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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修3【配套备课资源】3.1.3


3.1.3

3.1.3 频率与概率
【学习要求】 1.在具体情境中,了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定
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性; 2.理解概率的意义以及频率与概率的区别; 3.正确理解概率的意义,利用概率知识正确理解现实生活中的 实际问题. 【学法指导】 通过对概率的实际意义的理解,体会知识来源于实践并应用于 实践的辩证唯物主义观,进而体会数学与现实世界的联系.感知 应用数学知识解决数学问题的方法,理解逻辑推理的数学方法.

填一填·知识要点、记下疑难点

3.1.3

1.概率的统计定义
本 课 时 栏 目 开 2.概率的性质 关

m 一般地,在 n 次重复进行的试验中,事件 A 发生的频率 ,当 n n 很大时,总是在某个 常数 附近摆动,随着 n 的增加,摆动幅度 越来越小 ,这时就把这个常数叫做事件 A 的概率,记作 P(A). (1) 0 ≤P(A)≤ 1 .

(2)必然事件 A 的概率 P(A)= 1 . (3)不可能事件 A 的概率 P(A)= 0 . 3.概率是可以通过 频率 来“测量”的,或者说频率是概率的一 个 近似 ,概率从数量上反映了一个事件发生可能性的大小.

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3.1.3

[问题情境]
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据澳大利亚媒体报道,最近澳大利亚税务局盯上

了一个神秘的赌博俱乐部“庞特俱乐部”.传说这个天才赌 博团 19 名成员全部由数学家组成,他们在全球各个赌场奔走, 用专业的数学方法计算概率,号称”十赌九赢”,仅仅 3 年就 赚取了超过 24 亿澳元(约 156 亿元人民币).今天我们就来学 习概率.

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3.1.3

探究点一
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事件 A 发生的频率与概率

导引

在投掷硬币的试验中,虽然我们不能预先判断出现正

面向上,还是反面向上,但是假定硬币均匀,直观上可以认为 出现正面与反面的机会相等,即在大量试验中出现正面的 频率接近于 0.5.

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问题 1

3.1.3

历史上曾有人作过抛掷硬币的大量重复试验,结果如

下表所示
实验者 试验次数(n) 出现正面的次数(m) 出现正面的频率(m/n)
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棣莫佛 蒲丰 费勒 皮尔逊 皮尔逊

2 048 4 040 10 000 12 000 24 000

1 061 2 048 4 979 6 019 12 012

0.518 1 0.506 9 0.497 9 0.501 6 0.500 5

在上述抛掷硬币的试验中,随着次数的增加,出现怎样的规 律?正面向上的比例将稳定在哪个值? 答 出现正面朝上的次数与正面朝下的次数越来越接近,虽
然正面朝上的比例都不同,但正面朝上的比例稳定在 0.5.

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问题 2 吗?
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3.1.3

我们把硬币正面朝上的频率所趋向的稳定值称作硬

币正面朝上的概率,你能给随机事件 A 发生的概率下个定义
m 答 一般地,在 n 次重复进行的试验中,事件 A 发生的频率 , n 当 n 很大时,总是在某个常数附近摆动,随着 n 的增加,摆动幅 度越来越小,这时就把这个常数叫做事件 A 的概率,记作 P(A). 问题 3 在相同条件下,事件 A 在先后两次试验中发生的频率
是否一定相等?事件 A 在先后两次试验中发生的概率 P(A) 是否一定相等? 答 频率具有随机性,做同样次数的重复试验,事件 A 发生的 频率可能不相同;概率是一个确定的数,是客观存在的,与每 次试验无关.

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问题 4 概率的取值范围是什么?为什么?

3.1.3

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答 概率的取值范围是[0,1],因为在 n 次试验中,事件 A 发生 m 的频数 m 满足 0≤m≤n,所以 0≤ ≤1.当 A 是必然事件 n 时,P(A)=1,当 A 是不可能事件时,P(A)=0.
问题 5 概率为 1 的事件是否一定发生?概率为 0 的事件是否 一定不发生?为什么?

答 都不一定.因为概率是频率的稳定值,当频率的稳定值接 近 1 时,我们就说概率为 1,但也不能确定一定发生,只是发生 的可能性很大,同样的道理概率为 0 的事件也不是一定不发 生.

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例 1 某射手在同一条件下进行射击,结果如下表所示: 射击次数 n 击中靶心次数 m m 击中靶心的频率 n 10 20 50 100 200 500 8 19 44 92 178 455

3.1.3

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(1)填写表中击中靶心的频率; (2)这个射手射击一次,击中靶心的概率约是多少?

解 (1)表中依次填入的数据为 0.80,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91.
(2)由于频率稳定在常数 0.89 附近,所以这个射手射击一次, 击中靶心的概率约是 0.89. 小结 概率实际上是频率的科学抽象,求某事件的概率可以 通过求该事件的频率而得.

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跟踪训练 1 中的男婴数如下表所示: 时间范围
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3.1.3

一个地区从某年起几年之内的新生婴儿数及其 1 年内 2 年内 3 年内 4 年内

新生婴儿数 n 5 544 9 607 13 520 17 190 男婴数 m 2 883 4 970 6 994 8 892 (1)计算男婴出生的频率(保留 4 位小数); (2)这一地区男婴出生的概率约是多少?
解 (1)①第一年内:n1=5 544,m1=2 883,
m1 故频率为 ≈0.520 0. n1

②第二年内:n2=9 607,m2=4 970. m2 故频率为 ≈0.517 3. n2

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③第三年内:n3=13 520,m3=6 994,
m3 故频率为 ≈0.517 3. n3
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3.1.3

④第四年内:n4=17 190,m4=8 892, m4 故频率为 ≈0.517 3. n4

(2)由于这些频率非常接近 0.517 3,因此这一地区男婴出生的概 率约为 0.517 3.

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3.1.3

探究点二 问题 1
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概率的正确理解

频率与概率有什么区别和联系?
①频率是随机的,在实验之前不能确定;②概率是一个确



定的数,与每次实验无关;③随着实验次数的增加,频率会越 来越接近概率;④频率是概率的近似值,概率是用来度量事件 发生可能性的大小.

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3.1.3

问题 2 有人说,既然抛掷一枚硬币出现正面的概率为 0.5,那么 连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币,一定是一次正面朝上,一
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次反面朝上,你认为这种说法正确吗?
答 这种说法是错误的,抛掷一枚硬币出现正面的概率为 0.5, 它是大量试验得出的一种规律性结果,对具体的几次试验来 讲不一定能体现出这种规律性,在连续抛掷一枚硬币两次的 试验中,可能两次均正面向上,也可能两次均反面向上,也可 能一次正面向上,一次反面向上.

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3.1.3

问题 3 若某种彩票准备发行 1 000 万张,其中有 1 万张可以中 奖,则买一张这种彩票的中奖概率是多少?买 1 000 张的话 是否一定会中奖?
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中奖的概率为 1/1 000;不一定中奖,因为买彩票是随机

的,每张彩票都可能中奖也可能不中奖.买彩票中奖的概率为 1/1 000,是指试验次数相当大,即随着购买彩票的张数的增加, 大约有 1/1 000 的彩票中奖.

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3.1.3

问题 4 为了确定某类种子的发芽率,从一大批种子中抽出若 干批做发芽试验,其结果如下:
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种子粒数 发芽粒数 发芽率

25 24

70 60

130 116

700 2 000 3 000 639 1 806 2 713

0.96 0.857 0.892 0.913 0.903 0.904

你能从以上的数据中看出这类种子的发芽率约为多少?

答 从表中数据显示,随着种子粒数的增加,发芽率在 0.9 左 右摆动,并且越来越接近 0.9,所以发芽率约为 0.9.

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小结

3.1.3

1.概率的意义:概率是对随机事件发生的可能性大小的度量,它 反映了随机事件发生的可能性的大小.但随机事件的概率大, 并不表明它在每一次试验中一定能发生.概率的大小只能说
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明随机事件在一次试验中发生的可能性的大小,即随机性中 含有规律性.认识了这种随机性中的规律性,就使我们能比较 准确地预测随机事件发生的可能性. 2.概率的统计定义:概率是可以通过频率来“测量”的,或者说 频率是概率的一个近似.像木棒的长度,土地的面积一样都是 测量出来的,不论尺或仪器多么精确,测得的数值总是稳定在 木棒真实的“长度”(或土地真实的“面积”)值的附近,事 实上,人们也是把测量所得的值当作真实的“长度”值.

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3.1.3

例 2 某种病的治愈率是 0.3,那么,前 7 个人没有治愈,后 3 个人 一定能治愈吗?该如何理解治愈率是 0.3 呢?
解 如果把治疗一个病人作为一次试验,治愈率是 30%,指随 着试验次数的增加,即治疗的病人数量的增加,大约有 30%的
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人能够治愈,对于一次试验来说,其结果是随机的;因此前 7 个 人没治愈是可能的,对后 3 个人来说,其结果仍然是随机的,即 有可能治愈,也有可能没有治愈.

治愈的概率是 0.3,是指如果患病的人有 1 000 人,那么我们根 据“治愈的频率应在治愈的概率附近摆动”这一前提,就可 以认为这 1 000 人中,大约有 300 人能治愈,这个事先估计对 于医药卫生部门是很有参考价值的.这也进一步说明了随机 事件的概率只是反映了在大量重复试验条件下,随机事件发 生的频率的稳定性.

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3.1.3

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小结

只有正确理解概率的含义,才能澄清日常生活中出现的

一些错误认识.

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3.1.3

跟踪训练 2 如果掷一枚质地均匀的硬币,连续 5 次正面向上, 1 有人认为下次出现反面向上的概率大于 ,这种理解正确 2
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吗?

解 这种理解是不正确的.掷一枚质地均匀的硬币,作为一次 试验,其结果是随机的,但通过大量的试验,其结果呈现出一 1 定的规律,即“正面向上”,“反面向上”的可能性都为 ,连 2 续 5 次正面向上这种结果是可能的,但对下一次试验来说,仍 1 然是随机的,其出现正面向上和反面向上的可能性还是2 ,而 1 不会大于2.

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3.1.3

1 1.“某彩票的中奖概率为 ”意味着 1 000 本 课 A.买 1 000 张彩票就一定能中奖 时
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( D )

B.买 1 000 张彩票中一次奖 C.买 1 000 张彩票一次奖也不中 1 D.购买彩票中奖的可能性是 1 000

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3.1.3

2.同时向上抛掷 100 枚质量均匀的铜板,落地时这 100 枚铜板全 都正面向上,则这 100 枚铜板更可能是下面哪种情况 ( A ) A.这 100 枚铜板两面是一样的
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B.这 100 枚铜板两面是不一样的 C.这 100 枚铜板中有 50 枚两面是一样的,另外 50 枚两面是 不一样的 D.这 100 枚铜板中有 20 枚两面是一样的,另外 80 枚两面是 不一样的
解析 一枚质量均匀的铜板,抛掷一次正面向上的概率为

0.5 ,从题意中知抛掷 100 枚结果正面都向上,因此这 100 枚铜 板两面是一样的可能性最大.

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3.1.3

3.某中学要在高一年级的二、三、四班中任选一个班参加社区 服务活动,有人提议用如下方法选班:掷两枚硬币,正面向上 记作 2 点,反面向上记作 1 点,两枚硬币的点数和是几,就选几 班,你认为这种方法公平吗?
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解 两枚硬币的点数和可列下表: 一枚 另一枚 1点 2点 1点 2 3 2点 3 4

很明显,试验的结果共有 4 种,而点数 3 占了两种,点数 2 和 4 各占一种,因此,每个班被选中的概率是不同的,这种选法是 不公平的.

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3.1.3

1.概率意义下的“可能性”是大量随机现象的客观规律,与我
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们平时所说的“可能”“估计”是不同的,也就是说,单独一 次结果的不肯定性与积累结果的规律性,才是概率意义下的 “可能性”,而日常生活中的“可能”“估计”侧重于某次 的偶然性. 2.概率与频率关系:对于一个事件而言,概率是一个常数,而频 率则随着试验次数的变化而变化,试验次数越多,频率就越接 近于事件的概率.


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