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微积分学PPt标准课件17-第17讲高阶导数_图文

高等院校非数学类本科数学课程

大 学 数 学(一)
—— 一元微积分学
第十七讲 高阶导数

脚本编写、教案制作:刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民

第四章 一元函数的导数与微分
本章学习要求: ? 理解导数和微分的概念。熟悉导数的几何意义以及函数的可 导、可微、连续之间的关系。 ? 熟悉一阶微分形式不变性。 ? 熟悉导数和微分的运算法则,能熟练运用求导的基本公式、 复合函数求导法、隐函数求导法、反函数求导法、参数方程 求导法、取对数求导法等方法求出函数的一、二阶导数和微 分。 ? 了解 n 阶导数的概念,会求常见函数的 n 阶导数。 ? 熟悉罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰 勒中值定理,并能较好运用上述定理解决有关问题(函数方 程求解、不等式的证明等)。 ? 掌握罗必塔法则并能熟练运用它计算有关的不定式极限。

第四章 一元函数的导数与微分
第三节 高阶导数
一. 高阶导数的概念 二. 高阶导数的运算法则
三. 隐函数及参数方程 确定的函数的高阶导数

一. 高阶导数的概念

(sin x)? ? cos x, (cos x)? ? ? sin x,

是 sin x 连续求两次导数的结果 . 称为函数sin x 的二阶导数 , 记为 (sin x)?? ? ((sin x)?)? ? (cos x)? ? ? sin x
一般说来 , 如果函数 f ( x) 的导函数 f ?( x) 仍然 可导, 则称 f ?( x) 的导数为原来函数 f ( x) 的二 阶导数 , 记为 f ??( x) ? ( f ?( x))?.

推而广之:
设 f ( x) 的 n ? 1 阶导数存在 , 它仍是 x 的函数 ,

若它可导 , 则称它的导数为原来函 数的n 阶导数 .
n 阶导数的记号为 :

f ( n ) ( x),

n n d f ( x ) d y (n) y , , . n n dx dx

f

( n)

( x) ? ( f

( n?1)

( x))?,

y ( n) ? ( y ( n?1) )?,
d n y d d n?1 y ? , n n ?1 dx dxdx

d f ( x) d d f ( x) ? , n n ?1 dx dx dx

n

n ?1

按照一阶导数的极限形式, 有
y (n)
( n ?1) ( n ?1) f ( x ? ? x ) ? f ( x) (n) ? f ( x) ? lim ?x ?x ?0


y (n)
x ? x0 ( n ?1) ( n ?1) f ( x ) ? f ( x0 ) (n) ? f ( x0 ) ? lim x ? x0 x ? x0

一个函数的导函数不一定再可导, 也不一定连

续. 如果函数 f ( x) 在区间 I 上有直到 n 阶的导数
f (n)(x) , 且 f (n)( x) 仍是连续的 (此时低于 n 阶的导

数均连续 ), 则称 f (x) 在区间 I 上 n 阶连续可导,
记为 f ( x) ? C n (I) 或 f ( x) ? C n .

如果 f (x) 在区间 I 上的任意阶的高阶导数均存
在且连续, 则称函数 f (x) 是无穷次连续可导的, 记为

f ( x ) ? C ? ( I) 或 f ( x ) ? C ? .

例1

求幂函数 y ? xn , n ? Z ? 的高阶导数 .
y? ? ( x )? ? n x
n n?1



n?1 n ?2 ? ? ? ? ? y ? ( y ) ? (n x ) ? n(n ?1) x

y??? ? ( y??)? ? n(n ?1)(n ? 2) x n?3
…………………………
y ( k ) ? ( y ( k ?1) )? ? n(n ?1)(n ? 2)?(n ? k ? 1) x n?k
(1 ? k ? n )

注意, 当 k = n 时

( x n )( n) ? n(n ?1)(n ? 2)?3 ? 2 ?1 ? n !
从而, 当 k ? n ? 1 时, ( x n )( k ) ? 0 .
综上所述:

(x )

n (k )

? n(n ? 1)?(n ? k ? 1) x

n?k

(1 ? k ? n ) ( k ? n ? 1)

( x n )( k ) ? 0

例2

求 y ? (ax ? b)n 的高阶导数.
当 1 ? k ? n 时,



y

(k )

? ((ax ? b) )

n (k )
n ?k

? n(n ?1)?(n ? k ? 1)(ax ? b)
当 k ? n ? 1 时,

?a

k

y (k ) ? 0

例3

多项式 Pn ( x) ? a0 x n ? a1 x n?1 ? ? ? an?1 x ? an
的高阶导数.



y' ? a0 nx

n?1

? a1 (n ? 1) x
n ?2

n?2

? ? ? an?1
n?3

y' ' ? a0 n(n ? 1) x

? a1 (n ? 1)(n ? 2) x

? ? ? 2an?2

………………
y ( n) ? a0 ? n!

y ( n?1) ? y ( n?2) ? ? ? 0

对多项式而言,

每求一次导数 , 多项式的次数降低一次 ;
n 次多项式的 n 阶导数为一常数 ;

大于多项式次数的任何阶数的导数均为 0 .

例4

求 y = ex 的各阶导数.
x ? y ?e



y?? ? ( y?)? ? (e x )? ? e x

??? ( n) x y ?e ???

y = ex 的任何阶导数仍为 ex
(n ? N )

(e x ) ( n ) ? e x

例5

求 y = ax 的各阶导数.



y' ? a ln a
x

x x 2 ? ? ? y' ' ? ( y ) ? (a ln a) ? a (ln a)

???
y
(k )

? a (ln a)
x

k

运用数学归纳法可得
(a )
x ( n)

? a (ln a)
x

n

(n ? Z )

?

例6

求 y = lnx 的各阶导数.
1 y? ? ? x ?1 ? (?1)1?1 (1 ?1)! x ?1 x
?2 2?1 ?2 ? ? y ? (?1) x ? (?1) x ? (?1)2?1 (2 ?1)! x ?2



y??? ? (?1)(?2) x ?3 ? (?1)3?1 (3 ?1)! x ?3

y
(k )

? (?1) (k ?1)! x

k ?1

?k



y ( k ?1) ? (?1) k ?1 (k ? 1)!(?k ) x ?k ?1
? (?1)( k ?1)?1[(k ? 1) ?1]! x ?( k ?1)

故由数学归纳法得

y n ? (ln x)( n) ? (?1)n?1 (n ?1)!x ?n
类似地, 有
(ln(ax ? b))
(n)

(n ? N )

? (?1)

n ?1

(n ? 1)!a (ax ? b) (n ? N )
n

?n

例7

1 求 y ? 的高阶导数 . x



1 ? y ? ? (ln x)? x

注意这里的方法

? y ( n) ? ((ln x)?)( n) ? (ln x)( n?1)
? (?1)
( n?1)?1

[(n ? 1) ?1] ! x
? ( n ?1)

?( n?1)

? (?1) n! x
n

y

(n)

? (ln x)

(n)

? (?1) (n ? 1)! x

n ?1

?n

(n ? N )



? x? ? ? ? (?1) n! x n ?( n ?1) ?1?
(n)

(n ? N )

类似地, 有

? 1 ? ? (?1) n n!a n (ax ? b) ?( n?1) ? ? ? ax ? b ?

(n)

例8

求 y ? sin x , y ? cos x 的各阶导数 .
y ? sin x
y? ? cos x ? sin( x ? 1 ? ) 2
y?? ? ? sin x ? sin( x ? 2 ? ) 2 y??? ? ? cos x ? sin( x ? 3 ? ) 2



?

?

?

看 出 结 论 没 有 ?

y

( 4)

? sin x ? sin( x ? 4 ? ) 2

?

运用数学归纳法可以证得
(sinx)
(n)

? sin( x ? n ? ) 2

?

(n ? Z )

?

类似地 , 可求得
(cosx)
(n)

? cos( x ? n ? ) 2

?

(n ? Z )

?

例9

d y y ? ln sin x , 求 . 2 dx
dy d ? (ln sin x) dx dx

2



cos x ? cot x ? sin x

d y d 2 ? ? csc x ? (cot x ) 2 dx dx

2

例10

y?e

sin x

, 求 y??.



sin x ? y ? e cos x

y?? ? e

sin x

cos x ? e
2 2

sin x

(? sin x)

?e

sin x

(cos x ? sin x)

二阶导数经常遇到, 一定要掌握.

例11

dx 1 d2 x y?? 试从 ? , 导出 ?? 3 2 dy y dy y?
2

( y, y? ? 0).

解 y? 与 y?? 是 y 对 x 的导数 ,

d x 是 x 对 y 的导数. 2 dy

由复合函数及反函数的求导法则, 得

d 2 x d dx d 1 ? ( )? ( ) 2 dy dy dy dy y?

1 y?

d ( y?) dy ?? ( y?) 2

d( y?) dx dx dy ?? ( y?) 2

y ?? ?? ( y ?) 3

例12

设 f ( x) 有任意阶导数 , 且满足 f ?( x) ? f 2 ( x), 求 f ( n ) ( x).
2 ? 对等式 f ( x) ? f ( x) 两边关于 x 求导, 得



f ??( x) ? 2 f ( x) f ?( x) ? 2 f 3 ( x), f ???( x) ? 2 ? 3 f 2 ( x) f ?( x) ? 2 ? 3 f 4 ( x), 设f
(k )

( x) ? k ! f

k ?1

( x), 则有
( k ?1)?1

f ( k ?1) ( x) ? k !? (k ? 1) f k ( x) f ?( x) ? (k ? 1) ! f
k ?2

( x) ? (k ? 1) !( f ( x))

,

由数学归纳法得

f ( n) ( x) ? n ! f n?1 ( x)

二.高阶导数的运算法则 两个基本公式
设 f (x), g(x) 有直到 n 阶的导数, 则 (1) ( f ( x) ? g ( x))( n) ? f ( n) ( x) ? g ( n) ( x) (2) 莱布尼兹公式
k ( n?k ) ( f ( x) ? g ( x))( n ) ? ? Cn f ( x) g ( k ) ( x) k ?0 n

n! 其中 , C ? . k !( n ? k ) !
k n

例13

d100 ? 1 ? 求 ?. 100 ? 2 d x ? x ? 5 x ? 6 ? ( x ?1 )( n ) ? (?1)n n ! x ? ( n?1)
1 1 1 1 ? ? ? , 2 ( x ? 2 )( x ? 3 ) x?2 x?3 x ? 5x ? 6

解 由于 故

100 100 d100 ? 1 d 1 d ? ? ? ? 1 ? ? ? 100 ? ? ? 100 ? ? 100 ? 2 d x ? x ? 5x ? 6 ? d x ? x ? 2 ? d x ? x ? 3 ?

? (?1)100100!( x ? 2)?101 ? (?1)100100!( x ? 3)?101

? ? 1 1 ? 100!? ? 101 101 ? ( x ? 3) ? ? ( x ? 2)

例14

设 y ? x sin x , 求 y
2

(80)

.

解 由莱布尼兹公式
y (80) ? ( x 2 sin x) (80)
79? ? C x sin( x ? 80 ? ) ? C (2 x) sin( x ? ) 2 2
0 80 2 1 80

?

? C ? 2 ? sin( x ? 78 ?
2 80

?
2

)

? x sin x ? 160x cos x ? 6320sin x
2

(sin x)

(n)

? sin( x ? n ? ) 2

?

( x 2 )? ? 2 x, ( x 2 )?? ? 2, ( x 2 ) ( n ) ? 0 (n ? 3)

例15

证明 f ( x) ? arcsin x 满足下式
2

(1 ? x ) f



?

( x) ? (2n ? 1) x f ( x) ? n f ( x) ? 0. 1? x2 f ?( x) ? 1 看出一点什么没有?
2 ( n)

( n ? 2)

( n?1)

x f ??( x) ? ? f ?( x) 2 2 2 1? x (1 ? x ) 1 ? x

x

? (1 ? x ) f ??( x) ? x f ?( x) ? 0
2

你打算怎么处理此式?

对上式关于 x 求导 n 次:
0 1 Cn (1 ? x2 )( f ??( x))( n) ? Cn (1 ? x2 )?( f ??( x))(n?1) 2 0 ( n) ? ? Cn (1 ? x2 )??( f ??( x))( n?2) ? Cn x ( f ( x)) 1 ? Cn ( x)?( f ?( x))( n?1) ? 0


(1 ? x ) f
2 ( n? 2)

( x) ? n(?2 x) f

( n ?1)

n(n ? 1) ( x) ? (?2) f ( n ) ( x) 2!
( n)

?xf

( n?1)

( x) ? n ?1? f

( x) ? 0



(1 ? x 2 ) f ( n?2) ? (2n ? 1) x f ( n?1) ( x) ? n2 f ( n) ( x) ? 0

三. 隐函数及参数方程 确定的函数的高阶导数
原则是: 按照高阶导数的定义, 运用隐函数及参 数方程所确定的函数的求导法则逐阶进行求 导.

例16

2 d y 2 2 设 x ? x y ? y ? 4, 求 . 2 dx



对方程两边关于 x 求导:

2 x ? y ? x y? ? 2 y y ? ? 0
故 2x ? y y? ? ? x ? 2y
想想如何求二阶导数?

从而

? d y ? 2x ? y ? ? ?? ? 2 dx ? x ? 2 y ?
2

(2 ? y?)( x ? 2 y) ? (2 x ? y)(1 ? 2 y?) ?? 2 ( x ? 2 y)
? ? 2x ? y ? ? 3? y ? x? ? ? ? ? x ? 2 y ? 3( y ? x y ) ? ? ? ?? 2 ?? ( x ? 2 y) ( x ? 2 y)2
6 (x2 ? x y ? y 2 ) 24 ?? ?? 3 ( x ? 2 y) ( x ? 2 y)3

? ? ? ?

例17

xy ? e x? y , 求 y??.
对方程两边关于 x 求导, 得:



y ? xy? ? e x? y (1 ? y?)
对该方程两边关于 x 求导:

y? ? y? ? xy?? ? e x? y (1 ? y?)2 ? e x? y y??
从而

e x ? y (1 ? y?) 2 ? 2 y? y?? ? x ? e x? y

其中,

e ?y y? ? . x? y x?e

x? y

例18

d2 y 设 y ? tan( x ? y) , 求 . 2 dx
方程两边对 x 求导



y ? ? sec 2 ( x ? y ) ? (1 ? y ? )



dy sec2 ( x ? y ) ? dx 1 ? sec2 ( x ? y )

1 ?? 2 sin ( x ? y )

? ? csc2 ( x ? y)



d 2 y d ? dy ? d 2 ? ? ? ? csc ( x ? y)? ? ? 2 dx ? dx ? dx dx
? ? ?2 csc( x ? y ) ? ?csc( x ? y ) ?
? ?2 csc(x ? y)?? csc(x ? y)cot( x ? y)? ? (1 ? y?)

? ?2 csc2 ( x ? y)cot3 ( x ? y)

y? ? ? csc 2 ( x ? y)

例19

3 x ? ln( 1 ? t ) d y ? 设 ? , 求 . 3 dx ? y ? t ? arctant 2



1 1 ? 2 ? dy (t ? arctant ) t 1 ? t ? ? ? ? 2t 2 dx 2 ln(1 ? t ) 1? t 2

?

?

1 2 1 ? t d2 y 2 ? ? ? 2t 4t dx 2 ln(1 ? t 2 ) ? 1? t 2

?

? t ?? ? ? ? 2?

?

2 2 ? 1 ? t 2 ?? 2t ? 1 ? t ? ? 4 3 ? ? 2 t ?1 4t ? d y 4 t ? ? ? 3 ? 3 2t 8t 2 ? dx ?ln(1 ? t )? 1? t 2

参数方程求导 并不难啊 !

例20

2 d y ? 设 ? , 求 . 2 dx ? y ? a(1 ? sin t )

x ? a(t ? sin t )



t sin t dy (a(1 ? cost ))? ? cot ? ? 2 dx (a(t ? sin t ))? 1 ? cos t
t ( cot )? 2 d y 2 ? ? 2 dx ( a (t ? sin t ))?

1 ? 2 t a (1 ? cos t ) 2 sin 2

1

1 ?? a(1 ? cost ) 2

( t ? 2k? , k ? Z )

2 d y ? 例21 已知 ? , x(t ) , y (t ) 均有二阶导数 , 求 2 . dx ? y ? y (t )

x ? x(t )



dy y?(t ) ? dx x?(t )
d ? dy ? ? ? 2 d y dt ? dx ? ? ? 2 dx dx dt

? y ?(t ) ? y??(t ) x?(t ) ? y?(t ) x??(t ) ? ? ? x ?(t ) ? 2 ? ( x (t )) ? ? ? x?(t ) x ?(t )

?

y??(t ) x?(t ) ? y?(t ) x??(t ) ? 3 ? ( x (t ))

例22

设 y ? y ( x) 是由方程组

? 3 t2 ? 2 t ? 3 ? x ? 0 ? y ? e sin t ? y ? 1 ? 0
d2 y 所确定的隐函数 , 求 2 d x t ? 0.

解 由 3 t 2 ? 3 t ? 3 ? x ? 0, 得 x
dx ? 6 t ? 2, dt 由 e y sin t ? y ? 1 ? 0, 得 y

t ?0

? 3, 及

t ?0

?1 及

dy e y cos t e y cos t ? ? , y d t 1 ? e sin t 2? y

dy dy dt e y cos t 故 ? ? , dx dx dt (2 ? y )(6 t ? 2)

d2 y d ? d y ? d ? e y cos t ? 从而 ? ? ?? ? ? ? 2 ? dx d x ? d x ? d x ? 2 ? y 6 t ? 2? ? cos t d ? e y ? e y d ? cos t ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 6 t ? 2 d x ? 2 ? y ? 2 ? y d x ? 6 t ? 2?
(3 ? y )e y cos t d y e y [(6 t ? 2) sin t ? 6 cos t ] ? ? 2 (6 t ? 2)(2 ? y ) d x (2 ? y )(6 t ? 2)3 是2? 2 d y e(2e ? 3) 代入 t ? 0, x ? 3, y ? 1, 得 ? . 2 dx t ? 0 4

d ? cos t ? 计算 ? ?: d x ? 6 t ? 2? d ? cos t ? d ? cos t ? d t ? ?? ? ?? d x ? 6 t ? 2? d t ? 6 t ? 2? d x
d ? cos t ? ? d x ? ? ? ??? ? d t ? 6 t ? 2? ? dt ?
?1

dx ? 6t ? 2 dt

? (6 t ? 2) sin t ? 6 cos t 1 ? ? 2 (6 t ? 2) 6t ? 2 ? (6 t ? 2) sin t ? 6 cos t ? . 3 (6 t ? 2)



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