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高中数学(北师大版)选修2-2教案:第1章 分析法和综合法在生活中的运用

分析法和综合法在生活中的运用 所谓综合法,是指“由因导果”的思想方法,即从已知条件或某些已经证明过的 结论出发,不断地展开思考,去探索结论的方法. 所谓分析法, 是指“执果索因”的思想方法, 即从结论出发, 不断地去寻找须知, 直至达到已知事实为止的方法. 例 1:某公司一年购买某种货物 400 吨,每次都购买 x 吨,运费为 4 万元/次, 一年的总存储费用为 4 x 万元,试证明当 x ? 20 时一年的总运费与总存储费用之和 最小。 (综合法)证明:由题意得总费用 y ? 400 ? 4 ? 4x , x 400 400 ? 4 ? 4 x ? 80( 当且仅当 ? 4 ? 4 x 即 x ? 20 时取“ ? ) 由均值不等式有: y ? ” x x 故当 x ? 20 时一年的总运费与总存储费用之和最小。 评述:本题考查了不等式在实际生活中的应用,考查了均值不等式等号成立的 条件.运用的方法是综合法,从已知条件出发,不断地展开思考,去探索结论. 例 2:某种商品原来定价每件 p 元,每月将卖出 n 件,假若定价上涨 x 成(这 里 x 成即 x ,0<x≤10 ) .每月卖出数量将减少 y 成,而售货金额变成原来的 z 倍. 10 1 (1)设 y=ax,其中 a 是满足 ≤a<1 的常数,用 a 来表示当售货金额最大时的 3 x 的值; (2)若 y= x,求使售货金额比原来有所增加的 x 的取值范围. (分析法) 解:(1)由题意知某商品定价上涨 x 成时,上涨后的定价、每月卖 x y )元、n(1- )元、npz 元,因而 10 10 x y 1 1 [-a npz ? p(1 ? ) ? n(1 ? ),? z ? (10 ? x)(10 ? y) ,在 y=ax 的条件下,z= 10 10 100 100 25(1 ? a ) 2 1 5(1 ? a) 2 5(1 ? a) [x- ] +100+ ].由于 ≤a<1,则 0< ≤10. a 3 a a 2 3 出数量、每月售货金额分别是:p(1+ 要使售货金额最大,即使 z 值最大,此时 x= (2)由 z= 5(1 ? a) .(此处用分析法) a 2 1 (10+x)(10- x)>1,解得 0<x<5. 3 100 评述:本题考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力,考查 函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识,考查利用均值不等式求最 值的方法、阅读理解能力、建模能力.函数定义域通常都是解不等式得到,利用不 等式方法可以求出函数值的取值范围.如在实际问题应用中,主要有构造不等式求 解或构造函数求函数的最值等方法,本题利用最值这个“结果”去索“等号成立的条 件”这个因,避免了不必要的错误.


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