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新人教版高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦余弦和正切公式3.1.1两角差的余弦公式优化练习新人

3.1.1 两角差的余弦公式

[课时作业]

[A 组 基础巩固]

1.化简 cos(45°-α )cos(α +15°)-sin(45°-α )sin(α +15°)的结果是( )

1

1

B.-2

A.2

3 D.- 2

3 C. 2

解析:原式=cos(α -45°)cos(α +15°)+sin(α -45°)sin(α +15°)

1 =cos[(α -45°)-(α +15°)]=cos(-60°)=2.

答案:A

2.已知 cos

α

5 =13,α

∈???32π

,2π

???,则 cos???α

-π4 ???的值等于(

)

22 B.- 13

52 A. 26

32 D. 13

72 C.- 26

解析:∵cos

α

5 =13,α

∈???32π

,2π

???,

∴sin α =-1132,

∴cos???α

-π4 ???=cos

α

cos

π 4

+sin

α

sin

π 4

= 22???153-1132???=-7262.

答案:C

3.已知 cos???θ +π6 ???=153,0<θ <π3 ,则 cos θ 等于(

)

B.12-135 3

A.5

3+12 26

D.6+153 3

C.5+2162 3

解析:∵θ ∈???0,π3 ???,∴θ +π6 ∈???π6 ,π2 ??? ∴sin???θ +π6 ???=1123.

又 cos θ =cos??????θ +π6 ???-π6 ???=5 32+6 12.
答案:A

4.若 cos(α -β )= 55,cos 2α = 1100,并且 α ,β 均为锐角且 α <β ,则 α +β 的值

为( )

B.π4

A.π6

5 D.6π

C.3π4

解析:因 α ,β 均为锐角,且 α <β , 所以-π2 <α -β <0,

25 所以 sin(α -β )=- 5 ,

3 10 又 0<2α <π ,故 sin 2α = 10 ,

所以 cos(α +β )=cos[2α -(α -β )] =cos 2α ·cos(α -β )+sin 2α ·sin(α -β )



10 10 ×

53 5+

1010×???-2

5

5???=-

2 2.

因为 α +β ∈(0,π ),所以 α +β =34π .

答案:C

2 5.不满足 sin α sin β = 2 -cos α cos β 的一组 α ,β 值是( )

A.α =π2 ,β =π4

B.α =23π ,β =51π2

C.α =23π ,β =1π2

D.α =π4 ,β =π2

解析:因为 sin α sin β = 22-cos α cos β ,所以 cos(α -β )= 22,经检验 C 中的 α ,

β 不满足. 答案:C

6.已知 cos???α -π3 ???=cos α ,则 tan α =________.

解析:cos???α

-π3 ???=cos

α

cosπ3 +sin

α

sinπ3

1 =2cos

α



3 2 sin

α

=cos

α





3 2 sin

α

1 =2cos

α

sin ,∴cos

α α



3 3 ,即 tan

α



3 3.

3 答案: 3

7.已知 a=(cos α ,sin β ),b=(cos β ,sin α ),0<β <α <π2 ,且 a·b=12,则 α -

β =________. 解析:a·b=cos α cos β +sin α ·sin β
=cos(α -β )=12,

又 0<β <α <π2 ,

所以 0<α -β <π2 ,故 α -β =π3 .

答案:π3

2cos 10°-sin 20°

8.化简

cos 20°

=________.







2cos 10°-sin 20° cos 20°





-sin 20°

cos 20°



3cos 20°+sin 20°-sin 20°

cos 20°

= 3.

答案: 3

9.已知 sin θ =15,θ ∈???π2 ,π ???,求 cos ???θ -π3 ???的值.

解析:因为 sin

θ

1 =5,θ

∈???π2 ,π ???,

所以 cos θ =- 1-sin2θ =-

1 26 1-25=- 5 .

所以 cos

???θ

-π3 ???=cos

θ

cos

π 3

+sin

θ

sin

π 3

=-2 5 6×12+15×

3 2



3-2 10

6.

[B 组 能力提升]

1.若 sin(π +θ )=-35,θ 是第二象限角,sin ???π2 +φ ???=-2 5 5,φ 是第三象限角,则
cos(θ -φ )的值是( )

5 B. 5

5 A.- 5

D. 5

11 5 C. 25

解析:因为 sin(π +θ )=-35,

3 所以 sin θ =5,

因为 θ 是第二象限角, 4
所以 cos θ =-5.

因为

sin

???π2

+φ

???=-2

5

5 ,

所以 cos φ =-2 5 5,

因为 φ 是第三象限角,所以 sin φ =- 55,

所以 cos(θ -φ )=cos θ ·cos φ +sin θ ·sin φ

=???-45???×???-2 5 5???+35×???-

55???=

5 5.

答案:B

2.已知 x∈R,sin x-cos x=m,则 m 的取值范围为()

B.- 2≤m≤ 2

A.-1≤m≤1

D.- 2≤m≤1

C.-1≤m≤ 2

解析:sin x-cos x=

2???

2 2 sin

x-

2 2 cos

x ???

= 2???sin3π4 sin x+cos34π cos x???

= 2cos ???x-3π4 ???,

因为 x∈R,所以 x-34π ∈R,

所以-1≤cos ???x-34π ???≤1, 所以- 2≤m≤ 2.
答案:B

3.已知 cos

α

1 =5,α

∈???0,π2 ???,则 cos

???α

-π3 ???=________.

解析:因为 cos α =15,α ∈???0,π2 ???,

所以 sin α = 1-cos2α =

1-???51???2=2

5

6 ,

所以 cos

???α -π3 ???=cos

α cos

π 3

+sin

α sin

π 3

=15×12+2 5 6×

23=1+160

2.

答案:1+160 2

4.已知 cos α -cos β =12,sin α -sin β =-13,求 cos(α -β ).

解析:∵cos α -cos β =12,①

1 sin α -sin β =-3,②
∴①2+②2, 得(cos α -cos β )2+(sin α -sin β )2=14+19

即 2-2cos α cos β -2sin α sin β =3163,

∴cos α cos β +sin α sin β =12×???2-1363???=5792,
59 ∴cos(α -β )=72.

5.已知函数 f(x)=2cos ???ω x+π6 ???(其中 ω >0,x∈R)的最小正周期为 10π .
(1)求 ω 的值;
(2)设 α ,β ∈???0,π2 ???,f???5α +53π ???=-65, f???5β -5π6 ???=1176,求 cos(α -β )的值.

解析:(1)由于函数 f(x)的最小正周期为 10π ,

所以

10π

=2ωπ

,所以

ω

1 =5.

(2)因为 f???5α +5π3 ???=-65,

所以 2cos ???15???5α +53π ???+π6 ???

=2cos

???α

+π2 ???=-65,所以 sin

α

3 =5,

又因为 f???5β -56π ???=1176,

所以 2cos

???15???5β

-56π

???+π6 ???=2cos

β

16 =17,

所以 cos β =187,

因为 α ,β ∈???0,π2 ???,
所以 cos α =45,sin β =1175,

cos(α -β )=cos α cos β +sin α sin β =45×187+35×1175=8757.



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