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江苏省扬州中学11-12学年高二数学四月质量检测试题


扬州中学高二四月质量检测 数 学 试 卷 2012 年 04 月

锁定阿凉

每周更新

专注江苏

分钟,请将答案全部写在答题纸上. 注:本试卷满分 160 分,考试时间 120 分钟,请将答案全部写在答题纸上. 小题, 一.填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 填空题( 1. 已知复数 z =

5 ( i 是虚数单位) ,则 z = ___. 1 ? 2i 1 3 1 1 5 1 1 1 7 2 . 观 察 式 子 1+ 2 < , 1+ 2 + 2 < , 1+ 2 + 2 + 2 < , 则 可 以 归 纳 出 2 3 4 2 2 3 2 3 4

1+

1 1 1 1 + 2 + 2 + ??? + < 2 2 3 4 (n + 1) 2

___.

( 3. 用数学归纳法证明 12 + 2 2 + ? ? ? + n ? 1) 2 + n 2 + ( n ? 1) 2 + ? ? ? + 2 2 + 12 = n(2n 2 + 1) 时,由 n = k 的假设到证明 n = k + 1 时,等式左边应添加的式子是 3
4 2 3 4



2 2 4.若 (2 x + 3 ) = a0 + a1 x + a2 x + a3 x + a 4 x ,则 (a 0 + a 2 + a 4 ) ? ( a1 + a3 ) 的值



. .

5.若 z ? i = 1 ,则 z 最大值为

6.四面体 ABCD 中, AB = 2,BC = 3,BD = 2 3 , CD = 3, ∠ABD = 30 o ,

∠ABC = 60 o ,则AB与CD所成角为



7.已知扇形的圆心角为 2α (定值) ,半径为 R (定值) ,分别按图一、二作扇形的内接矩 形,若按图一作出的矩形面积的最大值为

1 2 R tan α ,则按图二作出的矩形面积的最大值 2


3 3


4

8.若 C n = C n ?1 + C n ?1 ,则 n =



9.6 个相同的小球放入标号为 1、2、3 的 3 个小 盒子中,要求每个盒子都不空,共有方法总数 为 .


图一 第 7 题图


图二

用心

爱心

专心

1

10. 把 1,3,6,10,15,21, L 这些数叫做三角形数,这是因为这些数目的点可以排成 一个正三角形(如下面) ,则第 n 个三角形数是 .

则当 QA ?QB 取得最小值 11. 已知两点 A(1,2,3) , (2,1,2) , P (1,1,2) 点 Q 在直线 OP 上运动, 时, Q 点的坐标 .

12. 甲、乙、丙 3 人站到共有 7 级的台阶上,若每级台阶最多站 2 人,同一级台阶上的人不 区分站的位置,则不同的站法总数是 . 13. 如 图 , 在 梯 形 ABCD 中 ,

AB // DC , AB = a, CD = b(a > b) .若 EF // AB , EF 到 CD 与

ma + nb .试用类比 m+n 的方法,推想出下述问题的结果.在上面的梯形 ABCD 中,延长梯
AB 的距离之比为 m : n ,则可推算出: EF =
形 两 腰 AD, BC 相 交 于 O 点 , 设 ?OAB, ?OCD 的 面 积 分 别 为

S1 , S 2 , EF // AB 且 EF 到 CD 与 AB 的距离之比为 m : n ,
则 ?OEF 的面积 S 0 与 S1 , S 2 的关 系是 .

14.设 S 为复数集 C 的非空子集.若对任意 x, y ∈ S ,都有 x + y,x ? y,xy ∈ S ,则称 S 为封 闭集.下列命题:①集合 S={a+bi|( a,b 为整数, i 为虚数单位)}为封闭集;②若 S 为封 闭集,则一定有 0 ∈ S ;③封闭集一定是无限集;④若 S 为封闭集,则满足 S ? T ? C 的任 意集合 T 也是封闭集.其中真命题是 (写出所有真命题的序号).

小题, 解答应写出文字说明、 二、解答题(共 6 小题,共 90 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 解答题( ................... 15.当实数 m 取何值时,复数 z = ( m 2 ? 3m + 2) + ( m 2 ? 4m + 3)i (其中 i 是虚数单位) . (1)是实数; (2)是纯虚数; (3)等于零.

16.如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, P 是棱 BC 的中点, Q 在棱 CD 上.

用心

爱心

专心

2

且 DQ = λ DC ,若二面角 P ? C1Q ? C 的余弦值为

14 ,求实数 λ 的值. 7
A1 D1

B1

C1

A Q B P C

D

17.用数学归纳法证明:

1 × 2 × 3 + 2 × 3 × 4 + ? ? ? + n × (n + 1) × (n + 2) =

n(n + 1)(n + 2)(n + 3) (n ∈ N * ) . 4

( 18.已知 x 2 ?

1
x

) n 的展开式中第 3 项的系数与第 5 项的系数之比为

3 . 14

(1)求 n 的值; (2)求展开式中的常数项.

19.已知四棱锥 P ? ABCD 的底面为直角梯形, AB // DC , ∠DAB = 90 o , PA ⊥ 底面

ABCD ,且 PA = AD = DC =

(1)证明:面 PAD ⊥ 面 PCD ; (2)求 AC 与 PB 所成的角; (3)求面 AMC 与面 BMC 所成二面角的余弦值.

1 , AB = 1 , M 是 PB 的中点。 2

用心

爱心

专心

3

1 20.由下列不等式: >

1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 > 2,? ? ?, 你 , 1 + + > 1,1 + + + ? ? ? + > ,1 + + + ? ? ? 2 2 3 2 3 7 2 2 3 15

能得到一个怎样的一般不等式?并加以证明.

高二数学试卷答题纸 不……………要……………答……………题……………… 成绩 一、填空题(每小题 5 分,计 70 分) 1. 2. 3. 4. 5.

姓名_____________

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分) 15. (14 分)

_座位号__________

用心

爱心

专心

4

z
16. (14 分)
A1 D1

B1

C1

A Q B P C

D

y

x

(第 16 题图)

17. (15 分) 、

18. (15 分)

19. (16 分)

用心

爱心

专心

5

(第 19 题图)

(请将 20 题解答写在答题纸反面) 答 案 1. 1 + 2i
o

2n + 1 2. n +1
7. R tan
2

3. ( k + 1) 2 + k 2

4. 1

5.2

6. 60

α
8. 7 9.10
m S1 + n S 2

10.

2

n2 + n 2

S0 = 4 4 8 m+n 11. , , ) 12. 336 ( 13. 14. 1,2 3 3 3 15. 解: (1) m = 1或3 ; (2) m = 2 (3) m = 1 uuu uuur uuur r 16. 2.解:以 AB, AD, AA1 为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系 A ? xyz ,

设正方体的棱长为 4,则各点的坐标分别为 A(0, 0, 0) ,

B (4, 0, 0) , C (4, 4, 0) , D (0, 4, 0) ; A1 (0, 0, 4) , B1 (4, 0, 4) , C1 (4, 4, 4) , D1 (0, 4, 4) , P (4, 2, 0) , Q (4λ , 4, 0) uuuu r r 设平面 C1 PQ 法向量为 n = (1, b, c ) ,而 PC1 = (0, 2, 4) , uuu r PQ = (4λ ? 4, 2, 0) , ? 2b + 4c = 0 所 以 ? , 可 得 一 个 法 向 量 ?(4λ ? 4) + 2b = 0 r n = (a, b, c) = (1, ?2(λ ? 1), (λ ? 1)) , r 设面 C1 PQ 的一个法向量为 u = (0,1, 0) ,
B1

z
A1 D1

C1

A Q B P C

D

y

x

用心

爱心

专心

6

r r 则 cos < n, u > = 即 (λ ? 1) =
2

?2(λ ? 1) 1 + 4(λ ? 1) + (λ ? 1)
2 2

=

14 , 7

1 2 ,又因为点 Q 在棱 CD 上,所以 λ = . 9 3
1× 2 × 3 × 4 = 6 = 左边,∴等式成立. 4

17. 证明: (1)当 n = 1 时,左边 = 1 × 2 × 3 = 6 ,右边 = (2)设当 n = k (k ∈ N* ) 时,等式成立,

即 1 × 2 × 3 + 2 × 3 × 4 + L + k × (k + 1) × (k + 2) =
n = k + 1 时,

k (k + 1)(k + 2)( k + 3) . 4

则当

左边 = 1 × 2 × 3 + 2 × 3 × 4 + L + k × ( k + 1) × (k + 2) + (k + 1)( k + 2)(k + 3)
k ( k + 1)(k + 2)(k + 3) + ( k + 1)( k + 2)(k + 3) 4 k ( k + 1)( k + 2)(k + 3)(k + 4) = (k + 1)(k + 2)(k + 3)( + 1) = 4 4 (k + 1)(k + 1 + 1)(k + 1 + 2)(k + 1 + 3) = . 4 =

∴ n = k + 1 时,等式成立. 由(1)(2)可知,原等式对于任意 n ∈ N* 成立. 、

n(n ? 1) 3 3 2 2 4 4 2 ,则 = ? 18. 解: (1)由题设,得 C n (? 1) : C n ( ?1) = n(n ? 1)(n ? 2)(n ? 3) 14 14 4 ?3? 2

4 1 = ? n 2 ? 5n ? 50 = 0 ? n = 10或n = ?5(舍) (n ? 2)(n ? 3) 14
(2) Tr +1 = C ( x )
r 10 2 10 ? r
20 ? 2 r ? r ? 1 ? r 2 (?1) ? ? = C10 x (?1) r ? ? ? x? 1

r

r

1 8 2 r = 0 即当 r = 8 时为常数项 T9 = C10 (?1) 8r = C10 = 45 2 19. 证明:以 A 为坐标原点 AD 长为单位长度,如图建立空间直角坐标系,则各点坐标为 1 A(0, 0, 0), B (0, 2, 0), C (1,1, 0), D (1, 0, 0), P (0, 0,1), M (0,1, ) . 2
当 20 ? 2r ? (1)证明:因 AP = (0,0,1), DC = (0,1,0), 故 AP ? DC = 0, 所以AP ⊥ DC. 由题设知 AD ⊥ DC , AP 与 AD 是平面 PAD 内的两条相交直线, 且 由此得 DC ⊥ 面 PAD . 又 DC 在面 PCD 上,故面 PAD ⊥面 PCD . (2)解:因 AC = (1,1,0), PB = (0,2,?1),

用心

爱心

专心

7

故 | AC |= 2 , | PB |= 5 , AC ? PB = 2, 所以 cos < AC , PB >= AC ? PB | AC | ? | PB | = 10 . 5
1 2

(3)解:平面 AMC 的一个法向量设为 n = (1, y1 , z1 ) , AC = (1,1,0), AM = (0,1, ),

?1 + y1 = 0 ? ∴ n = (1,?1,2) ∴? 1 y1 + z1 = 0 ? 2 ?
平面 BMC 的一个法向量设为 m = (1, y 2 , z 2 ) , BC = (1,?1,0), BM = (0,?1, ),

1 2

?1 ? y 2 = 0 ? ∴ n = (1,1,2) ∴? 1 ?? y 2 + 2 z 2 = 0 ?
∴ cos < m, n >=

1?1+ 4 6? 6

=

2 2 ∴ 所求二面角的余弦值为 ? 3 3

20. 解:根据给出的几个不等式可以猜想第 n 个不等式,即一般不等式为: 1 1 1 n 1+ + +L + n > (n ∈ N? ) 2 3 2 ?1 2 . 用数学归纳法证明如下: 1 1> n = 1 时, 2 ,猜想成立; (1)当 (2)假设当 n = k 时,猜想成立,即 则当 n = k + 1 时,
1+ 1 1 1 1 1 1 k 1 1 1 k 2k k +1 + +L + k + k + k + L + k +1 > + k + k + L + k +1 > + k +1 = 2 3 2 ?1 2 2 +1 2 ?1 2 2 2 +1 2 ?1 2 2 2
?

1+

1 1 1 k + +L + k > 2 3 2 ?1 2 ,

,即当 n = k + 1 时,猜想也正确,所以对任意的 n ∈ N ,不等式成立.

用心

爱心

专心

8



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