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重庆市2018届高三数学上学期期中试题文


重庆市 2018 届高三数学上学期期中试题 文
数学试题共 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号。 3.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。 一.选择题(每小题 5 分,共 60 分, 每小题只有一个选项是正确的,把正确答案填写在括号内) 1.直线 x ? 3 y ? 1 ? 0 的倾斜角是( A. ) C.

? 6

B.

? 3

2? 3

D.

5? 6


2 2..设集合 A ? ??1,0,1,2,3? , B ? x x ? 3 x ? 0 ,则 A ? (CR B) (

?

?

A.

??1?
2

B. ?0,1,2,3?

C. ?1, 2,3?

D. ?0,1,2? )

3.若复数 z 满足 z ?1 ? i ? ? 1 ? i , 其中 i 为虚数单位, 则 z 在复平面内所对应的点位于 ( A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 )

4.已知 ?,? 是两个不同平面,直线 l ? ? ,则“ ?//? ”是“ l // ? ”的( A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 )

D. 既不充分也不必要条件

( 1, 1 ) 5.过点 ,且在 y 轴上的截距为 3 的直线方程是(
A. x ? 2 y ? 3 ? 0 B. 2 x ? y ? 1 ? 0

C. x ? 2 y ? 1 ? 0

D. 2 x ? y ? 3 ? 0 )

6.已知直角坐标系中点 A(0, , 向量 AB ? (?4,?3), BC ? (?7,?4), 则点 C 的坐标为 ( 1 )

,8) A. (11

B. (3,2)

C. (?11, ?6)

D. (?3, 0)

?x ? y ? 2 ? 7.若 x, y 满足约束条件 ?2 x ? y ? 1 ,则 2 x ? 3 y 的最大值( ?2 x ? 5 y ? 1 ? 0 ?
A.9 B. 1 C. 7



D.-1

8.《张丘建算经》是 我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有女不善 织, 日减功迟, 初日织五尺, 末日织一尺, 今共织九十尺, 问织几日?”, 已知“日减功迟” 的具体含义是每天比前一天少织同样多的布,则此问题的答案是( A. 10 日 B. 20 日 C. 30 日 ) D. 40 日
1

9.已知函数 f ( x ) ? sin(?x ? 的图象向左平移

?
6

)( ? ? 0 , 0 ? ? ? ? )的最小正周期是 ? ,将函数 f ? x ?


? 个单位长度后所得的函数为 y ? g ( x) ,则函数 y ? g ( x) 的图像( 6 ? ? ( , 0) A. 有一个对称中心 B. 有一条对称轴 x ? 12 6 ? ? ( , 0) C.有一个对称中心 D. 有一条对称轴 x ? 3 4

10.已知偶函数 y ? f ( x ?

?

? ? ?? ) ,当 x ? ? ? , ? 时, f ? x ? ? x 3 ? sinx . 2 ? 2 2?
1

设 a ? f ?1? , b ? f ? 2? , c ? f ? 3? ,则( A. a ? b ? c B. b ? c ? a

) C. c ? b ? a D. c ? a ? b

11. 三棱锥 D ? ABC 及其正视图和侧视图如右 图所示,且顶点 A, B, C , D 均在球 O 的表面上, 则球 O 的表面积为( A. 32? C. 128? ) B. 36? D. 144 ?

12.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , O 为 ?ABC 的外心, D 为 BC 边上的 中点, C ? 4 , AO ? BC ? ?6 , sin C ? sin A ? 4 sin B ? 0 ,则 cosA ? ( A. )

3 2

B.

1 2

C.

1 4

D.

2 8

二. 填空题(每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在横线上) 13.已知向量 a ? ? ?1, 2? , b ? ? m,3? , m ? R ,若 a ? b ,则 m ?
2 14.已知函数 f ( x) ? x ? 3x ? 2 ln x 则函数 f ( x) 的单调递减区间为

?

?

?

?

15.对任意 a ?[?1,1] ,函数 f ( x) ? x 2 ? (a ? 4) x ? 4 ? 2a 的值恒大于零,则 x 的取值范围 是 16.数列 ?an ? 满足: a1 ?

1 (n ? 1)an (n ? N ? ) ,则数列 ?an ? 的前 n 项和 ,且 an ?1 ? 3 3an ? n

sn ?

三.解答题(共 70 分,每小题要求写出解答过程) 17. (本小题满分 12 分)

2

若数列 {an } 的前 n 项和 Sn 满足 Sn ? 2an ? n (1)求证:数列 ?an ?1 ? 是等比数列; (2)设 bn ? log2 (1 ? an ) ,求数列 {

.

1 } 的前 n 项和 Tn . bn bn ?1

18.(本小题满分 12 分) 旅行社为某旅行团包飞机去旅游,其中旅行社的包机费为 15000 元.旅行团中的每个人 的飞机票按以下方式与旅行社结算:若旅行团的人数不超过 35 人时,飞机票每张收费 800 元;若旅行团的人数多于 35 人时,则予以优惠,每多 1 人,每个人的机票费减少 10 元,但旅行团的人数最多不超过 60 人.设旅行团的人数为 x 人,飞机票价格为 y 元, 旅行社的利润为 Q 元. (1)写出飞机票价格 y 元与旅行团人数 x 之间的函数关系式; (2)当旅行团人数 x 为多少时,旅行社可获得最大利润?求出最大利润.

19. (本小题满分 12 分) 已知直线 x ?

π 是 函数 f ? x ? ? msin2x ? cos2x 的图象的一条对称轴. 3

(1)求函数 f ? x ? 的单调递增区间; (2) 设 ?ABC 中角, A , B , C 所对的边分别为 a , b , 求 a ? c 的最大值. 若 f ? B? ? 2 , 且b ? 3 , c,

20.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为菱形, ?DAB ? 60 , PD ? 平面ABCD ,
?

PD ? AD ? 2 ,点 E , F 分别为 AB和PD 的中点.
(1)求证:直线 AF ∥平面 PEC ; (2)求点 F 到平面 PEC 的距离.

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? lnx ? (1)求 a 的值;
3

a ? 1 的图象与 x 轴相切. x

(2)求证: f ? x ?

? x ? 1? ?
x

2



(3)若 1 ? x ? b ,求证:

? b ? 1? logb x ?

x2 ?1 . 2

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。 22.(本小题满分 10 分) 选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中, 直线 l 的参数方程 ?

? x ? 1 ? t cos ? ,以坐 标原点 O 为极点, 以x (t为参数) y ? t sin ? ?

轴正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的单位长度,曲线 C 的极 坐标方程 为 ? =4cos ? . (1)求曲线 C 的直角坐标方程; (2)若直线 l 与曲线 C 交于点 A, B ,且 AB ? 14 ,求直线的倾斜角 ? 的值.

23.(本小题满分 10 分) 选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? x ? a . (1)若 a ? 1 ,解不等式 f ? x ? ? 4 ? x ?1 ; (2)若不等式 f ? x ? ? 1 的解集为 ? 0, 2? ,

1 1 ? ? a(m ? 0, n ? 0) ,求 mn 的最小值. m 2n

命题人:蒋 静 审题人:杨春权 邹超强 2017 年重庆一中高 2018 级高三上期半期考试 数 学 答 案(文科) 2017.10 一.选择题

4

1 D

2 B

3 C

4 A

5 D

6 C

7 A

8 C

9 B

10 D

11 A

12 C

二.填空题 13. 6 三.解答题 17.解:(1) 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2a1 ? 1,解得 a1 ? ?1 ??1 分 当 n ? 1 时,由题意, Sn?1 ? 2an?1 ? ? n ?1? 14. (0, )

1 2

15. x < 1或x > 3

16.

n . 3

Sn ? Sn ?1 ? (2an ? n) ? ? ? 2an ?1 ? ? n ? 1? ? ? ? 2an ? 2an ?1 ? 1 ,即 an ? 2an?1 ?1 ??3 分
所以 an ?1 ? 2 ? an?1 ?1? ,即

an ? 1 ?2 an?1 ? 1

数列 ?an ?1 ? 是首项为 ?2 ,公比为 2 的等比数列??6 分 (2)由(1) , an ?1 ? ? 22?
n?1

2 ? ? n ,所以 an ? 1 ? 2n ??8 分

bn ? log2 2 n ? n,

1 1 1 1 ??10 分 ? ? ? bn bn?1 n(n ? 1) n n ? 1

1 1 1 1 1 1 n ? Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 1? ? ??12 分 2 2 3 n n ?1 n ?1 n ?1

18.解(1)依题意得, y ? ?

?800(1 ? x ? 35且x ? N) ??5 分 (35 ? x ? 60且x ? N ) ?- 10x ? 1150 (1 ? x ? 35且x ? N) ?800x ? 15000
2 (35 ? x ? 60且x ? N ) ?- 10x ? 1150x ? 15000

(2)设利润为 Q, 则Q ? y ? x ? 15000? ?

当 1 ? x ? 35且x ? N时,Qmax ? 800? 35 ?15000? 13000
当35 ? x ? 60且x ? N时, Qmax ? ?10( x ? 115 2 36125 ) ? 2 2

? x ? 57或58时,可获最大利润为 18060 元。 ??12 分

5

19.解x ?

?
3

是函数f ( x) ? m sin 2 x ? cos 2 x的一条对称轴

? f ( ) ? m 2 ?1或- m 2 ? 1 ? m ? 3 ? f ( x) ? 2sin(2 x ? )……3分 3 6

?

?

? ?? ? ? 增区间为?k? ? , k? ? ?(k ? Z ) ??6 分 6 3? ?
(2) f ? B ? ? 2 ? sin ? 2 B ?

? ?

??

? ? 1 ? B ? ??7 分 6? 3

?

又 b ? 3 ,由正弦定理得: a ? 2 sin A, c ? 2 sin C ??9 分

a ? c ? 2 sin A ? 2 sin( ? A ? (0,

2? ? ) ? A ? 时, a ? c取最大值 2 3 ??12 分 3 3

2? ? ? A) ? 3 cos A ? 3 sin A ? 2 3 sin( ? A) ??11 分 3 6

20.解: (1)设 PC 的中点为 Q ,连接 EQ, FQ , 由题意, FQ ∥ DC 且 FQ ?

1 1 CD , AE ∥ CD 且 AE ? CD 2 2

故 AE ∥ FQ 且 AE ? FQ ,所以,四边形 AEQF 为平行四边形 所以, AF ∥ EQ ,又 EQ ? 平面PEC,AF ? 平面AEC 所以, AF ∥平面 PEC ??6 分 (2)由(1) ,点 F 到平面 PEC 的距离等于点 A 到平面 PEC 的距离,设为 d . 由条件易求 EC ? 故 S ?PEC ?

7 , PE ? 7 , PC ? 2 2, AC ? 2 3 ,

1 1 3 ? 2 2 ? 5 ? 10 , S?AEC ? ?1? 3 ? 2 2 2

所以由 VA? PEC ? VP? AEC 得

1 1 3 10 ? d ? ? ?2 3 3 2

解得 d ?

30 ??12 分 10

6

a ? ln x0 ? ? 1 ? 0 ? x0 ? ? f ( x0 ) ? 0 ? 21.解(1)设切点 ? x0 ,0 ? , 则 ? ' 即? ? a ? x0 ? 1 ??2 分 ? ? f(x0 ) ? 0 ? 1 ? a ? 0 2 ? ? x0 x 0
(2) ? f ( x) ? ln x ? 1 ( x ? 1) 2 ? 1, f ( x) ? 等价于 ln x ? x ? 1 x x 1 设h( x) ? ln x ? x ? 1, 则h?( x) ? ? 1, 当0 ? x ? 1时,h?( x) ? 0, h( x)单调递增; x ' 当x ? 1时,h ( x) ? 0, h( x)单调递减, ? h( x) ? h(1) ? 0, 即ln x ? x ? 1, 得证。……6分
x2 ?1 b ?1 (? ln b) x 2 ? b ? 1 , g ?( x) ? ?x? , 2 x ln b x ln b

(3)设g ( x) ? (b ? 1) logb x ?

由g ?( x) ? 0, 得x0 ?

b ?1 x ?1 ,由(2)可得,当x ? 1时, ln x ? x ? 1, 即 ? 1; ln b ln x 1 1 1 x ?1 x ?1 以 代换x可得 ln ? ? 1, 有 ln x ? ,即 ? x,?当b ? 1时,有1 ? x0 ? b……10分 x x x x ln x

当 1 ? x ? x0时,g?( x) ? 0, g ( x)单调递增 ;当x0 ? x ? b时,g?( x) ? 0, g( x)单调递减,
又? g (1) ? g ( b ) ? 0, 所以g ( x) ? 0,即(b ? 1) logb x ?
22. ( 1 )(x ? 2) ? y ? 4 ??5 分
2 2

x2 ?1 ??12 分 2

(2) 将 直 线 参 数 方 程 代 入 圆 的 方 程 得 ? tcos? ? 1? ? ? tsin? ? ? 4 , 化 简 得
2 2

s ?t1 ? t2 ? 2 c o ? t 2 ? 2t c o ?s? ? 3 ,0 设 A, B 两 点 对 应 的 参 数 分 别 为 t1 , t2 , 则 ? , ?t1t2 ? ?3
? AB ? t1 ? t2 ?


? t1 ? t2 ?

2

? 4t1t2 ? 4cos 2? ? 12 ? 14,? 4cos 2? ? 2, cos? ? ?

2 ? ,? ? 2 4

3? ??10 分 4

23. (Ⅰ)函数 f ? x ? ? x ? a . 当 a ? 1 ,不等式为 f ? x ? ? 4 ? x ? 1 ? x ? 1 ? x ? 1 ? 4 去绝对值,解得: x ? 2 或 x ? ?2 原不等式的解集为 ??, ?2 ??? 2, ?? ;??5 分

?

?

2? , ? x ? a ? 1 ? a ?1 ? x ? a ? 1. ? f ? x ? ? 1的解集为 (Ⅱ) f ? x ? ? 1 的解集为 ?0,

7

?0, 2?
a ?1 ? 0 1 1 1 ? ?1? 2 (m ? 0, n ? 0) , ? mn ? 2 , ? a ? 1. ? ? { a ?1 ? 2 m 2n 2mn
(当且仅当

1 1 1 ? ? 即 m ? 1, n ? 2 ,时取等号)? mn 的最小值为 2.??10 分 m 2n 2

8


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