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2016届文科人教版数学教案 平面向量高考总复习


高考总复习精品数学教案

2016 届文科人教版数学教案 平面向量高考总复习



名:

沈金鹏 数学学院

院 、 系: 专

业: 数学与应用数学

2015 年 11 月 1 日

1

高考总复习精品数学教案

平面向量
考纲导读 1.理解向量的概念,掌握向量的几何表示,了解共线向量的概念. 2.掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律. 3.掌握实数与向量的积的运算法则及运算律,理解两个向量共线的充要条件. 4.了解平面向量基本定理,理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算. 5.掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角 度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. 6.掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式,并且能熟练运用;掌 握平移公式. 7.掌握正、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形. 知识网络

向量的模 单位向量 零向量 向量的加法

相等的向量

概念

平面向量的坐标运算 向 量 向量的减法 运算 实数与向量的乘积 线段的定比分点 向量的数量积 平移公式

余弦定理 解三角形 正弦定理
高考导航 向量由于具有几何形式与代数形式的“双重身份”,使它成为中学数学知识的一个交汇 点,成为多项内容的媒介. 主要考查: 1.平面向量的性质和运算法则,共线定理、基本定理、平行四边形法则及三角形法则. 2.向量的坐标运算及应用. 3.向量和其它数学知识的结合.如和三角函数、数列、曲线方程等及向量在物理中的应用. 4.正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变形的能力.以化简、求值或判断三角形 的形状为主.解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明.

任意三角形的面积公式

第 1 课时

向量的概念与几何运算
2

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基础过关 1.向量的有关概念 ⑴ 既有 又有 的量叫向量. 的向量叫零向量. 的向量,叫单位向量. ⑵ 叫平行向量,也叫共线向量.规定零向量与任一向量 . ⑶ 且 的向量叫相等向量. 2.向量的加法与减法 ⑴ 求两个向量的和的运算,叫向量的加法.向量加法按 法则或 法则进行.加法满足 律和 律. ⑵ 求两个向量差的运算,叫向量的减法.作法是将两向量的 重合,连结两向量 的 ,方向指向 . 3.实数与向量的积 ⑴ 实数 ? 与向量 a 的积是一个向量,记作 ? a .它的长度与方向规定如下: ① | ? a |= . ② 当 ? >0 时, ? a 的方向与 a 的方向 ; 当 ? <0 时, ? a 的方向与 a 的方向 ; 当 ? =0 时, ? a . ⑵ ? (μ a )= . ( ? +μ) a = .
? ( a + b )=

. .

⑶ 共线定理:向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数 λ 使得

4.⑴ 平面向量基本定理:如果 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线的向量,那么对于这一 平面内的任一向量 a ,有且只有一对实数 ?1 、 ?2 ,使得 .

⑵ 设 e1 、 e2 是一组基底, a = x1 e1 ? y1 e2 , b = x2 e1 ? y2 e2 ,则 a 与 b 共线的充要条件 是 .

典型例题 例 1.已知△ABC 中,D 为 BC 的中点,E 为 AD 的中点.设 AB ? a , AC ? b ,求 BE . 解: BE = AE - AB = ( AB + AC )- AB =-
1 4 3 1 a+ b 4 4

变式训练 1.如图所示,D 是△ABC 边 AB 上的中点,则向量 CD 等于( ) A.- BC + BA B.- BC - BA C. BC - BA
1 2 1 2 1 2

A D B C

3

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D. BC + BA 解:A 例 2. 已知向量 a ? 2e1 ? 3e2 , b ? 2e1 ? 3e2 , c ? 2e1 ? 9e2 ,其中 e1 、 e2 不共线,求实数 ? 、 ? , 使 c ? ? a ? ?b . 解: c =λ a +μ b ? 2 e1 -9 e 2 =(2λ+2μ) e1 +(-3λ+3μ) e 2 ? 2λ+2μ=2,且-3λ+3μ=- 9 ? λ=2,且 μ=-1 变式训练 2:已知平行四边形 ABCD 的对角线相交于 O 点,点 P 为平面上任意一点,求证:
PA ? PB ? PC ? PD ? 4 PO

1 2

证明 PA + PC =2 PO , PB + PD =2 PO ? PA + PB + PC + PD =4 PO 例 3. 已知 ABCD 是一个梯形,AB、CD 是梯形的两底边,且 AB=2CD,M、N 分别是 DC 和 AB 的中点,若 AB ? a , AD ? b ,试用 a 、 b 表示 BC 和 MN . 解:连 NC,则 NC ? AD ? b MN ? MC ? CN ? AB ? CN ? a ? b ; BC ? NC ? NB ? b ? a 变式训练 3:如图所示,OADB 是以向量 OA = a , OB = b 为邻边的平行四边形,又 BM =
1 1 BC , CN = CD ,试用 a 、 b 表示 OM , ON , MN . 3 3
1 4 1 4 1 2

解: OM =
MN =

1 5 2 2 a + b , ON = a + b , 6 6 3 3

B M O C
1 3

D N A

1 1 a- b 2 6

例 4. 设 a , b 是两个不共线向量,若 a 与 b 起点相同,t∈R,t 为何值时, a ,t b , ( a + b ) 三向量的终点在一条直线上? 解:设 a ? t b ? ? [ a ? (a ? b) ] ( ? ∈R)化简整理得: ( ? ? 1)a ? (t ? ? )b ? 0
3 ?2 ? ? ? 1 ? 0 ?? ? ? ?3 ? 2 ∵ a 与 b 不共线 ,∴ ? ?? ?t ? ? ? 0 ?t ? 1 ? ? ? 2 ? 3
1 3 2 3 1 3

故t ?

1 1 时, a, t b, (a ? b) 三向量的向量的终点在一直线上. 2 3

变式训练 4: 已知 OA ? a, OB ? b, OC ? c, OD ? d , OE ? e , 设t ? R , 如果 3a ? c, 2b ? d ,

??? ?

? ??? ?

? ??? ?

? ??? ?

? ? ??? ? ?

?

? ?

? ?

? ? ? e ? t (a ? b) ,那么 t 为何值时, C, D, E 三点在一条直线上? ??? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? 解:由题设知, CD ? d ? c ? 2b ? 3a, CE ? e ? c ? (t ? 3)a ? tb , C, D, E 三点在一条 ??? ? ??? ? ? ? ? ? 直线上的充要条件是存在实数 k ,使得 CE ? kCD ,即 (t ? 3)a ? tb ? ?3ka ? 2kb , ? ? 整理得 (t ? 3 ? 3k )a ? (2k ? t )b . ? ? ①若 a, b 共线,则 t 可为任意实数;

4

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?t ? 3 ? 3k ? 0 6 ,解之得, t ? . 5 ? t ? 2k ? 0 ? ? ? ? 6 综上, a, b 共线时,则 t 可为任意实数; a, b 不共线时, t ? . 5
②若 a, b 不共线,则有 ?

? ?

小结归纳 1.认识向量的几何特性.对于向量问题一定要结合图形进行研究.向量方法可以解决几何 中的证明. 2.注意 O 与 O 的区别.零向量与任一向量平行. 3.注意平行向量与平行线段的区别.用向量方法证明 AB∥CD,需证 AB ∥ CD ,且 AB 与 CD 不共线.要证 A、B、C 三点共线,则证 AB ∥ AC 即可. 4.向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则,特点:首尾相接首尾连; 向量减法的三角形法则特点:首首相接连终点.

第 2 课时
基础过关 1.平面向量的坐标表示

平面向量的坐标运算

分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i 、 j 作为基底,对于一个向量 a ,有且只 有一对实数 x、 y, 使得 a =x i +y j . 我们把(x、 y)叫做向量 a 的直角坐标, 记作 且| a |= . 2.向量的坐标表示与起点为 的向量是一一对应的关系. 3.平面向量的坐标运算: 若 a =(x1、y1), b =(x2、y2),λ∈R,则: a +b = a -b = λa = 已知 A(x1、y1),B(x2、y2),则 AB = . 4.两个向量 a =(x1、y1)和 b =(x2、y2)共线的充要条件是 . 典型例题 例 1.已知点 A(2,3),B(-1,5),且 AC = 解 AC =
1 AB ,求点 C 的坐标. 3

. 并

1 2 11 11 AB =(-1, ), OC = OA ? AC =(1, ),即 C(1, ) 3 3 3 3

变式训练 1.若 OA ? (2,8) , OB ? (?7, 2) ,则 解: (?3, ?2) 提示: AB ? OB ? OA ? (?9, ?6) 例 2. 已知向量 a =(cos

??? ?

??? ?

? 1 ??? AB = 3

.

??? ?

??? ? ??? ?

? ? ? ? 2 5 ,sin ), b =(cos ,sin ),| a - b |= ,求 cos(α-β)的值. 2 2 2 2 5
5

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解:| a - b |=

? ?? 3 2 2 5 2 5 5 2 5 ? ?? 2 5 7 = = ? cos(α-β)= ? ?? ? 2 ?2 2 2 ? cos( 2cos cos( ?? ? ?? )? ?) ? ? cos ? 2 25 5 5 5 5 5 5 2 2

变式训练 2.已知 a -2 b =(-3,1),2 a + b =(-1,2),求 a + b . 解 a =(-1,1), b =(1,0),∴ a + b =(0,1) 例 3. 已知向量 a =(1, 2), b =(x, 1), e1 = a +2 b , e 2 =2 a - b ,且 e1 ∥ e 2 ,求 x. 解: e1 =(1+2x,4), e 2 =(2-x,3), e1 ∥ e 2 ? 3(1+2x)=4(2-x) ? x=
1 2

变式训练 3.设 a =(ksinθ, 1), b =(2-cosθ, 1) (0 <θ<π), a ∥ b ,求证:k≥ 3 .
2 ? cos? 证明: k= ∴k- 3 = sin ?

2 ? 2 cos(? ? sin ?

?

) 3 ≥0

∴k≥ 3

例 4. 在平行四边形 ABCD 中,A(1,1), AB =(6,0),点 M 是线段 AB 的中点,线段 CM 与 BD 交于点 P. D C (1) 若 AD =(3,5),求点 C 的坐标; (2) 当| AB |=| AD |时,求点 P 的轨迹. P 解:(1)设点 C 的坐标为(x0,y0),
AC ? AD ? DB ? (3, 5) ? (6, 0) ? (9, 5) ? ( x 0 ?1, y 0 ?5)

A

M

B

得 x0=10

y0=6 即点 C(10,6) ∴点 D 的轨迹为(x-1)2+(y-1)2=36 ∴P 分 BD 的比为
1 2

(2) ∵ AB ? AD ∵M 为 AB 的中点

(y≠1)

设 P(x,y),由 B(7,1) 则 D(3x-14,3y-2) ∴点 P 的轨迹方程为 ( x ? 5) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4( y ? 1) 变式训练 4.在直角坐标系 x、y 中,已知点 A(0,1)和点 B(-3,4),若点 C 在∠AOB 的平 分线上,且| OC |=2,求 OC 的坐标. 解 已知 A (0,1),B (-3,4) 设 C (0,5), D (-3,9) 则四边形 OBDC 为菱形 ∴∠AOB 的角平分线是菱形 OBDC 的对角线 OD ∵ OD ? 3 10 ∴ OC ?
2 3 10
OC ? 2

OD ? ( ?

10 3 10 , ) 5 5

小结归纳 1.认识向量的代数特性.向量的坐标表示,实现了“形”与“数”的互相转化.以向量为工具, 几何问题可以代数化,代数问题可以几何化. 2.由于向量有几何法和坐标法两种表示方法,所以我们应根据题目的特点去选择向量的表 示方法,由于坐标运算方便,可操作性强,因此应优先选用向量的坐标运算.
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第 3 课时
基础过关

平面向量的数量积

1.两个向量的夹角:已知两个非零向量 a 和 b ,过 O 点作 OA = a , OB = b ,则∠AOB=θ (0°≤θ≤180°) 叫做向量 a 与 b 的
b

.当 θ=0° 时, a 与 b

;当 θ=180° 时, a 与 .

;如果 a 与 b 的夹角是 90° ,我们说 a 与 b 垂直,记作

2.两个向量的数量积的定义:已知两个非零向量 a 与 b ,它们的夹角为 θ,则数量
b ,即 a · b= 叫做 a 与 b 的数量积(或内积),记作 a · b= 数量积为 0.若 a =(x1, y1), b =(x2, y2),则 a ·

.规定零向量与任一向量的 .

3.向量的数量积的几何意义: | b |cosθ 叫做向量 b 在 a 方向上的投影 (θ 是向量 a 与 b 的夹角).
a· b 的几何意义是,数量 a · b 等于



4.向量数量积的性质:设 a 、 b 都是非零向量, e 是单位向量,θ 是 a 与 b 的夹角.
a =a · e= ⑴ e·

⑵ a ⊥b ?
b= ⑶ 当 a 与 b 同向时, a · b= ;当 a 与 b 反向时, a ·



⑷ cosθ=
b |≤ ⑸ |a ·



5.向量数量积的运算律:
b= ⑴ a· b= ⑵ (λ a )· c= ⑶ ( a + b )·

; = a ·(λ b )

典型例题 例 1. 已知| a |=4,| b |=5,且 a 与 b 的夹角为 60° ,求:(2 a +3 b )· (3 a -2 b ). 解:(2 a +3 b )(3 a -2 b )=-4 变式训练 1.已知| a |=3,| b |=4,| a + b |=5,求|2 a -3 b |的值.

7

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解: 6 5 例 2. 已知向量 a =(sin ? ,1), b =(1,cos ? ),- (1) 若 a⊥b,求 ? ; (2) 求| a + b |的最大值. 解:(1)若 a ? b ,则 sin? ? cos? ? 0 即 tan? ? ?1 (2) a ? b ? 当? ?
?
4

?
2

?? ?

?
2



而 ? ? (? , ) ,所以 ? ? ?
2 2

? ?

?
4

3 ? 2(sin? ? cos? ) ?

3 ? 2 2 sin(? ?

?
4

)

时, a ? b 的最大值为 2 ? 1

变式训练 2:已知 a ? (cos ? ,sin ? ) , b ? (cos ? ,sin ? ) ,其中 0 ? ? ? ? ? ? . (1)求证: a ? b 与 a ? b 互相垂直; (2)若 ka ? b 与 a ? k b 的长度相等,求 ? ? ? 的值( k 为非零的常数). 证明:?(a ? b ) ? (a ? b ) ? a 2 ? b 2 ? (cos2 ? ? sin 2 ? ) ? (cos2 ? ? sin 2 ? ) ? 0
?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ?

? ?

?

?

? ? ? ? ? a ? b 与 a ? b 互相垂直
(2) k a ? b ? (k cos ? ? cos ? , k sin ? ? sin ? ) ,
?
?

?

a ? k b ? (cos ? ? k cos ? ,sin ? ? k sin ? ) ,
? ? ? ? k a ? b ? k 2 ? 1 ? 2k cos( ? ? ? ) , a ? kb ? k 2 ? 1 ? 2k cos( ? ? ? ) ,

?

2 而 k ? 1 ? 2k cos( ? ? ? ) ?

k 2 ? 1 ? 2k cos( ? ? ? )

cos(? ? ? ) ? 0 , ? ? ? ?

?
2

例 3. 已知 O 是△ABC 所在平面内一点,且满足( OB - OC )· ( OB + OC -2 OA )=0,判断 △ABC 是哪类三角形. 解:设 BC 的中点为 D,则( OB ? OC )( OB ? OC ? 2OA )=0 ? 2 BC ·AD =0 ? BC⊥AD ? △ABC 是等腰三角形. 变式训练 3:若 A(1, 2), B(2,3), C (?2,5) ,则△ABC 的形状是 解: 直角三角形.提示: AB ? (1,1), AC ? (?3,3), AB ? AC ? 0, AB ? AC .

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

8

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例 4. 已知向量 m =(cosθ, sinθ)和 n =( 2 -sinθ, cosθ) θ∈(π, 2π)且| m ? n |= cos(
?
2 ?

8 2 ,求 5

?
8

)的值.
128 25

解: m ? n =(cosθ-sinθ+ 2 , cosθ+sinθ)由已知(cosθ-sinθ+ 2 )2+(cosθ+sinθ)2= 化简:cos (? ? ) ?
4

?

7 25

又 cos ( ? ) ?
2 8

2

?

?

1 ? cos(? ? 2

?

) 4 ? 16 25
1 ? cos(? ?

∵θ∈(π, 2π) ∴cos ( ? ) <0 ?

?

?

?

2 8 2 ? 1 ? cos(? ? ) ? ? 16 4 4 ∴cos ( ? ) =- ? ? 5 2 8 2 25

) 4 ? 16 25

变式训练 4.平面向量 a ? ( 3, ?1), b ? ( ,

?

?

1 3 ) ,若存在不同时为 0 的实数 k 和 t ,使 2 2

? ? ? ? ? ? ? ? x ? a ? (t 2 ? 3)b , y ? ?ka ? tb , 且 x ? y ,试求函数关系式 k ? f (t ) .
解:由 a ? ( 3, ?1), b ? ( ,

?

?

? ? ? ? 1 3 ) 得 a ? b ? 0,| a |? 2,| b |? 1 2 2

? ? ? ? ?2 ? ? ? ? ?2 [a ? (t 2 ? 3)b] ? (?ka ? tb) ? 0, ?ka ? ta ? b ? k (t 2 ? 3)a ? b ? t (t 2 ? 3)b ? 0
?4k ? t 3 ? 3t ? 0, k ?
小结归纳 1.运用向量的数量积可以解决有关长度、角度等问题.因此充分挖掘题目所包含的几何意 义,往往能得出巧妙的解法.
b 与 ab 的区别. a · b =0≠> a = 0 ,或 b = 0 . 2.注意 a ·

1 3 1 (t ? 3t ), f (t ) ? (t 3 ? 3t ) 4 4

3.应根据定义找两个向量的夹角。对于不共起点的两个向量,通过平移,使起点重合.

第 4 课时

线段的定比分点和平移

基础过关 1. 设 P1P2 是直线 L 上的两点,点 P 是 L 上不同于 P1、P2 的任意一点,则存在一个实数 λ 使 P1P =λ PP2 ,λ 叫做 .

2.设 P1(x1、y1),P2(x2、y2),点 P(x、y)分 P1 P2 的比是 λ 时,定比分点坐标公式为: ,中点坐标公式: 。 3. 平移公式:将点 P(x、y)按向量 a =(h、k)平移得到点 P'(x',y'), 则 .
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典型例题 例 1. 已知点 A(-1, -4),B(5, 2),线段 AB 上的三等分点依次为 P1、P2,求 P1、P2 的坐标 及 A、B 分 P1 P2 所成的比. 解 ⑴ P1(x-2) P2(3, 0) (2) - , -2 变式训练 1.设|AB|=5,点 p 在直线 AB 上,且|PA|=1,则 p 分 AB 所成的比为 解:
1 1 或? 4 6 5? )+3 的图象 C 进行平移后得到图象 C',使 C 上面的一点 P 6
1 2



例 2. 将函数 y=2sin(2x+ (

? ? 、2)移至点 P'( 、1),求图像 C'对应的函数解析式. 4 6
2? )+2 3

解: C':y=2sin(2x+

变式训练 2:若直线 2x-y+c=0 按向量 a =(1, -1)平移后与圆 x2+y2=5 相切,则 c 的值 为 ( ) A.8 或-2 B.6 或-4 C.4 或-6 D.2 或-8 解: A 例 3. 设 a =(sinx-1, cosx-1), b?( 的图象按向量 c 平移而得,求 c . 解: c =(-
?
4 ? 2k? , ? 2 ) (k∈z)

2 2 f (x)= a ? b , 且函数 y=f (x)的图象是由 y=sinx , ), 2 2

变式训练 3:将 y=sin2x 的图象向右按 a 作最小的平移,使得平移后的图象在[kπ+ π] (k∈Z)上递减,则 a = 解:(
? ,0) 4

? , kπ+ 2



例 4. 已知△ABC 的顶点 A(0、0),B(4、8),C(6、-4),点 M 内分 AB 所成的比为 3,N 是 AC 边上的一点,且△AMN 的面积等于△ABC 的面积的一半,求 N 点的坐标. 解:由
S ?AMN | AM | ? | AN | 1 = ? 2 S ?ABC | AB | ? | AC |
| AN | 2 ? | AC | 3
8 3
AN ?2 NC



∴ N(4,- ) 变式训练 4.已知△ABC 的三个顶点为 A(1,2),B(4,1),C(3,4). (1)求 AB 边上的中线 CM 的长及重心 G 的坐标; (2)在 AB 上取一点 P, 使过 P 且平行于 BC 的直线 PQ 把△ABC 的面积分成 4︰5 两部分 (三 角形面积:四边形面积),求点 P 的坐标

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解: CM ? 小结归纳

26 2

8 7 G( , ) 3 3

4 p(3, ) 3

1.在运用线段定比分点公式时,首先要确定有向线段的起点、终点和分点,再结合图形确 定分比 ? . 2.平移公式反映了平移前的点 P(x、y)和平移后的点 P'(x'、y'),及向量 a =(h,k)三者之间 的关系.它的本质是 PP ' = a .平移公式与图象变换法则,既有区别又有联系,应防止混淆.

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平面向量章节测试题
一、选择题 1. 若 A(2,-1),B(-1,3),则 AB 的坐标是 ( A.(1,2) B.(-3,4) C. (3,-4) 2.与 a=(4,5)垂直的向量是 ( ) 5 4 A.(-5k,4k) B. (-10,2) C. ( , ? ) k k 3. △ABC 中, BC =a, AC =b,则 AB 等于 ( ) A.a+b B.-(a+b) C.a-b ) D. 以上都不对 D.(5k, -4k)

D.b-a

2 1 2 4.化简 (a-b)- (2a+4b)+ (2a+13b)的结果是 ( ) 5 3 15 1 1 1 1 1 1 A. a ? b B.0 C. a+ b D. a- b 5 5 5 5 5 5 ? 5.已知|p|= 2 2 ,|q|=3, p 与 q 的夹角为 ,则以 a=5p+2q,b=p-3q 为邻边的平行四边形的一条 4

对角线长为 A.15

(

) B. 15 C. 16 D.14

6.已知 A(2,-2),B(4,3),向量 p 的坐标为(2k-1,7)且 p∥ AB ,则 k 的值为 ( ) 9 9 19 19 A. ? B. C. ? D. 10 10 10 10 ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? 7. 已知△ABC 的三个顶点, A、 B、 C 及平面内一点 P 满足 PA ? PB ? PC ? AB , 则点 P 与△ABC 的关系是 ( ) A. P 在△ABC 的内部 B. P 在△ABC 的外部 C. P 是 AB 边上的一个三等分点 D. P 是 AC 边上的一个三等分点 8.已知△ABC 的三个顶点,A (1,5),B(-2,4),C(-6,-4),M 是 BC 边上一点,且△ABM 的面积 1 是△ABC 面积的 ,则线段 AM 的长度是 ( ) 4 5 85 A.5 B. 85 C. D. 2 2 9.设 e1,e2 是夹角为 450 的两个单位向量,且 a=e1+2e2,b=2e1+e2,,则|a+b|的值 ( ) A. 3 2 A.30
0

B.9 B.45
0

C. 18 ? 9 2 (
0

D. 3 2 ? 2 ) D.750

10.若|a|=1,|b|= 2 ,(a-b)⊥a,则 a 与 b 的夹角为 C.60 11.把一个函数的图象按向量 a=( y=sin(x+

? ,-2)平移后,得到的图象对应的函数解析式为 3
( )

? )-2,则原函数的解析式为 6

A.y=sinx B.y=cosx C.y=sinx+2 D.y= -cosx ??? ? ??? ? 12.在△ABC 中, AB =c, BC = a, CA =b,则下列推导中错误的是 ( ) A.若 a· b<0,则△ABC 为钝角三角形 B. 若 a· b=0,则△ABC 为直角三角形 C. 若 a· b=b· c,则△ABC 为等腰三角形 D. 若 c· ( a+b+c)=0,则△ABC 为等腰三角形 二、填空题 13.在△ABC 中,已知 AB ? AC ? 4, 且 AB ? AC ? 8, 则这个三角形的形状是 14.一艘船从 A 点出发以 2 3km / h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时河水的流速为
2km / h ,则船实际航行的速度的大小和方向是
12

.

.

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15. 若向量 a ? (3,?2), b ? (?2,1), c ? (7,?4) ,现用 a、b 表示 c,则 c=
2 2

.

16.给出下列命题:①若 a +b =0,则 a=b=0; x ? x y ? y2 1 ②已知 A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,则 AB ? ( 1 2 , 1 ); 2 2 2 ③已知 a,b,c 是三个非零向量,若 a+b=0,则|a· c|=|b· c| ④已知 ?1 ? 0, ?2 ? 0 ,e1,e2 是一组基底,a=λ1e1+λ2e2 则 a 与 e1 不共线,a 与 e2 也不共线; ⑤若 a 与 b 共线,则 a· b=|a|· |b|.其中正确命题的序号是 三、解答题 .

17.如图,ABCD 是一个梯形, AB // CD, AB ? 2 CD , M、N 分别是 DC, AB 的中点,已知
???? ? ???? ??? ? AB ? a, AD ? b,试用 a、b 表示 DC , BC 和 MN .

D

M

C

A

N

B

18.设两个非零向量 e1、e2 不共线.如果 AB =e1+e2, BC ? 2e1+8e2, CD =3(e1-e2) ⑴求证:A、B、D 共线; ⑵试确定实数 k,使 ke1+e2 和 e1+ke2 共线.

19.已知△ABC 中,A(2,4),B(-1,-2),C(4,3),BC 边上的高为 AD.⑴求证:AB⊥AC;⑵求点 D 与向 量 AD 的坐标.

20.已知△ABC 的三个顶点为 A(1,2),B(4,1),C(3,4).⑴求 AB 边上的中线 CM 的长;⑵在 AB 上 取一点 P,使过 P 且平行与 BC 的直线 PQ 把 ?ABC 的面积分成 4:5 两部分,求 P 点的坐标.

21.已知 a、b 是两个非零向量,证明:当 b 与 a+λb(λ∈R)垂直时,a+λb 的模取得最小值.

13

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22.已知二次函数 f(x) 对任意 x∈R, 都有 f (1-x)=f (1+x)成立, 设向量 a=(sinx,2), b=(2sinx, c=(cos2x,1),d=(1,2)。 (1)分别求 a· b 和 c· d 的取值范围; (2)当 x∈[0,π]时,求不等式 f(a· b)>f(c· d)的解集.

1 ), 2

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平面向量章节测试题参考答案
一、BCDBA;DDADB;BD 二、13.等边三角形;14.大小是 4km/h,方向与水流方向的夹角为 600 ; 15.a-2b ; 16.①③④ 1 1 1 1 三、17.∵| AB |=2| CD |∴ AB ? 2DC ∴ DC ? AB ? a, BC ? b- a , MN = a-b 2 2 2 4 18.⑴∵ BD ? BC ? CD ? 5e1+5e2= 5 AB , ∴ AB // BD 又有公共点 B,∴A、B、D 共线 ⑵设存在实数 λ 使 ke1+e2=λ(e1+ke2) ∴ k=λ 且 kλ=1 ∴k= ? 1
??? ? ??? ? ??? ?

19.⑴由 AB ? AC ? 0 可知 AB ? AC 即 AB⊥AC ⑵设 D(x,y),∴ AD ? ( x ? 2, y ? 4), BC ? (5,5), BD ? ( x ? 1, y ? 2) ∵ AD ? BC ∴5(x-2)+5(y-4)=0
? ?x ? ∴? ? ?y ? ? ? 7 2 5 2

∵ BD // BC

∴5(x+1)-5(y+2)=0

7 5 3 3 ∴D( , ) AD ? ( ,? ) 2 2 2 2

5 3 1 5 26 20.⑴? M ( , ) ? CM ? (? ,? ), | CM |? 2 2 2 2 2

⑵设 P(x,y)?

S?APQ S BPQC

? 2 ??? ? 4 S?APQ 4 | AP | 2 ??? ? ? ? ,? ? ? AP ? AB 5 S?ABC 9 | AB | 3 3

? ( x ? 1, y ? 2) ?

2 4 (3,?1) ? P(3, ) 3 3

21. 当 b 与 a+λb(λ∈R)垂直时,b·(a+λb)=0,∴λ= b ? a 2 = b 2 (? ? | a+λb |= ? 2 b2 ? 2?a?

a ?b b2

a ?b 2 a ?b ) ? a 2 ? ( 2 )2 b2 b

当 λ= -

a ?b 时,| a+λb |取得最小值. b2

∴当 b 与 a+λb(λ∈R)垂直时,a+λb 的模取得最小值. 22. (1)a· b=2sin2x+1 ? 1 c· d=2cos2x+1 ? 1 (2)∵f(1-x)=f(1+x) ∴f(x)图象关于 x=1 对称 当二次项系数 m>0 时, f(x)在(1, ?? )内单调递增, 由 f(a· b)>f(c· d) ? a· b > c· d, 即 2sin2x+1>2cos2x+1 ? 3? 又∵x∈[0,π] ∴x∈ ( , ) 4 4 当二次项系数 m<0 时,f(x)在(1, ?? )内单调递减, 由 f(a· b)>f(c· d) ? a· b > c· d, 即 2sin2x+1<2cos2x+1 ? 3? 又∵x∈[0,π] ∴x∈ [0, ) ? ( , ? ] 、 4 4

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? 3? 故当 m>0 时不等式的解集为 ( , ) ;当 m<0 时不等式的解集为 4 4

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