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广东省桂城中学 真光中学 肇庆一中 珠海二中 阳春一中 深圳第二高级中学2011年高二期末联考


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2012 届高二联考数学试题(理)
第Ⅰ卷(选择题) 一.选择题(每小题 5 分, 共 40 分)
A. ?2, 4} 2.复数 1.已知集合 U ? ?1,2,3,4,5,6,7?, A ? ?1,3,5,7? , B ? ?1,3,5,6,7? ,则集合 CU ( A ? B) 是 ) B. ?1,3,5,7} C. ?2,4,6} D. ?2,5,6}

C. 1 ? i 3.下列函数中,是奇函数且在区间 (0,1) 内单调递减的函数是( ) A. y ? log 1 x
2

2 的共轭复数是( ) 1? i A. 2 ? 2i B. 2 ? 2i
B. y ?

D. 1 ? i D. y ? tan x

1 x

C. y ? x3

4.已知 ? 、 ? 为不重合的两个平面,直线 m ? ? ,那么“ m ? ? ”是“ ? ? ? ”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.在以下关于向量的命题中,不正确的是( ) A.若向量 a ? (1,2),向量b ? (?2,1),则a ? b B. ?ABC 中,有 AB ? BC ? AC C. ?ABC 中 AB和CA 的夹角为角 A D.已知四边形 ABCD,则四边形 ABCD 是菱形的充要条件是 AB ? DC, 且 AB ? AD 6.已知随机变量 X 服从正态分布 N(3.1),且 P(2 ? X ? 4) =0.6826,则 P(X ? 4) ? ( A.0.1588 B.0.1587 C.0.1586 D.0.1585 7.已知双曲线 )

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线方程是 y ? 3x ,它的一个焦点在 a 2 b2 抛物线 y 2 ? 8x 的准线上,则双曲线的方程为( )
A. x ?
2

x2 y 2 x2 y 2 ? ?1 ? ?1 D. 4 12 12 4 ?x ? y ? 3 ? 0 ? 8.设变量 x, y 满足线性约束条件: ? x ? y ? 1 ? 0 ,则目标函数 z ? 2 x ? 3 y 的最小值为( ) ?y ? 0 ?
C. A.8 B.6 C.2 D. ?2

y2 x2 ? 1 B. ? y 2 ? 1 3 3

第Ⅱ卷(非选择题)
二.填空题(每小题 5 分, 共 30 分) 9.在 ( x ? y) 的展开式中, x y 的系数与 x y 的系数之和等于
10 7 3 3 7

第 10 题

.



10.若执行如图所示的程序框图, 则输出的 S ?

.

11.如图, 一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等 的等腰直角三角形, 如果直角三角形的直角边长为2,那么 这个几何体的体积为 .
3 12.曲线 y ? x 与直线 y ? 4 x 在第一象限所围成的图形的面积是 2 2

.
第 11 题图

13.若直线 l : ax ? by ? 1 ? 0 始终平分圆 M : x ? y ? 4 x ? 2 y ? 1 ? 0 的周长,
第 1 页 共 7 页

2 则 (a ? 2)2 ? (b ? 2)的最小值为_______. 14.给出下列四个命题:

① 命题“ ?x ? R, e x ? x ”的否定是“ ?x ? R, e x ? x ”;

? 个单位,得到函数 y ? sin 2 x 的图象; 3 3 ③ 用数学归纳法证明: (n ? 1)(n ? 2)?(n ? n) ? 2 n ? 1 ? 3?(2n ? 1)(n ? N * ) 时, 从“k”到“k+1”的证 明,左边需增添的一个因式是 2(2k ? 1) ; ④ 函数 f ( x) ? e x ? x ? 1( x ? R) 有两个零点.
② 将函数 y ? sin( 2 x ?

?

) 的图象向右平移

其中所有真命题的序号是

.

三.解答题:本大题共 6 小题, 共 80 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 12 分) 已知在 ?ABC 中, cos A ? (1)求 sin 2 A 的值; (2)若 sin(

6 , a, b, c 分别是角 A, B, C 所对的边, 3

3? 2 2 ? B) ? ? , c ? 2 2 ,求 ?ABC 的面积. 2 3

16.(本小题满分 14 分) 某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况,随即在这两条流水线上各抽 取 40 件产品作为样本称出它们的重量(单位:克), 重量值落在 (495,510] 的产品为合格品, 否则为不合格品. 图1是 甲流水线样本的频率分布直方图, 表 1 是乙流水线样本频 数分布表.
频率/组距

产品重量(克)
0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0

频数 6 8 14 8 4

(49 0,49 5] (49 5,50 0] (50 0,50 5] (50 5,51 0]
490 495 500 505 510 515

(51 0,51 5]
(重量/克)

图 1:(甲流水线样本频率分布直方图)

表1:(乙流水线样本频数分布表)
第 2 页 共 7 页

(1)若以频率作为概率, 试估计从甲流水线上任取 5 件产品, 求其中合格品的件数 X 的数学期望; (2)从乙流水线样本的不合格品中任意取 2 件,求其中超过合格品重量的件数 Y 的分布列; (3)由以上统计数据完成下面 2 ? 2 列联表, 并回答有多大的把握认为“产品的包装质量 与两条自动包装流水线的选择有关” . 甲流水线 乙流水线 合计 a? 合格品 b? c? 不合格品 d? n? 合 计 附:下面的临界值表供参考:
p( K ? k )
2

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

(参考公式:

k

K2 ?

n(ad ? bc)2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

, 其中 n ? a ? b ? c ? d )

17.(本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 是递增数列,且满足 a3 ? a5 ? 16, a2 ? a6 ? 10. (1)若 {an } 是等差数列,求数列 {an } 的前 7 项和 S7 ;

a2 n ,求数列 {bn } 的通项公式; 3 (3)对于(1)中的 {an } 与(2)中的 {bn } , 令 cn ? (an ? 7)bn , 求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn .
(2)若 {an } 是等比数列,令 bn ?

第 3 页 共 7 页

18.(本小题满分 12 分) 已知四棱锥 P—ABCD 中, PA ? 平面 ABCD, 底面 ABCD 为菱形, ?ABC ? 60 , AB ? PA ? 2 ,E、F 分别为 BC、PD 的中点. (1)求证: PB // 平面 AFC; (2)求平面 PAE 与平面 PCD 所成锐二面角的余弦值。
0

19.(本小题满分 14 分)在平面直角坐标系 xOy 中有两定点 F (0, 2) , F2 (0, ?2) ,若动点 M 满足 1

???? ? ???? ? | MF1 | ? | MF2 |? 4 2 ,设动点 M 的轨迹为 C。
(1)求曲线 C 的方程; (2)设直线 l 交曲线 C 于 A、B 两点, 且弦 AB 的中点为 P P(1, 2) , 求直线 l 的方程 和以弦 AB 为直径的圆的方程.

20.(本小题满分 14 分)已知曲线 f ( x) ? ln(2 ? x) ? ax 在点 (0, f (0)) 处的切线斜率为 . (1)求 f ( x ) 的极值; (2)设 g ( x) ? f ( x) ? kx, 若g ( x) 在(-∞,1)上是增函数,求实数 k 的取值范围;
*

1 2

(3)若数列 {a n } 满足 a1 ? (0,1), an?1 ? f (an ) ,求证:对一切 n ? N ,0 ? an ? 1.

第 4 页 共 7 页

参考答案及评分标准
一.选择题:每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 C 2 D 3 B 4 A 5 C 6 B 7 A 8 D

二.填空题:每小题 5 分,共 30 分. 9. ?240 ; 10. 420 ; 11.

4 ; 3

12. 4 ;

13. 5 ;

14.③

三.解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。 15. 解:(1)由题设知: sin A ?

2 2 3 ,得 sin 2 A ? ---------4 分 3 3 1 2 2 (2)由题设知: cos B ? , sin B ? ; 3 3
得 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ? 由

6 3

a 1 2 2 , c ? 2 2 知: a ? 2 , ∴ S?ABC ? ac sin B ? ……12 分 sin A 2 3 16.解:(1)由图1知,甲样本中合格品数为 (0.06 ? 0.09 ? 0.03) ? 5 ? 40 ? 36 , 36 ? 0.9 , 故合格品的频率为 40 据此可估计从乙流水线上任取一件产品该产品为合格品的概率 P ? 0.9 , 则 X ~ B(5, 0.9) , E ( X ) ? 4.5 ---------4 分
(2)由表1知乙流水线样本中不合格品共 10 个,超过合格品重量的有 4 件;
k 2 C 4 ? C6 ?k (k ? 0, 1, 2) ,于是有: 2 C10 1 8 2 P(Y ? 0) ? , P(Y ? 1) ? , P(Y ? 2) ? 3 15 15 ∴ Y 的分布列为: 0 1 2 Y

c ? sin C

则 Y 的取值为 0,1,2;且 P(Y ? k ) ?

P
(3) 2 ? 2 列联表如下:

1 3

8 15

2 15

…………10 分

合格品 不合格品 合 计 ∵K ?
2

甲流水线 a ? 36 c ?4 40

乙流水线

合计 66 14

b ? 30 d ? 10
40

n ? 80

80 ? (360 ? 120)2 n(ad ? bc)2 ? 3.117 ? 2.706 = 66 ?14 ? 40 ? 40 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

∴有 90%的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关.……14 分 17.解:(1)根据题意: a2 ? a6 ? 10 ? a1 ? a7 ,得 S7 ?

7(a1 ? a7 ) ? 35 …………4 分 2 (2)根据题意: a2 ? a6 ? 10, a3 ? a5 ? 16 ? a2 ? a6 ,
知: a2 , a6 是方程 x ? 10 x ? 16 ? 0 的两根,且 a2 ? a6 解得 a2 ? 2, a6 ? 8 ,
2

故得其公比为 q ?

4

a6 2n ? 2 , an ? a2 q n ?2 ? ( 2) n , bn ? ,…………8 分 a2 3
第 5 页 共 7 页

(3)对于(1)中的 {an } 仿(2)得 an ? 3n ? 7 , cn ? n ? 2 n …………11 分

Tn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? (n ? 1) ? 2n?1 ? n ? 2n 2Tn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ? ? (n ? 1) ? 2n ? n ? 2n?1 Tn ? n ? 2n?1 ? (2 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ) ? (n ? 1) ? 2n?1 ? 2 …………14 分
其他解法参照给分 18.解:(1)连结 BD 交 AC 于 O, ? ABCD 为菱形,则 BO=OD…………1 分 连结 FO,? PF ? DF ,?FO / /FB …………3 分

? FO ? 平面 AFC, PB ? 平面 AFC, ? PB / / 平面 AFC…………4 分 (2)? E 为 BC 中点,? AB ? 2 BE

? ?ABE ? 600 ,? AE ? 3BE ? AE ? BC,? AD / / BC,? AE ? AD. …………6 分 ??? ??? ??? ? ? ? 建立如图所示的空间直角坐标系, {A; AE, AD, AP} ,
则 E( 3,0,0), P(0,0, 2), C( 3,1,0) ,D(90,2,0)…………8 分 平面 PAE 的一个法向量为 m ? (0,1,0) ……9 分 设平面 PDC 的一个法向量为 n ? ( x, y, z )

??? ? ?n ? PD ? 0 ? 则 ? ???? ?n ? DC ? 0 ?

?( x, y, z ) ? (0, 2, ?2) ? 0 ?y ? z ? 0 ? ? ?? ?? , 令y ? 3 ?( x, y, z ) ? ( 3, ?1, 0) ? 0 ? 3x ? y ? 0 ? ?

m?n 3 21 ? ? | m|?| n| 7 7 21 . ……12 分 ? 平面 PAE 与平面 PCD 所成锐二面角的余弦值为 7 19.解:(1)设动点 M 的坐标为 ( x, y ) , ???? ? ???? ? ? MF1 | ? | MF2 |? 4 2 ? 4 | 由椭圆定义可知,点 M 的轨迹 C 是以 (0, 2), (0, ?2) )为焦点,

? n ? (1, 3, 3) …………11 分 ? cos ? m, n ??

长半轴长为 2 2 的椭圆,它的短半轴长 b ? 故 曲线 C 的方程为

(2 2) 2 ? 22 ? 2 …………3 分

x2 y 2 ? ? 1. …………4 分 4 8

(2)若斜率不存在,则由椭圆的对称性及弦 AB 的中点为 P(1,2),知不成立………5 分 若斜率存在,设斜率为 k 则直线的方程为: y ? 2 ? k ( x ? 1), 即 y ? kx ? 2 ? k , 代入椭圆方程得: 2x ? (kx ? 2 ? k ) ? 8 ,
2 2

整理得: (2 ? k ) x ? 2k (2 ? k ) x ? (2 ? k ) ? 8 ? 0,
2 2 2

① …………7 分

2k (k ? 2) ? 2, 解得: k ? ?1 ………………9 分 2 ? k2 2 此时方程① 为: 3x ? 6 x ? 1 ? 0, ?=36 ? 12 ? 0 即l 的方程为: x? y? 3 ? 0 ……………11 分
设 A( x1 , y2 ), B( x2 , y2 ), 则x1 ? x2 ? (注:也可用点差法求解)

1 1 4 ? x1 ? x2 ? 2, x1 x2 ? . ? AB |? 2 4 ? 4 ? ? | 3 ; ………………13 分 3 3 3 4 2 2 所以以弦 AB 为直径的圆的方程为: ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? ………………14 分 3
第 6 页 共 7 页

20.解:(1) f ( x ) 的定义域是 (??, 2) …………1 分,

1 ? a …………2 分 x?2 1 1 1 x ?1 ?1 ? 由题知 f ?(0) ? ? ? a ? ,? a ? 1 , ? f ?( x) ? 2 2 x?2 x?2 ?( x) ? 0, 得x ? 1…………3 分 令f 当 x 变化时, f ?( x), f ( x) 的变化情况如下表所示 x (??,1) (1,2) 1 f ?( x) + 0 f ( x) 1 f ?( x) ?
所以 f ( x)在x ? 1 处取得极大值 1,无极小值。…………5 分 (Ⅱ) g ( x) ? ln(2 ? x) ? ( k ? 1) x, g ?( x) ?

1 ? (k ? 1) …………6 分 x?2 1 ? 1 在(-∞,1)上恒成立…7 分 由题知 g ?( x) ? 0在(-?,1)上恒成立, 即 k ? 2?x 1 1 ? x ? 1,? 2 ? x ? 1,? 0 ? ?1 ?? ? 1 ? ? , k? ? 1 0 0 2? x 2? x 即实数 k 的取值范围是 [0, ??) …………9 分 (2) an?1 ? f (an ) ? ln(2 ? an ) ? an ①当 n ? 1 时,由题意知 0 ? a1 ? 1 …………11 分
②假设 n ? k 时,有 0 ? ak ? 1 ,则 n ? k ? 1 时,? ak ?1 ? f (ak )

? f ( x) 在(0,1)上是增函数,? f (0) ? f (ak ) ? f (1) 即 f (0) ? a k ?1 ? f (1) ,即 ln 2 ? ak ?1 ? 1 ,又 ln 2 ? 0

? 0 ? ak ?1 ? 1

即 n ? k ? 1 时,求证的结论也成立

由①②可知对一切 n ? N * ,0 ? an ? 1…………14 分

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