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2012华师一附中自主招生数学试题


华中师大一附中 2012 年高考招生考试 数学测试 一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 26 分,在每小题给出的四个选项中,有且 只有一项是正确的。 ) 1、若 a ? b ? 1, 且有5a ? 2012a ? 9 ? 0及9b ? 2012b ? 5 ? 0, 则
2 2

a 的值是 b

A、

9 5

B、

5 9

C、 ?

2012 5

D、 ?

2012 9

2、已知 a 为锐角,下列结论:① sin ? cos a ? 1; ② 如果a ? 450,那么sin a ? cos a; ③若 cos a ?

1 , 则00 ? a ? 600 ; ④ (sin a ? 1) 2 ? 1 ? sin a 。正确的有 2

A、①②③④ B、①②③ C、③④ D、②③④ 3、将三个均匀的六面分别标有 1,2,3,4,5,6 的正方形同时掷出,出现的数字分别为 a,b,c, 则 a,b,c 正好是直角三角形三边长的概率是 A、

1 216

B、

1 36

C、

1 12

D、

1 72

4、关于 x 的不等式 ax2 ? (a2 ? 1) x ? a ? 0(a ? 0) 的解集为 A、 x ?

1 或x ? a a

B、 x ? 1 的实数

C、

1 ?x?a a

D、以上都不对

5、如图所示,在△ABC 的边 BC,CA 上分别有点 E、F,满足 BE=CF=a,EC=FA=b(a>b) 。 当 BF 平分 AE 时,则

a 的值为 b

A、

5 2

B、

5 ?3 2

C、

5 ?1 2

D、

5?2 2

6、如图所示,边长为 1 的正三角形 ABC,分别以顶点 A,B,C 为圆心,1 为半径作圆, 则这三个圆所覆盖的图形面积为

A、

3? ? 3 2

B、

3? ? 3 2

C、

7? ?2 3 2

D、 3? ? 2 3

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 7 分,共 42 分) 7、在△ABC 中,AB=2,AC=3,∠A=60°,AD 为∠A 的平分线,E 为线段 AD 的中点, 则△BDE 的面积为 。

8、 已知方程组 (1) ?

?mx ? 3ny ? 12 ?x ? y ? 5 与 (2) 有相同的解, 则 ( x m )n = ? 5 mx ? ny ? n ? 26 4 x ? 2 y ? 10 ? ?




9、使得不等式 2 x ? 3 ? k ? x 有解的实数 k 的取值范围是

10、某超市准备在每周末进行优惠促销,超市规定:①若一次性购物不超过 188 元,不予以 折扣;②若一次性购物超过 188 元但不超过 488 元,按标价给予八折优惠;③若一次性购物 超过 488 元,其中 488 元按标价给予八折优惠,超过部分按标价给予七折优惠。某人三次购 物分别付款 162 元, 368 元, 600.4 元, 如果他只去一次购买同样的商品, 则应该付款 元。 11、观察下列三角形数表则最后一行的数为 。

12、如图,△BFC 与△BMC 有公共边 BC,点 A 为线段 BF 上一点,过点 A 作 AD∥BC, 分别交 BM,CF,CM 于点 N,E,D,P 为 BM 与 CF 的交点,且 EM∥BF,则下列结论一 定成立的有 。 (写出所以正确结论的编号) ①PN.PC=PM.PF ②∠EFN=∠EMN ③∠AFN=∠DME ④∠ANF=∠BCD ⑤△BFN∽△CME 三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤。 ) 13、 (本题 13 分)已知不相等的两正数 a,b 满足 a ? 5a ? ?2, b ? 5b ? ?2 ,求下列各式
2 2

的值。 (1)

3a 2 ? ab ? 3b 2 a ?b 5(5a ? a 2 ) a a ? b b 2 2 a ?b ? ( ? ) ?( a ? ) 2 b ?2 a ?b a b b

(2)

14、 (本题 13 分)如图,I 是△ABC 的内心,AB≠AC,过点 I 作一圆与边 AB 相切于点 B, 与直线 AC 交于点 D 和 E,连结 BE,若∠ABC=80°,∠EBC=30°, BI ? 2DI 求∠DIC 的大小。 15、 (本题 13 分)已知函数 y ? f ( x)(?3 ? x ? 3)满足f (? x) ? ? f ( x) ,且对任意实数 a,b, 若 ?3 ? a ? 3, ?3 ? b ? 3, a ? b ? 0, 都有

f (a) ? f (b) ?0。 a?b

(1)若 a>b,比较 f(a)与 f(b)的大小。 (2)若函数 g ( x) ? f ( x ? c)和h( x) ? f ( x ? c2 ) 中的自变量 x 取值没有公共部分,求 c 的 取值范围。

16、 (本题 15 分)在一直线上从左到右依次排列着 2012 个点 p1 , p2 … p2012 ,且 pk 是线段

pk ?1 pk ?1 的 k 等分点中靠近 pk ?1 的那个点 (2 ? k ? 2011), 且p1 p2 ? 1, p2011 p2012 ? 1,
记n ?(n-1)....3 ? 2 ? 1=n1
(1)求 p2 p3 , p3 p4 ; (2)求 1 (3)求证: 2t ? (32008 )?1

17、 (本题 18 分)对 a>b>c>o,有抛物线方程 f ( x) ? x2 ? (a ? b ? c)(ab ? bc ? ac) 。 (1)若抛物线与 x 轴有交点,判断以 a,b,c 为边能否构成一个三角形? (2)当方程有实根 6,9 时,求正整数 a,b,c; (3)若抛线物与 x 轴的一个交点的横坐标为 x0 ,求证:b+c< x0 <a.



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