? 0 ? B. ? x ? y ? 0 ?0 ? x ? 3 ?

?x ? y ? 0 ? C. ? x ? y ? 0 ?0 ? x ? 3 ?

?x ? y ? 0 ? D. ? x ? y ? 0 ?0 ? x ? 3 ?

? x ? y ? 2 ? 0, ? 8.在平面直角坐标系中,不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0, 表示的平面区域的面积是 ?x ? 2 ?
A.4 2 B.4 C.2 2 D.2

?x ? 0 ?y ? 0 ? 9.在约束条件 ? 下,当 3 ? s ? 5 时,目标函数 z ? 3x ? 2 y 的最大值的变化范围是 ?x ? y ? s ? ? y ? 2x ? 4 A. [6,15] B. [7,15] C. [6,8] D. [7,8]
10. 已知平面区域 D 由以 A?1,3? 、 B?5,2? 、 C ?3,1? 为顶点的三角形内部和边界组成,若在区域 D 上有无穷多 个点 ? x, y ? 可使目标函数 z ? x ? my 取得最小值,则 m ? A. ? 2 B. ? 1 C. 1 D. 4 (二)填空题:

11.点 P(a,4) 到直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 的距离为 2 5 ,且 P 在 3x ? y ? 3 ? 0 表示的区域内,则 a ? _____

?x ? y ? 1 ? 0 ? 12.不等式组 ?4 x ? y ? 16 ? 0 表示的区域中,坐标是整数的点共有_________个。 ? x ? 0, y ? 0 ?
13.某实验室需购某种化工原料 106 千克,现在市场上该原料有两种包装,一种是每袋 35 千克,价格为 140 元;另一种是每袋 24 千克,价格为 120 元. 在满足需要的条件下,最少要花费 ___ 元.

? y?x ? 14.设变量 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最小值为_______ ? y ? 3x ? 6 ? ?x ? y ? 4 ? 15.已知点 P( x, y ) 的坐标满足条件 ? y ? x ,点 O 为坐标原点,则 | PO | 的最小值等于___,最大值等于____. ? x ?1 ?
(三)解答题: 16.某厂生产 A 与 B 两种产品,每公斤的产值分别为 600 元与 400 元.又知每生产 1 公斤 A 产品需要电力 2 千 瓦、煤 4 吨;而生产 1 公斤 B 产品需要电力 3 千瓦、煤 2 吨.但该厂的电力供应不得超过 100 千瓦,煤最多 只有 120 吨.问如何安排生产计划以取得最大产值? 17.某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少运送 180t 支援物资的任务,该公司有 8 辆载重量为 6t 的 A 型卡 车与 4 辆载重量为 10t 的 B 型卡车,有 10 名驾驶员.每辆卡车每天往返的次数为 A 型卡车 4 次,B 型卡车 3 次.每辆卡车每天往返的成本费为 A 型车 320 元,B 型车 504 元,请你给该公司调配车辆,使公司所花的成本 最低? 18.某公司准备进行两种组合投资,稳健型组合投资是由每份金融投资 20 万元,房地产投资 30 万元组成;进 取型组合投资是由每份金融投资 40 万元,房地产投资 30 万元组成。已知每份稳健型组合投资每年可获利 10 万元,每份进取型组合投资每年可获利 15 万元。若可作投资用的资金中,金融投资不超过 160 万元,
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房地产投资不超过 180 万元,那么这两种组合投资应注入多少份,才能使一年获利总额最多?

(五)二元一次不等式组与简单的线性规划问题参考答案
三、例题分析: 例 1①解:先画直线 2 x +y-6=0(画成虚线). 取原点(0,0) ,代入 2 x +y-6,∵2×0+0-6=-6<0, ∴原点在 2 x +y-6<0 表示的平面区域内,不等式 2 x +y-6<0 表示的区域如图: ②(t>2/3) ③ 解:不等式 x -y+5≥0 表示直线 x -y+5=0 上及右下方的点的集合, x +y≥0 表示直 线 x+y=0 上及右上方的点的集合, x≤3 表示直线 x=3 上及左方的点的集合.不等式组表 示平面区域即为图示的三角形区域: 例 2.解: (1)先作可行域,如下图所示中 ?ABC 的区域,且求得 A(5,2) 、 B(1,1) 、 C (1, 作出直线 l0 : 6 x ? 10y ? 0 , 再将直线 l0 平移 , 当 l0 的平行线 l1 过点 B 时 , 可使
x+y=0 5 5 B(- , ) 2 2 x-y+5=0 6 x=3 0 3 C(3,-3) x y A(3,8)

22 ) 5

z ? 6 x ? 10 y 达到最小值;当 l0 的平行线 l 2 过点 A 时,可使 z ? 6 x ? 10 y 达到
最大值。 故 zmin ? 6 ?1 ? 10?1 ? 16 , zmax ? 6 ? 5 ? 10? 2 ? 50 (2)同上,作出直线 l0 : 2 x ? y ? 0 ,再将直线 l0 平移,当 l0 的平行线 l1 过点 C 时,可使 z ? 2 x ? y 达到最小值;当 l0 的平行线 l 2 过点 A 时,可使 z ? 2 x ? y 达到最大值。 则 z min ? ?

12 , zmax ? 8 5

(3)同上,作出直线 l0 : 2 x ? y ? 0 ,再将直线 l0 平移,当 l0 的平行线 l 2 过点 A 时,可使 z ? 2 x ? y 达到最大 值, zmax ? 8 当 l0 的平行线 l1 过点 C 时,可使 z ? 2 x ? y 达到最小值,但由于

22 22 不是整数,点 C (1, ) 5 5

不是最优解,当 l0 过可行域内的点 (1,4) 时,可使 z ? 2 x ? y 达到最小值, zmin ? ?2 (4)? 表示区域内的点 ( x, y ) 到原点的距离的平方。则 ( x, y ) 落在点 B(1,1) 时,? 最小, ( x, y ) 落在点 A(5,2) 时, ? 最大,故 ?min ? 2 , ?max ? 25 ? 4 ? 29 (5) ? 表示区域内的点 ( x, y ) 与点 D(?1,0) 连线的斜率。则 ( x, y ) 落在点 A(5,2) 时, ? 最小, ( x, y ) 落在点

C (1,

22 1 11 ) 时, ? 最大,故 ? min ? , ?max ? 5 3 5

例 3.解:设甲粮库向 A 镇运送大米 x 吨,向 B 镇运送大米 y 吨,总运费为 z 元,则乙粮库向 A 镇运送大米

(700 ? x) 吨,向 B 镇运送大米 (110 ? y ) 吨,目标函数是 z ? 12? 20x ? 25?10y ? 15?12? (700? x) ? 20? 8 ? (110? y) ? 60x ? 90y ? 30200
第 4 页(共 6 页)

? x ? y ? 100 ? x ? y ? 100 ? x ? y ? 100 ?(700? x) ? (110? y ) ? 80 ? ? 其中线性约束条件是: ? ,即 ? ?0 ? x ? 70 ?0 ? x ? 70 ? ? ?y ? 0 ?y ? 0
可行域如右图。当 x ? 70, y ? 30 时,总运费最省 zmax ? 37100元 当 x ? 0, y ? 100 时,总运费最不合理 zmin ? 39200 元。 答:甲粮库要向 A 镇运送大米 70 吨,向 B 镇运送大米 30 吨,乙粮库要向 A 镇运送大米 0 吨,向 B 镇运送大米 80 吨,此时总运费最省,为 37100 元。 最不合理的调动方案是甲粮库要向 A 镇运送大米 0 吨,向 B 镇运送大米 100 吨,乙粮库要向 A 镇运送大米 70 吨,向 B 镇运送大米 10 吨,此时总运费为 39200 元,使国家造成损失 2100 元。

?x ? y ? y ? 1.5 x ? 例 4.解:设桌子、椅子分别买 x , y 张,共买 z ? x ? y 张,依题意,得 ? ?50x ? 20 y ? 2000 ? ? x, y ? N
可行域如图。

200 ? x? ? ?x ? y 200 200 ? 7 , ) 由? ,得 ? ,即 A( 7 7 ?50x ? 20y ? 2000 ? y ? 200 ? 7 ?

? x ? 25 ? y ? 1.5 x 75 ? 由? ,得 ? 75 ,即 B (25, ) 2 y? ?50x ? 20y ? 2000 ? 2 ?
由 z ? x ? y ,即直线 y ? ? x ? z 平移得知,当直线过点 B 时,即 x ? 25 , y ?

75 时,z 最大。 由于 y ? N , 故 y ? 37 2

答:买 25 张桌子、37 张椅子时是最优选择。 四、练习题: 一、选择题:1.D.2.B.3.C.4.B. 5. B. 6. C.7.A. 8.B.9.D. 10. C. 二、填空题: 11. a ? __ ;12. 10_个;13.500 元. 14.3_
2 2

15._ 2 __,_ 10 __.

?x ? y ? 0 ? 7.双曲线 x ? y ? 4 的两条渐近线方程为 y ? ? x ,与直线 x ? 3 围成一个三角形区域时有 ? x ? y ? 0 。 ?0 ? x ? 3 ?
9.由 ?

?x ? y ? s ?x ? 4 ? s 交点为 A(0,2), B(4 ? s,2s ? 4), C (0, s), C ?(0,4) , ?? ? y ? 2 x ? 4 ? y ? 2s ? 4
故选 D.

10.解选 C。由 A?1,3? 、 B?5,2? 、 C ?3,1? 的坐标位置知, ?ABC 所在的区域在第一象限,故

(1)当 3 ? s ? 4 时可行域是四边形 OABC,此时, 7 ? z ? 8 (2)当 4 ? s ? 5 时可行域是△OA C ? 此时, z max ? 8

x ? 0, y ? 0 。由 z ? x ? my 得 y ? ?

1 1 z x ? ,它表示斜率为 ? 。 m m m
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z 1 1? 3 最小,此时需 ? ? k AC ? ,即 m ? 1; m m 3 ?1 z 1 1? 2 (2)若 m ? 0 ,则要使 z ? x ? my 取得最小值,须使 最小,此时需 ? ? k BC ? ,即 m ? 2,与 m ? 0 矛盾。 m m 3?5 综上可知, m ? 1。
(1)若 m ? 0 ,则要使 z ? x ? my 取得最小值,必须使 13.解:设需 35 千克 x 袋,24 千克 y 袋,则目标函数 z ? 140x ? 120y 元,约束条件为

?35x ? 24 y ? 106 71 ,当 x ? 1 时, y ? ,即 y ? 3 ,这时 zmin ? 140? 120? 3 ? 500 ? 24 ? x, y ? N
三、解答题:

?2 x ? 3 y ? 100 ? 16.解:设生产 A 与 B 两种产品分别为 x 公斤,y 公斤,总产值为 Z 元。则 ?4 x ? 2 y ? 120 ? x ? 0, y ? 0 ?
且 z ? 600x ? 400y 作可行域: 作直线 l:600x+400y=0,即直线 l:3x+2y=0,把直线 l 向右上方平移至 l1 的位置时,直线经过可行域上的点 A,且与原点距离最大,此时 z=600x+400y 取最大值.解方程组

?2 x ? 3 y ? 100 ,得 A 的坐标为 x=20,y=20 ? ?2 x ? y ? 60

新疆 学案

王新敞

答:生产 A 产品 20 公斤、B 产品 20 公斤才能才能使产值最大。 17.解:设每天调出 A 型车 x 辆,B 型车 y 辆,公司所花的成本为 z 元,则

? x ? 8, y ? 4 ? x ? y ? 10 ? 有? ?4 x ? 5 y ? 30 ? ? x, y ? N ?
且 z ? 320x ? 504y ,由图解法可得最优整点解为(5,2),即每天调出 A 型车 5 辆,B 型车 2 辆时,公司所花的成本 最低。 18.解:设稳健型投资 x 份,进取型投资 y 份,利润总额为 z (×10 万元) , 则目标函数为 z ? ( x ? 1.5 y) (×10 万元) ,

?20x ? 40 y ? 160 ?x ? 2 y ? 8 ? ? 线性约束条件为: ?30x ? 30 y ? 180 ,即 ? x ? y ? 6 ? x ? 0, y ? 0 ? x ? 0, y ? 0 ? ?
作出可行域(图略) ,解方程组 ?

?x ? 2 y ? 8 ,得交点 M (4,2) ?x ? y ? 6

作直线 x ? 1.5 y ? 0 ,平移 l ,当 l 过点 M 时, z 取最大值: zmax ? (4 ? 3) ?10 万元=70 万元。
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