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2019-2020年高中数学北师大版必修4第一章《概念辨析三角函数的图象与性质》word例题讲解素材

2019-2020 年高中数学北师大版必修 4 第一章《概念辨析三角函数的

图象与性质》word 例题讲解素材

画出 y ? sin x ,y=cosx 在 ?0,2? ?上的图像是本单元的重中之重,同学们不仅会用单位
中的函数线画,而且会特殊角三角函数值列出“十三”个点或“五点法”,还要会徒手描出 示意图,才能实现看图说性质 想图说性质 无图也能说性质的熟练程度.这里蕴含着以下 几个问题.
1.作图的基本方法是描点法,用单位圆中的三角函数线画图实质上是列表的(十三点) 一个方法,它与“十三点”法的区别只在于“十三点法”的函数值是用数给出,而单位圆法
中的函数值是用有向线段的数量给出.在画 y ? sin x ,y=cosx y ? tgx 的图像时,都借助
了函数的周期性,在取点时,注意研究了函数曲线的存在范围,特殊点,变化趋势,对称性, 一定要取到最大值点,最小值点,零点.这些常规方法一走要讲清.
2.画 y ? Asin?? x ? ? ?的图像时,难点在列出“五个点”,这五个恰好又是同一周期

的五个特殊点:三个零点,一个最大值点,一个最小值点,以 y ? 2sin?? x ? ? ?? 为例. ?2 6?

令 t= x ? ? ,则 u=sint,首先列出 u=sint 的“老五点” 26

t

0 ? ? 3? 2?

2

2

sint 0 1 0 -1 0

将 t= x ? ? 代入上表 26

x

x ?? 26

0 ? ? 3? 2?

2

2

?? x ? ? ?? 0 1 0 -1 0 sin ? 2 6 ?

求出 X 与 y ? 2sin?? x ? ? ?? ?2 6?
X

x ?? 26

? ?

x

?

?

? ?

sin ? 2 6 ?

0 ? ? 3? 2?

2

2

0 1 0 -1 0

?? x ? ? ?? Y=2sin ? 2 6 ?

0

2

0

-2

0

上面方法的核心是用换元的思想根据 u ? sint 的“老五点”列出了 y=2sin( x ? ? ) 图 26
像上的五点.这里体现了如何将一个较复杂的问题转化为一个较简单的问题的转化思想,同 时也在告诉同学们,我们总是用已知的知识去解决未知的问题,进一步体会到简单与复杂.未 知与已知之间的对立、统一的辨证关系.为了给同学更大的思维空间.教师最好不直接告诉
同学们如何列出 y ? 2sin?? x ? ? ?? 在一个周期内的五个特殊点?这样对培养学生的转化能 ?2 6?
力是有益的. 3.在讲周期函数概念过程中注意培养学生的抽象概括能力.学生自己抽象概括出周期
函数的定义是不现实的,但我们不能因此就放弃培养学生抽象概括能力的机会.可考虑如下 进行:
(1)通过对一类事物的观察发现,抽象出该类事物的共同的本质属性. 问题 1:请观察下列函数值随着变量变化时,其函数值的变化的共性是什么?
① y ? sin x,
② y ? cosx
③ y ? 1? ??1?n
2
④在数列 ?ah ?中, a1 ? 13, a2 ? 56 对一切 n? N 都有 an ? an?1 ? an?2 ? o, an ? f ?n?
发现其共性是:函数值是随自变量周而复始地变化. (2)第二步是将上述粗浅的认识进一步数学化,精确化,这里的关键是请同学注意如何 用数学语言刻画“函数值随自变量周而复始地变化”.首先四个函数都存在一个不为零的常
数 T,①2? #②2? #③2#④6#,第二将这个常数加到定义域中的任意一个自变量上,其函数
值就重复出现,即 f ?x ? T ? ? f ?x?永远成立,于是得出周期函数的精确的数学定义;

对于给定的函数 f ?x? ,定义域为 M,如果存在一个不为零的常数 T,对于 M 中的任意一 个 x 的值,必有 X+T?M,使得 f ?x ? T ? ? f ?x?永远成立,那么函数 f ?x? 叫做周期函数,
其中不为零的常数 T 就叫做周期函数的周期. (3)第三步是进一步理解定义 ①函数的周期性是揭示了函数值随自变量周而复始的变化的属性,如果我们认识到了函
数的周期性,在研究函数性质时,只须研究该函数在一个周期内的性质,就可以了解该函数 在整个定义域上的性质.
②如果一个周期函数 y= f ?x? 的周期为 T,显然 KT(K? Z)也是周期.但从研究函数性质
而言,我们感兴趣的,也是最有实用价值的是诸周期中最小的正周期.
③根据周期函数定义判断一个函数是否是周期函数,关键是找到一个 T(T ? o ),使得
对定义域中的任意一个 x, f ?x ? T ? ? f ?x?均成立.
4.讲已知三角函数值求角时时可考虑利用单位圆中的三角函数线,用数形结合的思想, 先画出角的终边,再写出所求的角,并且先求通解,后求特解更好接受.



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