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用平面向量坐标表示向量共线条件


2.2.3用平面向量坐标表示 用平面向量坐标表示 向量共线条件

两个向量a, 平行的条件 平行的条件: 两个向量 b平行的条件: a=λb,b≠0. , 那么当向量a的坐标为 那么当向量 的坐标为(a1, a2), b的坐标为 的坐标为 的坐标为 (b1, b2)时,代入上式,得 (a1, a2)=λ(b1, b2) . 时 代入上式, (a1,a2)=(λb1, λb2) 即 a1=λb1 , a2=λb2 ⑴ a1b2- a2b1=0

⑴式就是两个向量平行的条件 式就是两个向量平行的条件 那么当向量b不平行于坐标轴时, 那么当向量 不平行于坐标轴时,即b1≠0, 不平行于坐标轴时 , b2≠0时,⑴式可化为: 式可化为: 时

a1 a2 = b1 b2



两个向量平行的条件 ⑵式用语言可表示为:两个向量平行的条件 式用语言可表示为 两个 是相应坐标成比例。 是相应坐标成比例。 坐标成比例

例1 已知向量 且向量
AB

AB

=(2,5)和向量 ( , )和向量a(1,y),并 并

的纵坐标y。 ∥a,求a的纵坐标 。 , 的纵坐标

的值, 解:利用⑴式可求出y的值, 利用⑴式可求出 的值 1×5-2×y=0 × - × 5 所以 y = 2

在直角坐标系xOy内,已知 -2,-3)、 例2. 在直角坐标系 内 已知A(- - 、 B(0,1)、C(2,5),求证:A、B、C三点共线。 、 三点共线。 ,求证: 、 、 三点共线

uuu uuur r 说明: 说明:利用向量的线性运算求出向量 AB, AC
的坐标, 就可知A、 的坐标,再利用向量平行的条件式 ,就可知 、 B、C三点共线。 、 三点共线 三点共线。

uuu r 解:AB = (0,1) ? (?2, ?3) = (2, 4) uuur AC = (2,5) ? (?2, ?3) = (4,8)
2× 8- 4=0, ∵2×8-4 ×4=0,
uuu uuur r 所以 AB // AC

因此A, , 三点共线 三点共线. 因此 ,B,C三点共线

练习: 练习: 1.已知 已知a=(4, 2),b=(6, y),且a//b,求y. 已知 , , , y=3 2.已知 已知a=(3, 4), b=(cosα, sinα), 且a//b, 已知 求tanα. tanα=4 /3

3. 已知 已知a=(1, 0), b=(2, 1), 当实数 为何值时 向 当实数k为何值时 为何值时,向 平行? 量ka-b与a+3b平行 并确定它们是同向还是 - 与 平行 反向. 反向 解:ka-b=(k-2, -1), - - ∵a//b,
1 ∴k = ? 3

a+3b=(7, 3),

这两个向量是反向。 这两个向量是反向。

4.已知 B, C三点共线 且A (3, -6), B(-5, 2), 已知A, 三点共线,且 已知 三点共线 - 若点C横坐标为 若点 横坐标为6, 则C点的纵坐标为 ( C ) 横坐标为 点的纵坐标为 A.- .-13 .- C.- .-9 .- B.9 . D.13 .

5. 若三点 若三点P(1, 1),A(2, -4),B(x, -9)共线, 共线, , , 共线 则( B ) A.x =-1 . -
9 2

B.x=3 .

C.x= . D.51 . 3 6.设a=( , sinα),b=(cosα, 设 , 2 )C 角α为 ( 为 A.30o B.60o . . C.45o . D.75o .

1 ),且a// b,则锐 , , 3

7. △ABC的三条边的中点分别为 1)和(-3, 的三条边的中点分别为(2, 和 - 的三条边的中点分别为
2 4 (? , ) 4),(-1,-1),则△ABC的重心坐标为 _______ - - , 的重心坐标为 3 3

8.已知向量 已知向量a=(2x, 7), b=(6, x+4),当x=_______ 已知向量 , 3或-7 或 时,a//b. .

9.若|a|=2,b =(-1, 3),且a//b,则a =_____. 若 , - , , .

30 3 30 (? , ), 5 5

30 3 30 ( ,? ) 5 5

练习1. 设向量a=(1,-3),b =(-2,4),c =(-1, 练习 设向量 - , - , - -2),若表示向量 、4b-2c、2(a-c)、d的 ,若表示向量4a、 - 、 - 、 的 有向线段首尾相接能构成四边形,则向量 有向线段首尾相接能构成四边形,则向量d 为 .

解: 4a+(4b-2c)+2(a-c)+d=0, - - 所以d=- - 所以 -6a-4b+4c=(-2, -6). -

2.设点 在平面上做匀速直线运动 速度向量 设点P在平面上做匀速直线运动 设点 在平面上做匀速直线运动,速度向量
r 设起始P(- 秒钟后点P 设起始 秒钟后点 v = (4, ?3) ,设起始 -10,10), 则5秒钟后点

的坐标为( 的坐标为(

).

秒种后, 点坐标为 解:5秒种后,P点坐标为 秒种后 (-10, 10)+5(4, -3)=(10, -5). -

3.设A(2, 3),B(5, 4),C(7, 10) 满足 设 , ,

uuu uuu r r uuur AP = AB + λ AC

(1) λ为何值时 点P在直线 为何值时,点 在直线 在直线y=x上? 为何值时 上 (2)设点 在第三象限, 求λ的范围 设点P在第三象限 的范围. 设点 在第三象限 的范围 解: (1) 设P(x, y),则 , (2) 由已知

(x-2, y-3)=(3, 1)+λ(5, 7), 5λ+5<0,7λ+4<0 , - - 所以x=5λ+5,y=7λ+4. , 所以
1 解得λ 解得 = 2

所以λ<- 所以 -1.



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