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第十九讲两角和与差及二倍角公式


第十九讲 两角和与差及二倍角公式

走进高考第一关 基础关
教 材 回 归

C

(α -β )∶

cos (α -β )=________________________

cosαcosβ+sinαsinβ cosαcosβ-sinαsinβ

C

(α +β )∶

cos (α +β )=_________________________

S

(α +β )∶

sinαcosβ+cosαsin sin (α +β )=_________________________β

S

sinα cosβ -cosα sinβ ∶ sin (α -β )=_________________________ (α -β )

tan? ? tan? 1 ? tan? tan? T(? ? ?∶tan(? ? ? ) ? ______________________________ )
? (? , ? , ? ? ? ? k? ? , k ? Z) tan? ? tan? 2 1 ? tan? tan? T(? ? ?∶tan(? ? ? ) ? ______________________________ ) ? (? , ? , ? ? ? ? k? ? , k ? Z). 2

注意 : (1)注意公式的适用范围 : 在T(? ? ? )中, ? , ? , ? ? ? 都 不等于k? ? 都有意义.

?
2

(k ? Z).即保证tan? ?tan? ?tan(? ? ? )

tan? ? tan? (2)对公式tan(? ? ? ) ? , 下面的四种变式 1 ? tan? tan? 在以后的解题中经常看到 : tan? ? tan? ① ? tan(? ? ? )(逆用); 1 ? tan? tan? tan? ? tan? ②1 ? tan? tan? ? ; tan(? ? ? ) ③tan? ? tan? ? tan (? ? ? )(1 ? tan? tan? ); ④tan? tan? tan (? ? ? ) ? tan (? ? ? ) ? tan? ? tan? .

(变形用)

2.在和角公式S(α +β )?C(α +β )?T(α +β )中,当α =β 时就

可得到二倍角的三角函数公式S2α ?C2α ?T2α .

cos2α -sin2 sin2α =_________________,cos2α =____________α 2sinαcosα
___,

tan2α

2tan? 2 =________. 1 ? tan ?

注意 : sin? ? 2sin 2sin sin
2

?
2 ?

cos

?
2

?
2

?

cos

?
2
2

2tan

?
2 ;
2

?
2

? cos

?
2

1 ? tan

?
2

2

cos? ? cos

2

?
2

? sin

2

?
2

?

cos cos

? ?
2

? sin ? sin

2

? ?
2 2

2

2

2

?

1 ? tan 1 ? tan

2

? ?
2; 2

2

tan? ?

2tan

?
2 . 2 2

1 ? tan

?

以上三个公式又称为万能公式

3. 余弦二倍角公式有三种形式,即
2cos2α-1 cos2α =________________=_____________=_ cos2α-sin2α 1-2sin2α _______,由此可得变形公式

sin2α

1 ? cos2? =________,cos2α 2

1 ? cos2? =________,它的双向 2

应用分别起到缩角升幂和扩角降幂的作用.

a
2 2

a2 ? b2 4. asin? ? bcos? ? a ? b sin(? ? ? ), 其中cos? ? ________

b sin? ? ________, tan? ? ________ .?的终边所在象限 a2 ? b2 a
b

点(a,b) 由 _______________ 来确定.

(引入辅助角或化一法)

注意:(1)公式成立的条件:在公式中,只有当公式的 等号两端都有意义时,公式才成立. (2)公式应用要讲究一个“活”字,即正用?逆用?变 形用,还要创造条件用公式,如拆角?配角(角度变换) 技巧:β =(α +β )-α ,2α =(α +β )+(α -β )等.
注意切化弦?通分等方法的使用, 充分利用三角函数值 1 的变式, 如1 ? tan45?, ?1 ? tan135?, 3 ? tan60?, ? cos60? 2 1 ? 或 ? sin30?, sinx ? 3cosx ? 2sin(x ? ), 学会灵活地运用公式. 2 3

(3)当角α ,β 中有一个角为90°的整数倍时,使用诱
导公式较为简便,诱导公式是两角和与差的三角函数

公式的特例.
(4)搞清公式的来龙去脉,C(α -β )是基础,其他公式都

是用代换法及诱导公式得到的推论,即

(5)二倍角公式的正用?逆用及变形用是公式的三种 主要使用方法,特别是变形用有时恰是解题思路的关 键.如:

2sin? cos? ? sin2? , 1 sin? cos? ? sin2? , 2 sin2? cos? ? , 2sin?

cos ? ? sin ? ? cos2? ,
2 2

2tan? ? tan2? , 2 1 ? tan ? 2 2 1 ? sin2? ? sin ? ? cos ? ? 2sin? cos? , ? (sin? ? cos? ) ,
2

1 ? cos2? ? 2cos ? ,
2

1 ? cos2? ? 2sin ? .
2

考 点 陪 练
1.sin15°cos75°+cos15°sin105°等于(
A. 0
答案:D

)

1 B. 2

3 C. 2

D. 1

解析:sin15°cos75°+cos15°sin105° =sin15°cos75°+cos15°sin75°=sin90°=1.

3 4 ?? ? 解析 : ? ? ? , ? ? , sin? ? ,? cos? ? ? , ? 5 5 ?2 ?

? 3 ?? ? tan(? ? 2.已知? ? ? , ? ? , sin? ? , 则tan? ? 4 )等于 ? 5 4 ?2 ? 1 1 A. B. 7 C. ? D. ? 7 7 7

?

3 ? ?1 3? ? ? tan? ? 1 1 ? ? 4 ? tan ? ? ? ? ? .而tan ? ? ? ? ? ? ? . 3 4? 4 ? 1 ? tan? 7 ? ? 1? 4

3 tan ? ? 4
答案:A

1 ? ? ? 3.已知cos2? ? , 其中? ? ? ? , 0 ? , 则sin?的值为? 2 ? 4 ? 1 A. 2 1 B. ? 2 3 C. 2 3 D. ? 2

?

1 1 2 2 解析 : ? ? cos2? ? 1 ? 2sin ? ,? sin ? ? . 2 4 1 ? ? ? 又 ?? ? ? ? , 0 ? ,? sin? ? ? . 2 ? 4 ?
答案:B

3 4.下列各式中, 值为 的是 ? ? 2 2 2 A. 2sin15?cos15? B. cos 15? ? sin 15? C. 2sin 2 15? ? 1 D. sin 2 15? ? cos 2 15?

1 2 2 解析 : A : 2sin15?cos15? ? sin30? ? ; B : cos 15? ? sin 15? 2 3 3 2 2 ? cos30? ? ; C : 2sin 15? ? 1 ? ?cos30? ? ? ; D : sin 15? 2 2 ?cos 2 15? ? 1.

答案:B

3 5 ? ? 5.已知cos(? ? ? ) ? , sin? ? ? , 且? ? (0, ), ? ? (? , 0), 5 13 2 2 则sin? 等于( ) 33 A. 65 33 C. ? 65 63 B. 65 63 D. ? 65

答案:A

解读高考第二关

热点关

类型一:公式的直接应用
解题准备:熟练掌握两角和与差的三角函数公式,进行求值? 化简?证明.

典例1(1)化简sin(x ? 27?)cos(18? ? x) ? cos(x ? 27?)sin(x ? 18?); 3 ? ?? ? (2)已知cos? ? , ? ? (0, ), 求sin ? ? ? ? . 5 2 6? ?

(1)原式 ? sin(x ? 27?)cos(18? ? x) ? cos(x ? 27?) sin(18? ? x)
0 ?? x ? 27? ? ? ?18? ? x ? ? ? sin ? ?

2 ? sin45? ? . 2 3 ? (2) ? cos? ? , ? ? (0, ), 5 2 4 ? sin? ? , 5 ?? ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? sin? cos ? cos? ? sin 6? 6 6 ? 4 3 3×1 4 3 ? 3 × ? ? ? ? ? . 5 2 5 2 10

类型二:公式的变形应用
解题准备:熟练应用两角和与差的三角函数公式的 变形公式,如正切公式?二倍角公式的代换.

典例2求下列各式的值 :

?1? tan20? ? tan40? ? 3tan20?tan40?; ? 2 ? sin10?sin30?sin50?sin70?.
?解? ?1? tan20? ? tan40? ? tan60?(1 ? tan20?tan40?) ? ? ? 3(1 ? tan20?tan40?). 3

? 原式 ? 3 (1 ? tan20?tan40?) ? 3tan20?tan40? ? 3.

? 2 ? sin10?sin30?sin50?sin70?
1 ? cos20?cos40?cos80? 2 1 sin40? sin80? sin160? 1 ? ? ? ? ? . 2 2sin20? 2sin40? 2sin80? 16
?评析? (1)中利用三角和与差的正切公式的变形用法 : ? ? tan? ? tan? ? tan(? ? ? )(1 ? tan? ? ? ). tan sin2? (2)中利用正弦的二倍角公式的变形用法 : cos? ? 2sin? 转化的分式形式, 利用约分化简达到求值目的.

类型三:角的变化及转换
解题准备:关键在于“变角”,使“所求角”变为 “已知角”,若角所在象限没有确定,则应分类讨论, 应注意公式的灵活运用,掌握其结构特征,还要会拆 角?拼角等技巧.

3 典例3设? ? ( , ), ? ? (0, ), cos(? ? ) ? , 4 4 4 4 5 3? 5 sin( ? ? ) ? , 则sin(? ? ? ) ? ________ . 4 13

? 3?

?

?

56 65

笑对高考第三关
名师纠错

成熟关

误区一:求角时,对角范围讨论不准确

1 1 典例1若tan(? ? ? ) ? , tan? ? ? , 且? , ? (0, ? ), 2 7 求2? ? ?的值.

[剖析]

上述解法就是犯了对角的讨论不正确而错误确定了

所求角的取值范围.

误区二:未理解二倍角的意义
3 4 典例2若sin? ? , cos? ? ? , 那么2?的终边在 5 5 哪个象限 ?
3 4 ?错解? 因为sin? ? ? 0, cos? ? ? ? 0, 所以?为第二象限角, ? ? 5 5 即2k? ?

?

2 所以4k? ? ? ? 2? ? 4k? ? 2? (k ? Z),

? ? ? 2k? ? ? (k ? Z).

即2?的终边在第三?四象限或y轴非正半轴上.

3 4 ?剖析? 错解只应用了sin? ? , cos? ? ? 的符号, ? ? 5 5 没有注意到它们的具体位置, 另外没注意到?与2?三 角函数间的关系, 造成解错误. 3 4 ?正解? 因为sin? ? , cos? ? ? , 所以sin2? ? ? 5 5 3 ? 4? 24 ? 2sin? cos? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 0, 5 ? 5? 25
? 4? ?3? cos2? ? cos ? ? sin ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5? ?5? 7 ? ? 0.故2?的终边在第四象限. 25
2 2 2 2

快 速 解 题
典例已知? ?? 均为锐角, 证明 : (1)若sin(? ? ? ) ? 2sin? , 则? ? ? ; (2)若sin ? ? sin ? ? sin(? ? ? ), 则? ? ? ?
2 2

?
2

.

[解题切入点] sin(α +β )=sinα cosβ +cosα sinβ <sinα +sinβ 与 2sinα =sinα +sinα 比较,这就充分利用了题设条件.(2)也 应如此切入. [分析思维过程] 由公式S(α +β )展开,利用所给条件,必须使它

与2sinα 越来越近,放大后得sinα +sinβ ,已与2sinα 很接

近了.第(2)问也如此考虑,便可得证.

[解]

(1)∵α ?β 均为锐角.

∴0<cosβ <1?0<cosα <1,

∴sin(α +β )=sinα cosβ +cosα sinβ <sinα +sinβ .
而已知sin(α +β )=2sinα 即2sinα <sinα +sinβ ,
,

因此得sinα <sinβ .
∵函数y=sinx在区间(0 ∴α <β .

? 2)上是增函数.

(2)由 sin2α +sin2β =sin(α +β )=sinα cosβ +cosα sin β 得sin2α -sinα cosβ =cosα sinβ -sin2β , sinα (sinα -cosβ )=sinβ (cosα -sinβ ). ∵α ?β 均为锐角, ∴sinα >0,sinβ >0. 若sinα >cosβ ,则cosα <sinβ ,即sinα cosβ >0,cosα -sinβ <0.

故sinα (sinα -cosβ )>0,而sinβ (cosα -sinβ )<0;

若sinα <cosβ ,同理可知,sinα (sinα cosβ )<0,sinβ (cosα -sinβ )>0.

? 因此只有sin? ? cos? , 此时cos? ? sin? ,即? ? ? ? . 2

[快解] (1)已知 sin(α +β )=sinα cosβ +cosα sinβ =2sinα ①

假设a≥β ,则

0 ?? ?? ?

?
2



sin(α -β )=sinα cosβ -cosα sinβ ≥0② ①+②得2sinα cosβ ≥2sinα 即cosβ ≥1. 由0<β ?

? 和0<cosβ <1,矛盾.

2 故假设α ≥β 不成立,从而α <β .

(2)sin2α +sin2β =sin(α +β )≤1,(α \,β 均为锐角)即 sin2α ≤1-sin2β ① 又sin2α +cos2α =1即sin2α =1-cos2α ② 比较①?②得cos2α ≥sin2β ,即cosα ≥sinβ , ? ? α ?β 均为锐角, α ∴sin ( ? ? ) ≥sinβ ,而 ? 2 2 ? ? . 将①?②中的α 换为β , 因此得 ? α ≥β ,即α +β ≤ 2 2 ? ? 同时β 换为α ,同理可得α +β ≥ .? a ? ? ? . 2 2

解 题 策 略
根据近几年高考的命题特点,学习时应注意以下策略 1. 两角和与差的正弦?余弦?正切公式是三角中的重 要公式,要深刻理解公式,掌握其结构特征,灵活运用 公式,常用的技巧有公式的“三用”,即“顺 用”“逆用”“变形应用”等.

2. 正确理解角的变换,并学会变角,明确单角与复角
的相对性,角经过重新组合而得到新的角,即角的变

换,这是整体思想的应用.

3. 关于形如asinx+bcosx的式子引入辅助角变形为 Asin(x+ ? )的形式,基本思路是逆用和角的正弦 公式,是研究三角函数性质,三角函数图象变换的基 础和工具.(化一法)

tan? ? tan? 4. tan(? ? ? ) ? 的活用, 历年考查它的次数 1 ? tan? tan?

远远高于其他三角公式, 要引起足够的重视.


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