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【数学】山东省北镇中学、莱芜一中、德州一中2016届高三下学期4月联考(文)


北镇中学、莱芜一中、德州一中 2016 届高三 4 月份联考数学(文科)试题

北镇中学、莱芜一中、德州一中 2016 届高三 4 月份联考 数学(文科)试题
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分.考试时间 120 分钟. 2.答卷前,考生务必先将自己的班级、姓名、准考证号、座号用 0.5 mm 黑色签字笔和 2 B 铅笔分别涂写在答题卡与答题纸上. 3.选择题每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题直接答 在答题纸相应区域,不能答在试卷上;试题不交,请妥善保存,只交答题卡与答题纸. 参考公式: 用最小二乘法求线性回归直线方程系数公式
?

b?

? (x
i ?1 n

n

i

? x)( y i ? y )
i

? (x
i ?1

?

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y ? nx
2

? x) 2

?x
i ?1

,a ? y ? b x.

?

?

2 i

2 球的表面积公式 S ? 4?R ,其中 R 是球的半径.

如 果 事 件 A, B 互 斥 , 那 么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ; 如 果 事 件 A, B 对 立 , 那 么

P( B) ? 1 ? P( A) .

第Ⅰ卷(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是正确的. 1.已知集合 A ? {3, a}, B ? {a, b} ,若 A ? B ? {2} ,则 A ? B ? ( A ) D

{2,3}

B

{3,4}

C

{ 2 ,2,3}

{2,3,4}


z2 ? 2 ? i 2. 已知复数 z1 ? a ? 2i , ( i 为虚数单位) , 若
A

z1 为纯虚数, 则实数 a 的值为 ( z2
1
D

?4

B

?1

C

4


3.执行如图所示的程序框图,若输入的 M 的值为 55 ,则输出的 i 的值为( A

3

B

4

C

5

D

6

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北镇中学、莱芜一中、德州一中 2016 届高三 4 月份联考数学(文科)试题

4.设 a, b ?R,则“ a ? b ”是“ (a ? b)a 2 ? 0 ” 的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

) D.既不充分也不必要条件

5.已知具有线性相关关系的两个变量 x, y 之间的一组数据如下:

x
y
? ?

0
2 .2

1

2

3
4 .8

4

4 .3

4 .5

6 .7


且回归直线方程为 y ? b x ? 2.6 ,根据模型预报当 x ? 6 时, y 的预测值为( A 6 .

5.76
函 数

B

6 .8
c ? ox s 的 2 x


C 象

8 .3
大 致 是

D (

8.46


f ( x) ?

? f ( x ? 2), x ? 2, ? 7.已知函数 f ( x) ? ? 1 x ,则 f (?1 ? log3 5) 的值为( ( ) ,x ? 2 ? ?3
A.



1 5 B. 15 3

C. 15 D.

2 3
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北镇中学、莱芜一中、德州一中 2016 届高三 4 月份联考数学(文科)试题

8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表面积为(



A.

4 ? 3

B.

32 ? 3

C. 4?

D. 16?

9.已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的可导函数, f ' ( x) 为其导函数,若对于任意实数 x ,都 有 f ( x) ? f ' ( x) ,其中 e 为自然对数的底数,则( A. ef (2015 ) ? f (2016 ) B. ef (2015 ) ? f (2016 ) C. ef (2015 ) ? f (2016 ) D. ef (2015 ) 与 f (2016) 大小关系不确定 )

10.对于两个平面向量 a, b ,定义它们的一种运算: a ? b ?| a | ? | b | sin ? (其中 ? 为向量 a, b 的夹角),则关于这种运算的以下结论中,不恒成立的是(
A. a ? b ? b ? a B.若 a ? b ? 0 ,则 a // b



C. (a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c D.若 a ? ( x1 , y1 ),b ? ( x2 , y2 ) ,则 a ? b ?| x1 y2 ? x2 y1 |

第Ⅱ卷(共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.函数 f ( x) ?

1 ? 1 ? x 2 的定义域为________. ln(x ? 1)
2 2

12.若直线 ax ? by ? 2(a ? 0, b ? 0) 过圆 x ? y ? 4 x ? 2 y ? 1 ? 0 的圆心,则 ab 的最大 值为________. 13. 设△ ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 若 a ? 4, cos C ? ? 则 c ? ________.

1 ,3 sin A ? 2 sin B , 4

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北镇中学、莱芜一中、德州一中 2016 届高三 4 月份联考数学(文科)试题

14.某企业生产甲、乙两种产品均需用 A, B 两种原料.已知生产 1 吨每种产品所需原料及每 天原料的可用限额如表所示.如果生产 1 吨甲、乙产品可获利润分别为 3 万元、 4 万元,则 该企业每天可获得最大利润为________万元. 甲 乙 原料限额

A (吨)
B (吨)
15.抛物线 C1 : y ?

3
1

2 2

12

8

x2 1 2 ? y 2 ? 1 的右焦点的连线交 C1 x ( p ? 0) 的焦点与双曲线 C 2 : 3 2p

于第一象限的点 M .若 C1 在点 M 处的切线平行于 C 2 的一条渐近线,则 p ? ______ 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分. 16. (本小题满分 12 分) 某市为庆祝北京夺得 2022 年冬奥会举办权, 围绕“全民健身促健康、 同心共筑中国梦”主题开展全民健身活动. 组织方从参加活动的群众中随机抽取 120 名群众, 按他们的年龄分组:第 1 组 [20,30) ,第 2 组 [30,40 ,第 3 组 [40,50 ,第 4 组 [50,60) ,第 ) )

5 组 [60,70] ,得到的频率分布直方图如图所示.

(Ⅰ) 若电视台记者要从抽取的群众中选 1 人进行采访, 估计被采访人恰好在第 1 组或第 4 组的概率;
(Ⅱ)已知第 1 组群众中男性有 3 名,组织方要从第 1 组中随机抽取 2 名群众组成志愿者服 务队,求至少有 1 名女性群众的概率.

第 4 页 共 4 页

北镇中学、莱芜一中、德州一中 2016 届高三 4 月份联考数学(文科)试题

17. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 相邻对称轴之间的距离为 (Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)将函数 f ( x) 的图象向左平移

? . 2

1 3 sin ?x ? cos ?x ? cos 2 ?x ? (? ? 0) 的两条 2

? 个单位,再将所得函数的图象上所有点的横坐标伸长 6

到原来的 2 倍,纵坐标不变,得到函数 y ? g ( x) 的图象,若函数 y ? g ( x) ? k 在区间

[?

? 2?
6 , 3

] 上存在零点,求实数 k 的取值范围.

18. (本小题满分 12 分)如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, A1 B1 ? A1C1 ,点 D, E 分别是

B1C1 , A1 B1 的中点, AA1 ? AB ? BD ? 1, ?A1 AB ? 60? .
(Ⅰ)求证: AC1 // 平面 A1 BD ; (Ⅱ)求证:平面 BDE ⊥平面 A1 B1C1 .

19 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 等 比 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 S n , a n ? 0, a1 ?

2 ,且 3

?

3 1 1 , , 成等差数列. a 2 a3 a 4

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ) 设数列 {bn } 满足 bn ? log3 (1 ? S n?1 ) ? 1, 求满足方程 b1b2 ? b2 b3 ? ? ? bn bn ?1 ? 的正整数 n 的值.

504 1009

20. (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? (2 ? a ) ln x ?
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1 ? 2ax (a ? 0) . x

北镇中学、莱芜一中、德州一中 2016 届高三 4 月份联考数学(文科)试题

(Ⅰ)当 a ? 0 时,求 f ( x) 的极值;
(Ⅱ)当 a ? 0 时,讨论 f ( x) 的单调性; (Ⅲ) 若对于任意的 x1 , x2 ? [1,3], a ? (??,?2) 都有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? (m ? ln 3)a ? 2 ln 3 , 求实数 m 的取值范围.

21. (本小题满分 14 分)已知椭圆 C :

x2 y2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,它的四个顶 2 2 a b

点构成的四边形的面积为 4 3 .

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;
(Ⅱ)设椭圆 C 的右焦点为 F ,过 F 作两条互相垂直的直线 l1 , l 2 ,直线 l1 与椭圆 C 交于

P, Q 两点,直线 l 2 与直线 x ? 4 交于 N 点.
(i)求证:线段 PQ 的中点在直线 ON 上;

(ii)求

| PQ | 的取值范围 | FN |

数学(文科)参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1. 【答案】D. 【解析】由 A ? B ? {2} 得 2 ? A,2 ? B ,所以 a ? 2, b ? 2 ,所以 A ? {3,2}, B ? {4,2} , 所以 A ? B ? {2,3,4} .故选 D. 2. 【答案】C. 【解析】由题意可得,

z1 a ? 2i 2a ? 2 a ? 4 z ? ? ? i ,因为 1 为纯虚数,所以 z2 2?i 5 5 z2

2a ? 2 a?4 ? 0,? ? 0 ,所以 a ? 1 .故选 C. 5 5
3. 【答案】D.
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北镇中学、莱芜一中、德州一中 2016 届高三 4 月份联考数学(文科)试题

【解析】执行程序框图,第一次 N ? 2 ? 0 ? 1 ? 1 ? 55, i ? 2 ,第二次

N ? 2 ? 1 ? 2 ? 4 ? 55, i ? 3 ,第三次 N ? 2 ? 4 ? 3 ? 11 ? 55, i ? 4 ,第四次 N ? 2 ? 11? 4 ? 26 ? 55, i ? 5 ,第五次 N ? 2 ? 26 ? 5 ? 57 ? 55, i ? 6 ,所以输出的 i 的
值为 6 .故选 D. 4. 【答案】B. 【解析】由题意可得,“ (a ? b)a 2 ? 0 ”等价于“ a ? b ? 0, a 2 ? 0 或 a ? b ? 0, a 2 ? 0 ”,即 “ a ? b ? 0, a ? 0 ” ,所以“ a ? b ”是“ (a ? b)a 2 ? 0 ” 的必要不充分条件.故选 B. 5. 【答案】C. 【解析】由题意可得, x ?

1 ? (0 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4) ? 2 , 5

y?

1 ? (2.2 ? 4.3 ? 4.5 ? 4.8 ? 6.7) ? 4.5 ,因为回归直线一定过样本点的中心 ( x, y ) ,所 5
? ?

以 4.5 ? b? 2 ? 2.6 ,解得 b ? 0.95 .当 x ? 6 时, y 的预测值为 0.95 ? 6 ? 2.6 ? 8.3 .故 选 D. 6. 【答案】B. 【解析】由题意可得, f (? x) ?

cos? (? x) cos?x ? ? f ( x) ,所以 f ( x) 为偶函数, f ( x) ( ? x) 2 x2

的图象关于 y 轴对称, 可排除答案 A、 C; 当 x ? 1 时, f (1) ? cos? ? ?1 ? 0 , 可排除 D. 故 选 B. 7. 【答案】A.

5 ? 1, 所以 2 ? ?1 ? log3 5 ? 2 ? log3 15 ? 3 , 3 1 log 15 1 log 15 ?1 所以 f (?1 ? log 3 5) ? f (?1 ? log 3 5 ? 2) ? f (log 3 15) ? ( ) 3 ? (3 3 ) ? . 故选 3 15 0 ? ?1 ? log 3 5 ? log 3 【解析】 由题意可得,
A. 8. 【答案】D. 【解析】由三视图可知,该几何体是底面半径为 3 ,高为 1 的圆锥.设其外接 球的半径为 R ,则 R ? ( R ? 1) ? ( 3) ,解得 R ? 2 ,所以该几何体外接球
2 2 2

1
R ?1

3
R

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北镇中学、莱芜一中、德州一中 2016 届高三 4 月份联考数学(文科)试题

的表面积为 S ? 4?R 2 ? 4? ? 2 2 ? 16? .故选 D. 9. 【答案】A. 【解析】构造函数 F ( x ) ?
'

f ( x) , x ? R, F ( x) 的导函数 ex

f ' ( x)e x ? f ( x)(e x ) ' f ' ( x) ? f ( x ) .因为 f ( x) ? f ' ( x) , e x ? 0 ,所以 F ( x) ? ? x 2 x (e ) e

F ' ( x) ? 0 , F ( x) 在 R 上是减函数,所以 F (2015 ) ?
所以 ef (2015 ) ? f (2016 ) .故选 A. 【考点】抽象函数单调性、比较大小. 10. 【答案】C.

f (2015 ) f (2016 ) ? F (2016 ) ? , 2015 e e 2016

【解析】 因为 a ? b ?| a | ? | b | sin ? , 所以 a ? b ?| a | ? | b | sin ? ?| b | ? | a | sin ? ? b ? a ,

sin ? ? 0 , 选项 A 恒成立. 当 a, b ? 0 , 所以 ? ? 0 或 ? ? ? , a ? b ?| a | ?| b | sin ? ? 0 时,
所以 a // b ;当 a ? 0 或 b ? 0 时, a // b 恒成立,选项 B 恒成立.

a ? b ?| a | ? | b | sin ? ?| a | ? | b | 1 ? cos2 ? ?| a | ? | b | 1 ? (

a ?b | a |?|b|

)2

2 2 ? y2 ) ? ( x1 x 2 ? y1 y 2 ) 2 ? ( x1 y 2 ? x 2 y1 ) 2 ? (| a | ? | b |) 2 ? (a ? b) 2 ? ? ( x12 ? y12 )( x 2

?| x1 y2 ? x2 y1 | ,选项 D 恒成立.当 | a |?| b |?| c |? 1, a ? b ? 0, c ? a, c ? b 时,

(a ? b) ? c ? 0 ? a ? c ? b ? c ? 2 ,选项 C 不恒成立.故选 C.
【考点】新定义、数量积. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. 【答案】 (?1,0) ? (0,1] .

?x ? 1 ? 0 ?ln( x ? 1) ? 0 ? 【解析】由题意可得 ? ,整理得 ? x ? 1 ? 1 ,所以函数 f ( x) 的定义域为 2 ?1 ? x ? 0 ?? 1 ? x ? 1 ?
(?1,0) ? (0,1] .
【考点】定义域、解不等式.
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北镇中学、莱芜一中、德州一中 2016 届高三 4 月份联考数学(文科)试题

12. 【答案】

1 . 2

【解析】圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 1 ? 0 可化为 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 ,其圆心为 (2,?1) , 代入直线方程得 2a ? b ? 2 . 因为 2 ? 2a ? b ? 2 2ab ,所以 ab ? 即a ?

1 , 当且仅当 2a ? b , 2

1 1 , b ? 1 等号成立.所以 ab 的最大值为 . 2 2

【考点】直线与圆的方程、基本不等式. 13. 【答案】 8 . 【解析】 由 3 sin A ? 2 sin B 得,

sin A 2 a b a sin A 2 ? , ? ? , 由正弦定理 得, ? sin B 3 sin A sin B b sin B 3

因为 a ? 4 ,所以 b ? 6 .由余弦定理得

1 c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ? 4 2 ? 6 2 ? 2 ? 4 ? 6 ? (? ) ? 64 ,因为 c ? 0 ,所以 c ? 8 . 4
【考点】正弦定理、余弦定理. 14. 【答案】 18 . 【解析】设每天生产甲、乙产品分别为 x 吨、 y 吨,每天所获利润为 z 万元,则 x, y 满足约

?3 x ? 2 y ? 12 ? 束条件 ? x ? 2 y ? 8 ,目标函数 z ? 3x ? 4 y .作出可行域如图中阴影部分所示,由图可 ? x ? 0, y ? 0 ?
知,当直线 z ? 3x ? 4 y 经过点 (2,3) 时, z 取得最大值为 3 ? 2 ? 4 ? 3 ? 18 .所以该企业每 天可获得最大利润为 18 万元.

15. 【答案】

4 3 . 3

第 9 页 共 9 页

北镇中学、莱芜一中、德州一中 2016 届高三 4 月份联考数学(文科)试题

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点为 F (2,0) ,渐近线方程为 【解析】由题意可知,双曲线 C 2 : 3
y??

1 2 p 3 x ( p ? 0) 的焦点为 F ' (0, ) .设点 M 的坐标为 x .抛物线 C1 : y ? 2 2p 3

( x0 ,

1 2 x0 )(x0 ? 0) ,则 k MF ' 2p

1 2 p p x0 ? 2p 2 ? 2 ,所以 ? k FF ' ,所以 x0 ?2
1 2 1 x 得 y ' ? x ,所以 C1 在点 M 处的切线的斜率为 2p p

2 2x0 ? p 2 x0 ? 2 p 2 ? 0 .由 y ?

1 3 3 4 3 2 ,所以 x 0 ? . p ,代入 2x0 x0 ? ? p 2 x0 ? 2 p 2 ? 0 可得 p ? 3 3 p 3
三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分. 16.【答案】(Ⅰ) 0.25 .(Ⅱ)

4 . 5

【解析】 (Ⅰ)设第 1 组 [20,30) 的频率为 f1 ,则由题意可知,

f1 ? 1 ? (0.010? 0.035? 0.030? 0.020) ?10 ? 0.05 .………………………………2 分
被采访人恰好在第 1 组或第 4 组的频率为 0.05 ? 0.020 ? 10 ? 0.25 . ∴估计被采访人恰好在第 1 组或第 4 组的概率为 0.25 .………………………………4 分 (Ⅱ)第 1 组 [20,30) 的人数为 0.05 ? 120 ? 6 . ∴第 1 组中共有 6 名群众,其中女性群众共 3 名.……………………………………6 分 记第 1 组中的 3 名男性群众分别为 A, B, C , 3 名女性群众分别为 x, y , z , 从第 1 组中随机抽取 2 名群众组成志愿者服务队包含

( A, B), ( A, C ), ( A, x), ( A, y), ( A, z), ( B, C ), ( B, x), ( B, y), ( B, z), (C, x), (C, y), (C, z), ( x, y), ( x, z), ( y, z)
共 15 个基本事件.……………………………………9 分 至少有一名女性群众包含

( A, x), ( A, y), ( A, z), ( B, x), ( B, y), ( B, z), (C, x), (C, y), (C, z), ( x, y), ( x, z), ( y, z)
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北镇中学、莱芜一中、德州一中 2016 届高三 4 月份联考数学(文科)试题

共 12 个基本事件.…………………………………………………11 分 ∴从第 1 组中随机抽取 2 名群众组成志愿者服务队,至少有 1 名女性群众的概率为

12 4 ? .………12 分 15 5
17. 【答案】 (Ⅰ) 1 . (Ⅱ) [ ? 【解析】 (Ⅰ)原函数可化为

1 ,1] . 2

f ( x) ?

3 1 ? cos 2?x 1 3 1 sin 2?x ? ? ? sin 2?x ? cos 2?x 2 2 2 2 2

? sin( 2?x ?

?
6

) .………………………………………………3 分

∵函数 f ( x) 的相邻两条对称轴之间的距离为 ∴ f ( x) 的最小正周期为 2 ? ∴

?
2

? , 2

?? .

2? ? ? ,∴ ? ? 1 . 2?

∴ ? 的值为 1 .…………………………………………6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,? ? 1 , f ( x ) ? sin( 2 x ? 得到函数 y ? sin[ 2( x ?

?

?
6

)?

?
6

] ? sin( 2 x ?

?

6

) ,将函数 f ( x) 的图象向左平移

? 个单位, 6

2

) ? cos 2 x 的图象, 再将函数 y ? cos 2 x 的图

象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,得到函数 y ? cos x 的图象.…9 分 ∴ g ( x) ? cos x .

1 ] ,∴ g ( x) ? cos x ? [? ,1] . 6 3 2 ? 2? 1 ] 上存在零点,∴ k ? [ ? ,1] . ∵函数 y ? g ( x) ? k 在区间 [ ? , 6 3 2 1 ∴实数 k 的取值范围为 [ ? ,1] .………………………………12 分 2
∵ x ? [?

? 2?
,

18. 【解析】 (Ⅰ)连接 AB1 ,交 A1 B 于点 F ,连接 DF .

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北镇中学、莱芜一中、德州一中 2016 届高三 4 月份联考数学(文科)试题

在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, 四边形 ABB 1A 1 是平行四边形, F 为 AB 1 的中点.…………2 分 又∵ D 是 B1C1 的中点,∴ DF // AC1 .………………………4 分 又∵ DF ? 平面 A1 BD , AC1 ? 平面 A1 BD , ∴ AC1 // 平面 A1 BD .…………………………………………6 分
? (Ⅱ)∵ AA 1 ? AB ? 1 , ?A 1 为正三角形,∴ A 1B ? 1. 1 AB ? 60 ,∴△ ABA

∵ BB1 ? AA1 ? 1, A1 B1 ? AB ? 1 ,∴△ B1 BA 1 为正三角形.……………………7 分 ∵ E 为 A1 B1 的中点,∴ BE ? A1 B1 , BE ?

3 .……………………………8 分 2

∵ D 为 B1C1 的中点, E 为 A1 B1 的中点, A1 B1 ? A1C1 ,∴

DE ?

1 1 1 1 A1C1 ? A1 B1 ? AB ? . 2 2 2 2

2 2 2 ∵ BD ? 1 ,∴ BD ? BE ? DE ,∴ BE ? DE .………………………………10 分

∵ A1 B1 ? 平面 A1 B1C1 , DE ? 平面 A1 B1C1 , A1 B1 ? DE ? E , ∴ BE ? 平面 A1 B1C1 .……………………………………………11 分 ∵ BE ? 平面 BDE , ∴平面 BDE ⊥平面 A1 B1C1 .……………………………………12 分 【考点】位置关系(线面平行、面面垂直) . 19. 【答案】 (Ⅰ) an ?

2 * , n ?N . (Ⅱ) 2016 . n 3

【解析】 (Ⅰ)设等比数列 {an } 的公比为 q(q ? 0) .
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北镇中学、莱芜一中、德州一中 2016 届高三 4 月份联考数学(文科)试题

∵?

3 1 1 3 1 2 .………………………1 分 , , 成等差数列,∴ ? ? ? 3 a 2 a3 a 4 a1 q a1 q a1 q 2

1 或 q ? ?1 (舍去) .…………………………3 分 3 2 1 n ?1 1 2 ? 2 ? ( )n = n . ∴ an ? ? ( ) 3 3 3 3 2 * ∴数列 {an } 的通项公式为 an ? n , n ?N . ……………………………………4 分 3 2 1 ? [1 ? ( ) n?1 ] 1 2 1 3 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, a1 ? , q ? ,∴ S n ?1 ? 3 ? 1 ? ( ) n?1 .…………6 分 1 3 3 3 1? 3
∴ 3q 2 ? 2q ? 1 ? 0 ,解得 q ? ∵数列 {bn } 满足 bn ? log3 (1 ? S n?1 ) ? 1, ∴ bn ?

1 ? log 3 (1 ? S n ?1 )

1 1 ?? . ………7 分 1 n ?1 n ?1 log 3 ( ) 3

∴ bn bn ?1 ? (?

1 1 1 1 1 .………………9 分 ) ? (? )? ? ? n ?1 n?2 (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2
1 2 1 3 1 3 1 4 1 1 1 1 ? )? ? . n ?1 n ? 2 2 n?2

∴ b1b2 ? b2 b3 ? ? ? bn bn ?1 ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( 由

1 1 504 ? ? 得, n ? 2016 . 2 n ? 2 1009

504 的正整数 n 的值为 2016 .………………12 分 1009 1 1 20. 【答案】 (Ⅰ)当 x ? 时, f ( x) 取得极小值为 f ( ) ? 2 ? 2 ln 2 ,无极大值. 2 2 1 1 1 1 (Ⅱ)当 a ? ?2 时, f ( x) 在 (0,? ), ( ,?? ) 上是减函数,在 ( ? , ) 上是增函数; a 2 a 2
∴满足方程 b1b2 ? b2 b3 ? ? ? bn bn ?1 ? 当 a ? ?2 时, f ( x) 在 (0,??) 上是减函数; 当 ? 2 ? a ? 0 时, f ( x) 在 (0, ), ( ? (Ⅲ) ( ?? ,?

1 2

1 1 1 ,?? ) 上是减函数,在 ( ,? ) 上是增函数. a 2 a

13 ]. 3 1 ,定义域为 (0,??) , x

【解析】 (Ⅰ)当 a ? 0 时, f ( x) ? 2 ln x ?

f ( x) 的导函数 f ' ( x) ?

2 1 2x ? 1 ? 2 ? .……………………………1 分 x x x2
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北镇中学、莱芜一中、德州一中 2016 届高三 4 月份联考数学(文科)试题

1 1 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 在 (0, ) 上是减函数; 2 2 1 1 当 x ? 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 在 ( ,?? ) 上是增函数.…………………………2 分 2 2 1 1 ∴当 x ? 时, f ( x) 取得极小值为 f ( ) ? 2 ? 2 ln 2 ,无极大值.………………3 分 2 2 1 (Ⅱ)当 a ? 0 时, f ( x) ? (2 ? a ) ln x ? ? 2ax 的定义域为 (0,??) , f ( x) 的导函数为 x
当0 ? x ?

f ' ( x) ?

2?a 1 2ax2 ? (2 ? a) x ? 1 (2 x ? 1)(ax ? 1) ? 2 ? 2a ? ? .……………5 分 x x x2 x2

1 1 ? 0 , x2 ? ? ? 0 , 2 a 1 1 a?2 x1 ? x 2 ? ? (? ) ? .……………………6 分 2 a 2a 1 1 1 1 (1)当 ? 2 ? a ? 0 时, f ( x) 在 (0, ) 上是减函数,在 ( ,? ) 上是增函数,在 (? ,?? ) 2 2 a a
由 f ' ( x) ? 0 得 x1 ? 上是减函数; (2)当 a ? ?2 时, f ( x) 在 (0,??) 上是减函数; (3)当 a ? ?2 时, f ( x) 在 (0,? ) 上是减函数,在 ( ?

1 a

1 1 , ) 上是增函数, a 2

在 ( ,?? ) 上是减函数.…………………………………………………8 分 综上所述, 当 a ? ?2 时, f ( x) 在 (0,? ), ( ,?? ) 上是减函数,在 ( ? 当 a ? ?2 时, f ( x) 在 (0,??) 上是减函数; 当 ? 2 ? a ? 0 时, f ( x) 在 (0, ), ( ?

1 2

1 a

1 2

1 1 , ) 上是增函数; a 2

1 2

1 1 1 ,?? ) 上是减函数,在 ( ,? ) 上是增函数.……9 分 a 2 a

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 a ? (??,?2) 时, f ( x) 在 [1,3] 上是减函数. ∴ | f ( x1 ) ? f ( x 2 ) |? f (1) ? f (3) ?

2 ? 4a ? (a ? 2) ln 3 .…………………10 分 3

∵对于任意的 x1 , x2 ? [1,3], a ? (??,?2) 都有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? (m ? ln 3)a ? 2 ln 3 ,

2 ? 4a ? (a ? 2) ln 3 ? (m ? ln 3)a ? 2 ln 3 对任意 a ? ?2 恒成立, 3 2 ∴ m ? ?4 ? 对任意 a ? ?2 恒成立.……………………………………11 分 3a

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北镇中学、莱芜一中、德州一中 2016 届高三 4 月份联考数学(文科)试题

13 2 13 ? ?4 ? ? ?4 ,∴ m ? ? . 3 3a 3 13 ∴实数 m 的取值范围为 ( ?? ,? ] .……………………………13 分 3
当 a ? ?2 时, ? 21. 【答案】 (Ⅰ)

x2 y2 (Ⅱ) (i)略; (ii) (0,1] . ? ? 1. 4 3
c 1 ? . a 2

【解析】(Ⅰ)设椭圆 C 的半焦距为 c(c ? 0) ,则由题意可知 ∵椭圆 C 四个顶点构成的四边形的面积为 4 3 , ∴ 2ab ? 4 3 .…………………………1 分

?c 1 ?a ? 2 2 ? ? ?a ? 4 ? 由 ?2ab ? 4 3 得 ? 2 . ?b ? 3 ?c 2 ? a 2 ? b 2 ? ? ? ?
x2 y2 ? ? 1 .………………………………3 分 ∴椭圆 C 的方程为 4 3
(Ⅱ) (i)由(Ⅰ)知,椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1 ,它的右焦点为 F (1,0) . 4 3

(1)当直线 l1 的斜率不存在时,直线 l1 的方程为 x ? 1 ,直线 l 2 的方程为 y ? 0 ,此时线段

PQ 的中点为 F (1,0) ,点 N 的坐标为 (4,0) ,直线 ON 的方程为 y ? 0 ,线段 PQ 的中点在
直线 ON 上.…………4 分 (2)当直线 l1 的斜率存在时,若直线 l   1 的斜率为 0 ,则直线 l 2 的方程为 x ? 1 ,与 x ? 4 不 相交,所以直线 l   1 的斜率不为 0 .设直线 l   1 的方程为 y ? k ( x ? 1)(k ? 0) ,则直线 l 2 的方程 为y??

1 ( x ? 1) . k

设 P, Q 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y 2 ) ,线段 PQ 的中点为 M ( x0 , y0 ) .

? y ? k ( x ? 1) ? 2 2 2 2 由 ? x2 得 (4k ? 3) x ? 8k x ? 4(k ? 3) ? 0 . y2 ?1 ? ? 3 ?4
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北镇中学、莱芜一中、德州一中 2016 届高三 4 月份联考数学(文科)试题

判别式 ? ? (?8k 2 ) 2 ? 4 ? (4k 2 ? 3) ? 4(k 2 ? 3) ? 144(k 2 ? 1) ? 0 ,

x1 ? x 2 ?

8k 2 4(k 2 ? 3) , x x ? . 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

则 x0 ?

4k 2 ? 3k , y 0 ? k ( x 0 ? 1) ? .……………………………………………6 分 2 4k 2 ? 3 4k ? 3

3 1 ? ? 3 3 ? y ? ? ( x ? 1) 由? 得点 N 的坐标为 (4,? ) ,∴直线 ON 的斜率为 k ON ? k ? ? , k k 4 4k ? ?x ? 4 3 x .………………………7 分 ∴直线 ON 的方程为 y ? ? 4k
∴?

3 3 4k 2 ? 3k x0 ? ? ? 2 ? 2 ? y0 , 4k 4 k 4k ? 3 4k ? 3

∴线段 PQ 的中点在直线 ON 上.………………………8 分

?x ? 1 ?x ? 1 ? 2 ? (ii) (1)当直线 l1 的斜率不存在时,由 ? x 得, ? 3. y2 y ? ? ? ? 1 ? ? 2 ? 3 ?4
∴ | PQ |? 3, | FN |? 3 ,此时

| PQ | ? 1 .……………………………9 分 | FN |

(2)由(i)知直线 l1 的斜率不为 0 ,所以当直线 l1 的斜率存在且不为 0 时,

| PQ |? k 2 ? 1 | x1 ? x 2 |? k 2 ? 1 ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2

? k ?1?
2

144(k 2 ? 1) 4k 2 ? 3
4k 2 ? 3 2 k ?1 3 k2

, | FN |?

3 k 2 ?1 . 3 2 ? (? ) 2 ? 3 k k2
? (4k 2 ? 4)4k 2 4k 2 ? 3 ? (4k 2 ? 4)4k 2 .……11 分 (4k 2 ? 3) 2

| PQ | ? | FN |

k 2 ?1?

144(k 2 ? 1) ?

16(k 2 ? 1)k 2 4k 2 ? 3

令 t ? 4k ? 3(t ? 3) ,
2
2 则 | PQ | ? (t ? 1)(t ? 3) ? t ? 2t ? 3 ? ? 3 ? (1) 2 ? 2 ? 1 ? 1 ? ? 3(1 ? 1 ) 2 ? 4 .………12 分 2 | FN | t t t 3 3 t t2

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北镇中学、莱芜一中、德州一中 2016 届高三 4 月份联考数学(文科)试题

∵ t ? 3 ,∴ 0 ? 此时 0 ?

1 1 1 1 1 2 1 1 4 ? , ? ? ? ,∴ 0 ? ?3( ? ) 2 ? ? 1 . t 3 3 t 3 3 t 3 3

| PQ | ? 1. | FN |



| PQ | 的取值范围为 (0,1] .…………………………………14 分 | FN |

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北镇中学、莱芜一中、德州一中 2016 届高三 4 月份联考数学(文科)试题

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