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陕西省西安市第六十六中学2011届高三高考数学基础知识训练(12)


备考 2011 高考数学基础知识训练(12) 班级______ 姓名_________ 学号_______ 得分_______ 一、填空题(每题 5 分,共 70 分) 1.函数 y ? 1 ? x ? lg x 的定义域为 .

2.在等差数列{a n }中,已知 a 1 =2,a 2 +a 3 =13,则 a 4 +a 5 +a 6 等于=



3.曲线 y ? sin x 在点(

?
3

,

3 )处的切线方程为 2

4.已知 a,b 是非零向量,且满足(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥ b,则 a 与 b 的夹角是



5.当 x ? (1, 2) 错误!未找到引用源。时,不等式 ( x ? 1)2 ? loga x 错误!未找到引用源。恒 成立,则实数 a 错误!未找到引用源。的取值范围是_______.

6.已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ,满足条件 f (2 ? x) ? f (2 ? x) ,其图象的顶点为 A,又图 象与 x 轴交于点 B、C,其中 B 点的坐标为 (?1,0) , ?ABC 的面积 S=54,试确定这个二次函 数的解析式 .

7 .函数 y ? a1? x ( a ? 0, a ? 1) 错误!未找到引用源。的图象恒过定点 A ,若点 A 在直线

mx ? ny ? 1 ? 0(mn ? 0)
上,则

1 1 ? 错误!未找到引用源。的最小值为 m n

___________

8.设数列{an}的前 n 项和为 Sn ,点 (n, 通项公式为 .

Sn )(n ? N*) 均在函数 y=3x-2 的图象上.则数列{an}的 n

9.在圆 x2 ? y 2 ? 5x 内,过点 ( , ) 有 n(n ? N ) 条弦,它们的长构成等差数列,若 a1 为过该
*

5 3 2 2

点最短弦的长, an 为过该点最长弦的长,公差 d ? ( , ) ,那么 n 的值是

1 1 5 3



10.若直线 y=x+m 与曲线 1-y2=x 有两个不同的交点,则实数 m 的取值范围为

11.若

cos 2? 2 ,则 cos ? ? sin ? 的值为 ?? π 2 sin(? ? ) 4



12 . 已 知 a ? (cos 2? , sin ? ), b ? (1,2 sin ? ? 1), a ? ( 为 .

?
2

, ? ), 若a ? b ?

2 ? , 则 t an( ? ? ) 的值 5 4

13.把数列 ?2n ? 1? 依次按第一个括号一个数,第二个括号两个数,第三个括号三个数,第 四个括号四个数,第五个括号一个数……循环下去,如: (3) , (5,7) , (9,11,13) , (15, 17,19,21) ,……,则第 104 个括号内各数字之和为 .

14.已知圆的半径为 2,圆心在 x 轴的正半轴上,且圆与直线 3 x + 4 y +4 = 0 相切,则圆 的标准方程是______.

二、解答题(共 90 分,写出详细的解题步骤) 15.(本小题满分 14 分) 已知圆(x+4) +y =25 圆心为 M 1 , (x-4) +y =1 的圆心为 M 2 ,一动圆与这两个 圆都外切,求动圆圆心的轨迹方程.
2 2 2 2

16、(本小题满分 14 分) 在锐角 △ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且满足 (2a ? c) cos B ? b cos C . .. (Ⅰ )求角 B 的大小;(7 分) (Ⅱ )设 m ? (sin A,1), n ? (3,cos2 A ) ,试求 m ? n 的取值范围. (7 分)

17、(本小题满分 14 分) 已知圆 C: x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 ,一条斜率等于 1 的直线 L 与圆 C 交于 A,B 两点 (1) 求弦 AB 最长时直线 L 的方程 (2) (2)求 ?ABC 面积最大时直线 L 的方程 (3)若坐标原点 O 在以 AB 为直径的圆内,求直线 L 在 y 轴上的截距范围

18. (本小题满分 16 分)设椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)的左焦点为 F1(-2,0),左准线 L1 与 a2 b2

x 轴交于点 N(-3,0) ,过点 N 且倾斜角为 300 的直线 L 交椭圆于 A、B 两点; (1)求直线 L 和椭圆的方程; (2)求证:点 F1(-2,0)在以线段 AB 为直径的圆上

19、 (本小题满分 16 分)数列 ?an ? 的各项均为正数, Sn 为其前 n 项和,对于任意 n ? N * ,

总有 an , Sn , an 2 成等差数列. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,且 bn ?

ln n x an
2

,求证:对任意实数 x ? ?1, e? ( e 是常

数, e = 2. 71828 ??? )和任意正整数 n ,总有 Tn ? 2.

20、 (本小题满分 16 分)设函数 f ( x) ? x 2 ? b ln(x ? 1) ,其中 b ? 0 . (1)若 b ? ?12 ,求 f ( x) 在 [1,3] 的最小值; (2)如果 f ( x) 在定义域内既有极大值又有极小值,求实数 b 的取值范围; (3)是否存在最小的正整数 N ,使得当 n ? N 时,不等式 ln

n ?1 n ?1 ? 3 恒成立. n n

参考答案: 1. (0,1] 2. 42 3. y ?

1 ? 3 (x ? ) ? 2 3 2

4. 60° 5. (1, 2) . 6. y ? 2( x ? 2)2 ? 18或y ? ?2( x ? 2)2 ? 18 . 7.2 8. an ? 6n ? 5(n ? N*) . 提示: (n,

Sn S ) 在 y ? 3x ? 2 的图象上,故 n ? 3n ? 2, Sn ? n(3n ? 2) ,从而求出 an ? 6n ? 5. n n

9. 11,12,13,14,15

提示: x2 ? y 2 ? 5x ? ( x ? )2 ? y 2 ?

5 2

25 5 5 ? 圆心 C ( , 0) ,半径 R ? , 4 2 2
PC 2 ) ? 2, 2

故与 PC 垂直的弦是最短弦,所以 a1 ? 2 R 2 ? ( 而过 P、C 的弦是最长弦,所以 an ? 2R ? 5,

由等差数列 an ? a1 ? (n ? 1)d ? 5 ? 2 ? (n ? 1)d ? d ?

3 , n ?1

1 1 d ? ( ,) ? 10 ? n ? 16,因n ? N*, 所以n ? 11、 12、 13、 14、 15 5 3
10. (- 2,-1] .

? 00 ? A ? 900 ? 00 ? A ? 900 ? 0 由 ? B ? 60 得? 0 , 0 0 ?00 ? C ? 900 ?0 ? 120 ? A ? 90 ?
所以 30 ? A ? 90 ,从而 sin A ? ? ,1? ……(12 分)
0 0

?1 ? ?2 ?

故 m ? n 的取值范围是 ? 2,

? 17 ? ? .……………………………………… (14 分) ? 8?

a2 ? 3 得 a=6 18.解: (1)由题意知,c=2 及 c
∴ b ? 6?2 ? 2
2 2

--------------------3 分

∴ 椭圆方程为

x2 y2 ? ?1 6 2

-----------------------5 分

直线 L 的方程为:y-0=tan300(x+3)即 y=

3 (x+3)-----------8 分 3

?x 2 ? 3 y 2 ? 6 ? 2 (2)由方程组 ? 得 2x ? 6x ? 3 ? 0 3 ( x ? 3) ?y ? 3 ?
设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 x1+x2=-3 x1x2=

-----------------10 分

3 2

k F1 A ? k F1B ∵

1 ( x1 ? 3)(x 2 ? 3) y1 y2 ? ? ?3 x1 ? 2 x 2 ? 2 ( x1 ? 2)(x 2 ? 2)

?

x1 x2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 9 3?x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4

?

? ?1

----------------14 分

∴ F1 A ? F1 B则?AF1 B ? 900 ∴ 点 F(-2,0)在以线段 AB 为直径的圆上 -----------------16 分

19、 (1)解:由已知:对于 n ? N ,总有 2Sn ? an ? an 2 ① 成立
*

∴ 2Sn?1 ? an?1 ? an?1

2

(n ≥ 2)②
2

① --② 得 2an ? an ? an ? an?1 ? an?1

2

--------------4 分 (n ≥ 2)

∴ an ? an?1 ? ?an ? an?1 ??an ? an?1 ?;∵ a n , a n?1 均为正数,∴ an ? an?1 ? 1 ∴ 数列 ?an ? 是公差为 1 的等差数列 ,又 n=1 时, 2S1 ? a1 ? a12 ,解得 a1 =1 ∴ (n? N ) an ? n .
*

-------------8 分

(2)证明:∵ 对任意实数 x ? ?1, e? 和任意正整数 n,总有 bn ?

ln n x an
2



1 . n2

Tn ? ∴

1 1 1 1 1 1 ? 2 ??? 2 ? 1? ? ??? 2 ?n ? 1?n 1? 2 2 ? 3 1 2 n
1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? 2? ? 2 2 2 3 n ?1 n n
--------16 分

? 1?1?

20、解: (1)由题意知, f ( x) 的定义域为 (?1,??) ,

b ? ?12 时,由 f / ( x) ? 2 x ?

12 2 x 2 ? 2 x ? 12 ? ? 0 ,得 x ? 2 ( x ? ?3 舍去) , x ?1 x ?1

当 x ? [1, 2) 时, f / ( x) ? 0 ,当 x ? (2,3] 时, f / ( x) ? 0 , 所以当 x ? [1, 2) 时, f ( x ) 单调递减;当 x ? (2,3] 时, f ( x ) 单调递增, 所以 f ( x)min ? f (2) ? 4 ?12ln 3 (2)由题意 f ( x) ? 2 x ?
/
2

b 2x2 ? 2x ? b ? ? 0 在 (?1,??) 有两个不等实根, x ?1 x ?1

即 2 x ? 2 x ? b ? 0 在 (?1,??) 有两个不等实根, 设 g ( x) ? 2 x ? 2 x ? b ,则 ?
2

?? ? 4 ? 8b ? 0 1 ,解之得 0 ? b ? ; 2 ? g (?1) ? 0

(3)对于函数 f ?x? ? x 2 ? ln(x ? 1) ,令函数 h?x? ? x 3 ? f ( x) ? x 3 ? x 2 ? ln(x ? 1) 则 h ?x ? ? 3x ? 2 x ?
/ 2

1 3x 3 ? ( x ? 1) 2 ? ,?当x ? [0,??)时,h / ?x ? ? 0 x ?1 x ?1

所以函数 h?x ? 在 [0,??) 上单调递增,又 h(0) ? 0,? x ? (0,??) 时,恒有 h?x ? ? h(0) ? 0

1 1 1 1 ? (0,?? ) ,则有 ln( ? 1) ? 2 ? 3 恒成立. n n n n 1 1 1 显然,存在最小的正整数 N=1,使得当 n ? N 时,不等式 ln( ? 1) ? 2 ? 3 恒成立 n n n
2 3 即 x ? x ? ln(x ? 1) 恒成立.取 x ?

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