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空间向量解立体几何第一讲教师版


高频考点 空间直角坐标系的建立及空间向量 知识点 1.空间直角坐标系的建立,空间直角坐标系中点的写法及空间向量的坐标: (1)从空间某一个定点 O 引三条互相垂直且有相同的单位长度的数轴,这样就建立了一个空间直角坐标 系 O ? xyz .点 O 叫做坐标原点, x 轴、 y 轴、 z 轴叫做坐标轴,这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平 面,分别称为 xOy 平面、 yOz 平面和 zOx 平面. (2)右手直角坐标系 在空间直角坐标系中,让右手拇指指向 x 轴的正方向,食指指向 y 轴的 正方向, 若中指指向 z 轴的正方向, 则称这个坐标系为右手直角坐标系. 本 书建立的坐标系都是右手直角坐标系. (3)空间点的坐标表示 对于空间任意一点 A , 作点 A 在三条坐标轴上的射影, 它们与 x 轴与 y 轴 和 z 轴分别交与 P, Q, R .点 P, Q, R 在相应数轴上的坐标依次为 x, y, z ,我们把有序实数对 ? x, y, z ? 叫 做点 A 的坐标,记为 A ? x, y, z ? . (4) 空间任意两点连线的向量坐标为 终点坐标减去起点坐标,已知 .N 3 .M 2 y N 空间直角坐标系 2 o 1 x P?x1 , y1 , z1 ?, Q?x2 , y2 , z 2 ? 那 么 1 x o 平面直角坐标系 PQ ? ?x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1 ? ,特 别 地 起 点 在 原 点 则 终 点 坐 标 即 为 该 向 量 的 坐 标 。 若 P, Q 两 点 的 中 点 为 M , 则 中 点 M 的 坐 标 为 ? x ? x2 y1 ? y 2 z1 ? z 2 ? M? 1 , , ? 2 2 ? ? 2 例 1.如图,已知长方体 ABCD ? A?B ?C ?D ? 的边长为 AB ? 12, AD ? 8, AA? ? 5 .以这个长方体的顶点 A 为坐标原点,射线 AB, AD, AA? 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系,求长方体各个 顶点的坐标. 2.长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别为 AB、B1C1 中点,若 AB=BC=2,AA1=4,试写出各点的坐标: 第 1 题图 1 第 2 题图 高频考点 空间直角坐标系的建立及空间向量 知识点 2.向量的直角坐标运算: (1)设 a ? ? x1 , y1 , z1 ? ; b ? ? x2 , y2 , z2 ? 则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 , z1 ? z2 ? ;. a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 , z1 ? z2 ? ; ? a ? ? ? x1 , ? y1 , ? z1 ? ; 数量积: a ? b ? a b cos a, b ? x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 ; 模: a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? x12 ? y12 ? z12 ; PQ ? ?x2 ? x1 ?2 ? ? y2 ? y1 ?2 ? ?z 2 ? z1 ?2 x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 ; ? ? ? ? a ?b 夹角公式: cos a, b ? ? ? ? a b 向量 a 在向量 b 上的投影: ? ? 2 2 2 2 x ? y12 ? z1 x2 ? y2 ? z2 2 1 ? ? a? b ? 。

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