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高一数学求函数解析式方法


求函数解析式---f(x)

对对应法则f的理解

主要方法

1、代入法 2、换元法 3、配凑法 4、待定系数法 5、赋值法 6、方程组 7、根据图像求解析式

一.代入法

例1:已知 f ?x? ? x - 2 x ? 3 求 f ?x ? 1? 的解析式
2

已知f ?x ?解析式求f ?g ?x ??解析式

(整体代换)

基本方法:将函数f(x)中的x用g(x)来代替,化简得 函数表达式

练习: 1.已知 f ?x ? ? 3x ? 5 求 f ?2 x ? 1? 的解析式

2.已知a,b 为常数若

f ?x ? ? 2 x ? 1

f ?ax ? b? ? 4 x ? 1 求a, b

二.换元法
已知f(g(x)),求f(x)的解析式
一般的可用换元法,具体为:令t=g(x), 在求出f(t)可得f(x)的解析式。换元 后要确定新元t的取值范围。

二.换元法

f ( x ? 1) ? x ? 2 x ? 2 ,求f(x)及f(x+3)
2

解:令

t ? x ? 1, 则x ? t ? 1
2 2

? f ? t ? ? f ? x ? 1? ? ? t ? 1? ? 2 ? t ? 1? ? 2 ? t ? 1

? f ? x? ? x ?1 2 2 ? y ? f ? x ? 3? ? ( x ? 3) ?1 ? x ? 6x ?10
2

练习:
若f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则g(x)=

三.配凑法
把形如f(g(x))内的g(x)当做整体,在解析 式的右端整理成只含有g(x)的形式,再 把g(x)用x代替。 一般的利用完全平方公 式。

三.配凑法
f ( x ? 1) ? x 2 ? 2 x ? 2 ,求 例1.已知

求f ? x ? 及f (3), f ? x ? 3?。
解:
f ( x ? 1) ? x 2 ? 2 x ? 2

? x2 ? 2x ?1 ?1

? ( x ? 1) ? 1
2

? f ( x) ? x ? 1
2

? y ? f ? x ? 3? ? ( x ? 3) ?1 ? x ? 6x ?10
2 2

f ? 3? ? 10

练习:1.已知f(x+1)=x-3, 求f(x) 2.若 f ( x ? 1) ? x ? 2 x ,求 f (x)
的解析式

用适当的方法求下列函数的解析式
1 1 2 1.已知f ( x ? ) ? x ? 2 ? 6, 求f ( x)的解析式. x x

2.已知f (1 ? 2x) ? x2 ? 4x ?1, 求f ( x2 )的解析式

四.待定系数法

已知函数模型(如:一次函数,二 次函数,等)求解析式,首先设出 函数解析式,根据已知条件代入求 系数

四.待定系数法
1、已知f ( x)是一次函数, 若f [ f ( x)] ? 4 x ? 1, 求f ( x)的解析式。 2、已知f ( x)是二次函数, 若f ( x+1)+f ( x-1) ? 2 x -4 x+4, 求f ( x)的解析式。
2

五.方程组法
求抽象函数的解析式,往往通过变 换变量构造一个方程,组成方程组 ,利用消元法求f(x)的解析式

五.方程组法
?1? f ? x ? ? 2 f ? ? ? 3x ? x?

1、设f(x)满足关系式 求函数的解析式

2、若3f(x)+f(-x)=2–x,求f(x).

六.赋值法
一般的,已知一个关于x,y的抽象函数 ,利用特殊值去掉一个未知数y,得 出关于x的解析式。

例 已知定义在R上的函数f(x),对任意 2 f 实数x,y满足: ( x ? y) ? f ( x) ? 2 xy ? y ? y
且f (0) ? 1, 求 f

(x ).

解: 令x ? y得
f (0) ? f ( x) ? 2 x 2 ? x 2 ? x

f ( x) ? x ? x ? 1
2

例6:已知函数 f (x)对于一切实数 x, y 都有

f ( x ? y) ? f ( y) ? ( x ? 2 y ? 1) x 成立,且
f (1) ? 0
1.求 f (0) 的值

2.求f ( x)的解析式 .

七.根据图象写出解析式

观察图像的特点和特殊点,可用代入 法,或根据函数图像的性质进行解题。 注意定义域的变化。

如下图,函数图象是两 个部分抛物线构成,求解:当x ≥ 1时,函数图象是对称 轴为x=2,顶点坐标为(2,1)的 函数的解析式 图象
解析式为y=(x-2)2+1,x≥1 当x<1时,函数图象为是对称轴 x=0,顶点坐标为(0,1)的图象

解析式为 y=x2+1,x<1
函数的解析式为

{

y=x2+1,x<1 y=(x-2)2+1,x≥1

f(x)的图象如图,则f(x)=
3 y? x?3 当x∈[-2,0)时, 2 2 当x∈[0,3]时,y ? ? 3 x ?2 ? 3 x ? 3, x ? [-2,0) ∴f(x)= ? 2 ? - x , x ? [0,3] ? 3






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