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高三数学专项复习 椭圆的标准方程 ppt课件


椭圆及其标准方程

回答下面的动点的轨迹问题: 回答下面的动点的轨迹问题: ⑴ 到定点距离为定值的点的轨迹? 到定点距离为定值的点的轨迹? 到两个定点距离相等的点的轨迹? ⑵ 到两个定点距离相等的点的轨迹? ⑶ 与两个定点连线互相垂直的点的轨迹? 与两个定点连线互相垂直的点的轨迹? ⑷ 到两个定点距离之和为定值的点的 轨迹? 轨迹?
M

M A B

M
O

O

A

B

一.椭圆的定义
M

F1

F2

平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常 平面内到两定点 (大于 1F2|)的点的轨迹叫做椭圆. 大于|F 的点的轨迹叫做椭圆. 大于 的点的轨迹叫做椭圆 这两个定点叫做椭圆的焦点, 这两个定点叫做椭圆的焦点, 两个焦点的距离叫做椭圆的焦距. 两个焦点的距离叫做椭圆的焦距.

二.椭圆方程的建立
求曲线方程的步骤: 求曲线方程的步骤 步骤一:建立直角坐标系 步骤一:建立直角坐标系, 设动点坐标 步骤二: 步骤二:找关系式 步骤三: 步骤三:列方程 步骤四: 步骤四:化简方程 步骤五: 步骤五:验证
F1 O F2 x y M

三.方程的推导
以两定点F 的所在直线为x轴 线段F 以两定点 1、F2的所在直线为 轴,线段 1F2的 垂直平分线为y轴 建立直角坐标系。 垂直平分线为 轴,建立直角坐标系。 设|F1F2|=2c(c>0),M(x,y)为椭圆上任意一 |=2c(c>0),M(x,y)为椭圆上任意一 0), (c,0), 点,则有F1(-c,0),F2(c,0), 则有F 由椭圆的定义, 可知: 由椭圆的定义 可知:
y M (x,y)

|MF1|+|MF2|=2a

F1 (-c,0)

o

x F2 (c,0)

由两点间的距离公式,可知: 由两点间的距离公式,可知:

( x + c ) + y + ( x ? c ) + y = 2a
2 2 2 2

整理可得: 整理可得:

(a ? c ) x + a y = a (a ? c )
2 2 2 2 2 2 2 2

令 a2

? c = b (a > b > 0)
2 2
2

则有: 则有:b 即

x +a y =a b
2 2 2
2

2 2

y

M

(x,y)

x y + 2 =1 2 a b

2

F1 (-c,0)

o

x F2 (c,0)

四.椭圆标准方程分析
x y 我们把方程 2 + 2 = 1(a > b > 0) 叫做椭 a b 圆的标准方程, 圆的标准方程,它表示的焦点在
x轴上的椭圆,焦点是 轴上的椭圆, 轴上的椭圆 F1(-c,0)、 F2(c,0). , 、 , . 这里c 这里 2=a2-b2.
F1 (-c,0) o y M (x,y)
2 2

x F2 (c,0)

如果椭圆的焦点在y轴上,焦点是 如果椭圆的焦点在 轴上,焦点是F1(0,-c)、 轴上 、 F2(0,c).这里 2=a2-b2.方程是怎样呢? 这里c 方程是怎样呢? 这里

设|F1F2|=2c(c>0),M(x,y)为椭圆上任 > , , 为椭圆上任 意一点,则有 意一点,则有F1(0,-c),F2(0,c), , , 又由椭圆的定义可得: 又由椭圆的定义可得: |MF1|+|MF2|=2a 由两点间的距离公式,可知: 由两点间的距离公式,可知:
2 2 2 2
y

F2

M

o
F1

x

( y + c ) + x + ( y ? c ) + x = 2a

(x +c) +y + (x ?c) +y = 2a
2 2 2 2

四.椭圆标准方程分析
y y M

F2

M
F1

o F2

x

o
F1

x

x y 只须将方程 2 + 2 = 1(a > b > 0) a b
2

2

y 2 x2 的x、y互换即可得到 2 + 2 = 1(a > b > 0) 、 互换即可得到 a b

这个也是椭圆的标准的方程

椭圆的标准方程的再认识: 椭圆的标准方程的再认识:
(1)椭圆标准方程的形式: )椭圆标准方程的形式: 左边是两个分式的平方和, 左边是两个分式的平方和, 右边是1 右边是 (2)椭圆的标准方程中, )椭圆的标准方程中, x2与y2的分母哪一个大,则 的分母哪一个大, 焦点在哪一个轴上。 焦点在哪一个轴上。 ( 3) 椭圆的标准方程中 ) 三个参数a、b、c满足 a2=b2+c2。
F1 (-c,0)
2 2

Y

M

O

F2 (c,0)

X

x y + 2 = 1( a > b > 0) 2 a b
Y

F2(0 , c) M O X F1(0,-c)

y2 x2 + 2 = 1( a > b > 0) 2 a b

练习: 练习:
2

判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的 准则: 准则: 焦点在分母大的那个轴上。 焦点在分母大的那个轴上。
2

x y 已知椭圆的方程为: ⑴已知椭圆的方程为: + = 1 ,则 25 16 a=_____,b=_______,c=_______,焦点坐标 , , , 5 4 3
(3,0)、(-3,0) 、 焦距等于______;若CD为 为:_________________,焦距等于 6 若 为

过左焦点F 的弦, 的周长为________。 过左焦点 1的弦,则?F2CD的周长为 20 的周长为 。
C

F1 D

F2

|CF1|+|CF2|=2a

x y (2)已知椭圆的方程为: + 已知椭圆的方程为: 已知椭圆的方程为 则 = 1 ,则 4 5 a=_____,b=_______,c=_______, , 5 , 2 1 ,
、 焦点坐标为: (0,-1)、(0,1) 焦点坐标为:________________,焦距

2

2

F2 P

F1

2 等于_________; 等于 若曲线上一点P到左焦点 的距离为3, 若曲线上一点 到左焦点F1的距离为 ,则 到左焦点 到另一个焦点F 点P到另一个焦点 2的距离等于 2 5 ? 3 , 到另一个焦点 的距离等于______, 的周长为___________ 则?F1PF2的周长为 2 5 + 2
|PF1|+|PF2|=2a

例1、求适合下列条件的椭圆的标准方程。 、求适合下列条件的椭圆的标准方程。 ⑴ a = 4,b = 1,焦点在 x 轴 , , ⑵ a = 4,c = 15 ,焦点在 y 轴 , ⑶ a + b = 25,焦距为 ,焦距为10 两个焦点坐标为(-2,0)和(2,0), ⑷ 两个焦点坐标为 和 ,
?5 3? 且经过点 ? 2 , ? 2 ? ? ?

x2 y2 表示椭圆, 例2、已知方程 、 + = 1 表示椭圆, 15 ? k k ? 9

取何值时,方程表示: 则当实数 k 取何值时,方程表示: 轴的椭圆, ⑴ 焦点在 x 轴的椭圆, ⑵ 焦点在 y 轴的椭圆

小结
定 义
︱MF1 ︱ + ︱ MF2 ︱ =2a

y
M

(2a > 2c > 0) y
F 2
M

图 形

F 1

o

F2 x

o
F 1

x

方 程 焦 点 a,b,c之间的关系

x2 y 2 + 2 = 1 ( a > b > 0) 2 a b

y 2 x2 + 2 =1 2 a b

( a > b > 0)

F(±c,0) ( ,

F(0,±c) (0, ) (0

c2=a2-b2

注: 共同点:椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上, 共同点:椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上, 中心在坐标原点的椭圆;方程的左边是平方和 右边是1. 左边是平方和, 中心在坐标原点的椭圆;方程的左边是平方和,右边是 2 不同点:焦点在x轴的椭圆 项分母较大. 不同点:焦点在 轴的椭圆 x 项分母较大 y 2 项分母较大 焦点在y轴的椭圆 焦点在 轴的椭圆 项分母较大.


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