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高三数学下学期期中试题承智班

学 习 资 料 汇编

河北省定州中学 2018 届高三数学下学期期中试题(承智班)

一、单选题

1.设 A ,

B

为双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? ???

? 0?

同一条渐近线上的两个不同的点,若向量

n ? ?0, 2? , AB ? 3 且 AB ? n ? ?1 ,则双曲线的离心率为( )
n

A. 2 或 3 2 B. 3 或 3 2 C. 2 5 D. 3

4

4

3

2.正方体 ABCD ? A1B1C1D1 棱长为 3,点 E 在边 BC 上,且满足 BE ? 2EC ,动点 M 在正 方体表面上运动,并且总保持 ME ? BD1 ,则动点 M 的轨迹的周长为( )

A. 6 2 B. 4 3 C. 4 2 D. 3 3

3 . 设 函 数 f ? x? 是 定 义 在 ???,0? 上 的 可 导 函 数 , 其 导 函 数 为 f '? x? , 且 有

2 f ? x? ? xf '? x? ? x2 ,则不等式 ? x ? 2018?2 f ? x ? 2018? ?4 f ??2? ? 0 的解集为( )

A. ??2020,0? B. ???,?2020?

C. ??2016,0? D. ???,?2016?

4.过圆 :

的圆心 的直线与抛物线 :

相交于 , 两点,且

,则

点 到圆 上任意一点的距离的最大值为( )

A.

B.

C.

D.

? ? 5.已知函数 f ? x? ?

ex ? e?x

x2 ,若实数 m

满足

f

?log3m? ?

f

?

?

? log1m ?

?

2

f

?1? ,则实数

? 3?

m 的取值范围为( )

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A. ?0,3?

B.

? ??

1 3

,

3???

C. ?0,9?

D.

? ??

0,

1 3

? ??

?

?3,

??

?

6.若存在实常数 k 和 b ,使得函数 F?x? 和 G ? x? 对其公共定义域上的任意实数 x 都满足:

F ? x? ? kx ? b 和 G? x? ? kx ? b 恒成立,则称此直线 y ? kx ? b 为 F ? x? 和 G ? x? 的“隔离直

线”,已知函数 f ?x? ? x2 ?x?R? , g ? x? ? 1 ? x ? 0?, h ? x? ? 2e ln x ,有下列命题:
x



F

?x?

?

f

?x?

?

g

?x?



x ????

?

1 32

,

0

? ??

内单调递增;

② f ? x? 和 g ? x? 之间存在“隔离直线”,且 b 的最小值为-4;

③ f ? x? 和 g ? x? 之间存在“隔离直线”,且 k 的取值范围是 ( ? 4,0? ;

④ f ? x? 和 g ? x? 之间存在唯一的“隔离直线” y ? 2 ex ? e .

其中真命题的个数有( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
7.已知函数 y ? f ? x? 在 ?0,? ?? 上非负且可导,满足, xf ?? x? ? f ?x? ? ?x2 ? x ?1,若

0 ? a ? b ,则下列结论正确的是( )
A. af ?b? ? bf ?a? B. af ?b? ? bf ?a?

C. af ?a? ? f ?b? D. bf ?b? ? f ?a?

8.已知函数 f ? x? ? ex ? k ?lnx ? x? ,若 x ?1 是函数 f ? x? 的唯一极值点,则实数 k 的取值
x
范围是( )
A. ???,e? B. ???,e? C. ??e, ??? D. ??e,???

9.已知 F1 ,

F2 是椭圆 E :

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

? 0) 的两个焦点,过原点的直线 l 交 E 于

A, B 两

点,

AF2

?

BF2

?

0

,且

|

AF2 BF2

|

?

3 4

,则

E

的离心率为(



A. 1 2

B. 3 4

C. 2 7

D. 5 7

10.已知函数 f ? x? 满足如下条件:①任意 x ? R ,有 f ? x? ? f ??x? ? 0 成立;②当 x ? 0 时,

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? ? f ? x? ? 1 x ? m2 ? x ? 2m2 ? 3m2 ;③任意 x ? R ,有 f ? x? ? f ?x ?1? 成立.则实数 m 的 2
取值范围是

A.

? ?? ?

6, 6

6?

6

? ?

B.

????

1 6

,

1 6

? ??

C.

? ?? ?

3, 3

3?

3

? ?

D.

????

1 3

,

1 3

? ??

11.将 7 个座位连成一排,安排 4 个人就座,恰有两个空位相邻的不同坐法有( )

A. 240 B. 480 C. 720 D. 960

12.已知 F1 ,

F2

分别为双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?

0, b

? 0) 的左焦点和右焦点,过 F2 的直线 l 与

双曲线的右支交于 A , B 两点, ?AF1F2 的内切圆半径为 r1 , ?BF1F2 的内切圆半径为 r2 , 若 r1 ? 2r2 ,则直线 l 的斜率为( )

A. 1 B. 2 C. 2 D. 2 2

二、填空题

13.设函数

的定义域为 ,若对于任意

,当

时,恒有



则称点 为函数

图象的对称中心.研究函数

的某一个对称中心,并

利用对称中心的上述定义,可得到

的值为__________.

14.已知抛物线

,斜率为 的直线交抛物线于 , 两点.若以线段 为直径的圆与抛物

线的准线切于点 ,则点 到直线 的距离为__________.

15.已知抛物线

,过点 任作一条直线和抛物线 交于 、 两点,设点

, 并延长,分别和抛物线 交于点 和 ,则直线 过定点__________.
16.已知 C 是平面 ABD 上一点, AB ? AD , CB ? CD ?1.

①若 AB ? 3AC ,则 AB ?CD ? ____;

,连接

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②若 AP ? AB ? AD ,则 AP 的最大值为____.

三、解答题

17.已知函数

.

(1)若函数 有两个零点,求实数 的取值范围;

(2)若函数

有两个极值点,试判断函数 的零点个数.

18.已知动点 与

, 两点连线的斜率之积为 ,点 的轨迹为曲线 ,过点 的

直线交曲线 于 , 两点.

(1)求曲线 的方程;

(2)若直线 , 的斜率分别为 , ,试判断 是否为定值?若是,求出这个值;若不是, 请说明理由.

19.在平面直角坐标系中,已知圆 的方程为

,圆 的方程为

,动

圆 与圆 内切且与圆 外切.

(1)求动圆圆心 的轨迹 的方程;

(2)已知



为平面内的两个定点,过 点的直线与轨迹 交于 , 两点,求四边形

面积的最大值.
? ?? ? 20.已知无穷数列 an an ?Z 的前 n 项和为 Sn ,记 S1 , S2 ,…, Sn 中奇数的个数为 bn . ? ? (Ⅰ)若 an = n,请写出数列 bn 的前 5 项; ? ? (Ⅱ)求证:" a1 为奇数, ai (i = 2,3,4,...)为偶数”是“数列 bn 是单调递增数列”的
充分不必要条件;
? ? (Ⅲ)若 ai ? bi ,i=1, 2, 3,…,求数列 an 的通项公式.

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21.已知点

P

???1,

3 2

? ??

在椭圆

C



x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0) 上,

F ?1,0? 是椭圆的一个焦点.

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

(Ⅱ)椭圆 C 上不与 P 点重合的两点 D , E 关于原点 O 对称,直线 PD , PE 分别交 y 轴

于 M , N 两点.求证:以 MN 为直径的圆被直线 y ? 3 截得的弦长是定值. 2
? ? 22 . 已 知 函 数 f ? x? ? ? x ? b? ex ? a , (b ? 0) , 在 ??1, f ?? 1?? 处 的 切 线 方 程 为

?e ?1? x ? ey ? e ?1? 0 .

(1)求 a , b ;

(2)若方程 f ? x? ? m 有两个实数根 x1 ,

x2 ,且 x1 ? x2 ,证明:

m?1? 2e?
x2 ? x1 ? 1? 1? e .

23.已知抛物线 E : y2 ? 4x 的焦点为 F ,过点 F 的直线 l 与抛物线交于 A, B 两点,交 y 轴于

点 C,O 为坐标原点.

(1)若 kOA ? kOB ? 4 ,求直线 l 的方程;

(2)线段 AB 的垂直平分线与直线 l, x 轴, y 轴分别交于点 D, M , N ,求 S?NDC 的最小值. S?FDM

24.椭圆 C :

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

?

0) 的左、右焦点分别为 F1 ??1,0? 、 F2 ?1,0? ,若椭圆过点

???1,

3 2

? ??

.

(1)求椭圆 C 的方程;
(2)若 A, B 为椭圆的左、右顶点, P? x0, y0 ?( y0 ? 0 )为椭圆上一动点,设直线 AP, BP

分别交直线 l : x ? 6 于点 M , N ,判断线段 MN 为直径的圆是否经过定点,若是,求出该定

点坐标;若不恒过定点,说明理由.

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BABAA CAADA 11.B 12.D
13.

14.

15.

16. ? 3 2 4

17.( 1)

(2)3

参考答案

(1)令

,由题意知

的图象与 的图象有两个交点.

.



时,

,∴ 在 上单调递增;

当 时,

,∴ 在

上单调递减.



.

又∵ 时,

,∴

时,

.

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又∵ 时,

.

综上可知,当且仅当

时, 与

(2)因为函数 有两个极值点,

的图象有两个交点,即函数 有两个零点.



,得

有两个不同的根 , (设 ).

由(1)知, 且函数 在 ,



,且

上单调递减,在

, 上单调递增,



.





则 所以函数 在

, 上单调递增,





.又 ,

所以函数 恰有三个零点.







18.(1)

(2)

(1)设点

,由题知,



整理,得曲线 :

,即为所求.

(2)由题意,知直线 的斜率不为 0,故可设 :

设直线 的斜率为 ,由题知,

,,







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,消去,得

所以

,所以



.

又因为点 在椭圆上,所以

,所以 ,为定值.

19.(1)

(2)6

(1)设动圆 的半径为,由题意知

从而有

,故轨迹 为以 为焦点,长轴长为 4 的椭圆,

并去 除点

,从而轨迹 的方程为

.

(2)设的方程为 消去得

,联立 ,设点

, ,









到直线的距离为

,点 到直线的距离为



从而四边形 的面积



,有

,函数



上单调递增,


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,故

,即四边形 面积的最大值为 .

20.(1)见解析;(2)见解析;(3) an ? 0 . (Ⅰ)解: b1=1, b2 =2 , b3 =2 , b4 =2 , b5 =3 .
(Ⅱ)证明:(充分性)
因为 a1 为奇数, ai ?i ? 2,3, 4, ? 为偶数,
所以,对于任意 i ? N * , Si 都为奇数. 所以 bn ? n .
所以数列 ?bn ? 是单调递增数列.
(不必要性)
? ? 当数列 an 中只有 a2 是奇数,其余项都是偶数时, S1 为偶数, Si ?i ? 2,3, 4, ? 均为奇数, 所以 bn ? n ?1,数列?bn?是单调递增数列. 所以“ a1 为奇数, ai ?i ? 2,3, 4, ? 为偶数”不是“数列?bn?是单调递增数列”的必要条件; 综上所述,“ a1 为奇数, ai ?i ? 2,3, 4, ? 为偶数”是“数列?bn?是单调递增数列” 的充分
不必要条件.
(Ⅲ)解:(1)当 ak 为奇数时, 如果 Sk 为偶数, 若 ak ?1 为奇数,则 Sk ?1 为奇数,所以 bk?1 ? bk ?1 ? ak ?1 为偶数,与 ak?1 ? bk?1 矛盾; 若 ak ?1 为偶数,则 Sk ?1 为偶数,所以 bk?1 ? bk ? ak 为奇数,与 ak?1 ? bk?1 矛盾. 所以当 ak 为奇数时, Sk 不能为偶数. (2)当 ak 为偶数时, 如果 Sk 为奇数, 若 ak ?1 为奇数,则 Sk ?1 为偶数,所以 bk?1 ? bk ? ak 为偶数,与 ak?1 ? bk?1 矛盾; 若 ak ?1 为偶数,则 Sk ?1 为奇数,所以 bk?1 ? bk ?1 ? ak ?1 为奇数,与 ak?1 ? bk?1 矛盾. 所以当 ak 为偶数时, Sk 不能为奇数.
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综上可得 ak 与 Sk 同奇偶.

所以 Sn ? an 为偶数.

因为 Sn ? Sn?1 ? an?1 为偶数,所以 an 为偶数.

因为 a1 ? b1 ? S1 为偶数,且 0 ? b1 ? 1,所以 b1 ? a1 ? 0 .

因为 a2 ? b2 ? b1 ?1 ? 1 ,且 b2 ? 0 ,所以 b2 ? a2 ? 0 .

以此类推,可得 an ? 0 .

21.(Ⅰ) x2 ? y2 ? 1 .(Ⅱ)见解析. 43
(Ⅰ)依题意,椭圆的另一个焦点为 F???1,0? ,且 c ?1.

因为 2a ?

22

?

? ??

3 2

2
? ? ?

?

02

?

? ??

3 2

? ??

2

?

4,

所以 a ? 2 , b ? a2 ? c2 ? 3 ,

所以椭圆 C 的方程为 x2 ? y2 ? 1 . 43
(Ⅱ)证明:由题意可知 D , E 两点与点 P 不重合. 因为 D , E 两点关于原点对称,
所以设 D?m,n? , E ??m,?n? , ?m ? ?1?.

设以 MN

为直径的圆与直线

y

?

3 2

交于

G

? ??

t,

3 2

? ??

,

H

? ??

?t,

3 2

? ??

(t

?

0)

两点,

所以 GM ? GN .

直线 PD :

y

?

3

?

n

?

3 2

?

x

?1?



2 m ?1

当 x ? 0 时,

y

?

?

n? 3 2
m ?1

?

3 2

,所以

M

? ?
?
?

0,

?

n? 3 2
m ?1

?

3 2

? ?
?
?



?

?

直线 PE :

y

?

3

?

n

?

3 2

?

x

?1?



2 m?1

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当 x ? 0 时,

y

?

?

n? 3 2
m ?1

?

3 2

,所以

N

? ?
?
?

0,

?

n? 3 2
m ?1

?

3 2

? ?
?
?



?

?

所以 GM

?

? ?
?
?

?t

,

?

n? 3 2
m ?1

? ?
?
?



GN

?

? ?
?
?

?t,

?

n? 3 2
m ?1

? ?
?
?



?

?

?

?

因为 GM ? GN ,所以 GM ?GN ? 0 ,

? ? 所以 GM ?GN ? t2 ? 4n2 ? 9 ? 0 . 4 m2 ?1

因为 m2 ? n2 ? 1,即 3m2 ? 4n2 ? 12 , 4n2 ? 9 ? 3 ? 3m2 , 43

所以 t2 ? 3 ? 0 ,所以 t ? 3 .

4

2

? 所以 G ???

3 2

,

3 2

? ???



? H ??? ?

3 2

,

3 2

? ???



所以 GH

?

3.

所以以 MN 为直径的圆被直线 y ? 3 截得的弦长是定值 3 . 2

22.(1) a ?1, b ?1;(2)见解析

【解析】试题分析: ?1? 在 ??1, f ??1??处的切线方程为 ?e ?1? x ? ey ? e ?1? 0 ,求导算出

切线方程即可求出结果 ?2? 构造 F ? x? ? f ?x? ? h?x? ,求导,得 F ? x? 在区间 ???, ?1? 上单

调递减,在区间 ??1, ??? 上单调递增,设 h? x? ? m 的根为 x1' ,证得 x1' ? x1 ,讨论证得 ? ? t x ? m 的根为 x2' , x2' ? x2 ,从而得证结论

解析:(1)由题意

f

??1?

?

0 ,所以

f

? ?1?

?

? ?1 ?

b

?

? ??

1 e

?

a

? ??

?

0,

又 f ??x? ? ?x ? b ?1?ex ? a ,所以 f ???1? ? b ? a ? ?1? 1 ,

e

e

若 a ? 1 ,则 b ? 2 ? e ? 0 ,与 b ? 0 矛盾,故 a ?1, b ?1. e

? ? (2)由(Ⅰ)可知 f ? x? ? ? x ?1? ex ?1 , f ?0? ? 0, f ??1? ? 0,



在(-1,0)处的切线方程为 ,

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易得,

h

?

x

?

?

? ??

1 e

?

1???

?

x

?

1?

,令

F

?

x?

?

f ?x??h?x?

? ? 即 F ? x? ? ? x ?1?

ex ?1

?

? ??

1 e

?1???

?

x

?

1?



F??x? ? ?x ? 2?ex ? 1 ,
e

当 x ? ?2 时, F?? x? ? ? x ? 2?ex ? 1 ? ? 1 ? 0
ee 当 x ? ?2 时,
设 G ? x? ? F?? x? ? ? x ? 2?ex ? 1 , G?? x? ? ?x ? 3?ex ? 0,
e

故函数 F?? x? 在 ??2, ??? 上单调递增,又 F???1? ? 0,

所以当 x????,?1? 时, F??x? ? 0 ,当 x???1,??? 时, F??x? ? 0 ,

所以函数 F ? x? 在区间 ???, ?1? 上单调递减,在区间 ??1, ??? 上单调递增,



, f ?x1? ? h?x1? ,



h?x?

?

m

的根为

x1' ,则

x1'

?

?1?

me 1? e



? ? 又函数 h? x? 单调递减,故 h x1' ? f ? x1 ? ? h? x1 ? ,故 x1' ? x1 ,

设 y ? f ? x? 在(0,0)处的切线方程为 y ? t ?x? ,易得 t ? x? ? x ,

令T ? x? ? f ? x? ?t ?x? ? ?x ?1??ex ?1? ? x , T??x? ? ?x ? 2?ex ? 2 ,

当 x ? ?2 时, T?? x? ? ?x ? 2?ex ? 2 ? ?2 ? 0,
当 x ? ?2 时,

故函数T?? x? 在 ??2, ??? 上单调递增,又T??0? ? 0 , 所以当 x????,0? 时, T?? x? ? 0 ,当 x??0,??? 时, T?? x? ? 0, 所以函数T ? x? 在区间 ???,0? 上单调递减,在区间 ?0, ??? 上单调递增,
, f ?x2 ? ? t ?x2 ? , 设 t ? x? ? m 的根为 x2' ,则 x2' ? m ,
? ? 又函数 t ? x? 单调递增,故 t x2' ? f ? x2 ? ? t ? x2 ? ,故 x2' ? x2 ,
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又 x1' ? x1 ,

x2

?

x1

?

x2'

?

x1'

?

m

?

? ??

?1 ?

me 1? e

? ??

?1?

m ?1? 2e?
1? e

.

23.( 1) x ? y ?1 ? 0 ;(2)2

(1)设直线 l 的方程为 x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2), 由{ y2 ? 4x 得 y2-4my-4=0,
x ? my ?1

? ? y1+y2=4m,y1y2=-4.所以 kOA+kOB= 4 ?

4

4 ?

y1 ? y2

=-4m=4.

y1 y2

y1 y2

所以 m=-1,所以 l 的方程为 x+y-1=0.
(2)由(1)可知,m≠0,C(0,- 1 ),D(2m2+1,2m). m
则直线 MN 的方程为 y-2m=-m(x-2m2-1),则

M(2m2+3,0),N(0,2m3+3m),F(1,0),

? ? S△NDC= 1 ·|NC|·|xD|= 1 ·|2m3+3m+ 1

(m2 ?1) |·(2m2+1)=

2m2 ?1

2



2

2

m

2 | m|

S△FDM= 1 ·|FM|·|yD|= 1 ·(2m2+2)·2|m|=2|m| (m2+1),

2

2

? ? 则 S?NDC =

2m2 ?1 2 ? m2 ?

1

+1≥2,

S?FDM

4m2

4m2

当且仅当 m2= 1 ,即 m2= 1 时取等号.

4m2

2

所以, S?NDC 的最小值为 2. S?FDM

24.(1) x2 ? y2 ? 1 ;(2)答案见解析. 43
(1)由已知 c ?1,

∴ a2 ? b2 ?1①

∵椭圆过点

???1,

3 2

? ??



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9



1 a2

?

4 b2

?1②

联立①②得 a2 ? 4 , b2 ? 3

∴椭圆方程为 x2 ? y2 ? 1 43

(2)设 P? x0, y0 ? ,已知 A??2,0?, B?2,0?
∵ y0 ? 0 ,∴ x0 ? ?2 ∴ AP, BP 都有斜率

∴ kAP

?

y0 x0 ?

2

,

k

BP

?

y0 x0 ? 2

∴ kAP

? kBP

?

y02 ③ x02 ? 4

∵ x02 ? y02 ? 1 43



y02

?

? 3?1?
?

x02 4

? ? ?



将④代入③得

k AP

? kBP

?

? 3?1?
?

x02 4

x02 ? 4

? ? ?

?

?

3 4

设 AP 方程 y ? k ? x ? 2?

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∴ BP 方程 y ? ? 3 ? x ? 2?
4k



M

?6,

8k

?

,

N

? ??

6,

?

3 k

? ??

由对称性可知,若存在定点,则该定点必在 x 轴上,设该定点为T ?t, 0?

则TM ? TN

∴ TM

?TN

?

?6

?

t , 8k

?

?

? ??

6

?

t, ?

3 k

? ??

?

?6

?

t

?2

?

??24?

?

0

∴ ?6 ? t ?2 ? 24 ,∴ t ? 6 ? 2 6

? ? ? ? ∴存在定点 6 ? 2 6, 0 或 6 ? 2 6, 0 以线段 MN 为直径的圆恒过该定点.

敬请批评指正

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