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2020版高中数学第二章圆锥曲线与方程1.1椭圆及其标准方程学案北师大版

1.1 椭圆及其标准方程
学习目标 1.了解椭圆的实际背景,了解椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定 义、标准方程及几何图形.

知识点一 椭圆的定义

1.定义

平面内到两个定点 F1,F2 的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆. 这两个定点 F1,F2 叫作椭圆的焦点,两个焦点 F1,F2 间的距离叫作椭圆的焦距.

2.椭圆的集合表示

设 M 为椭圆上任意一点,椭圆的两个焦点为 F1,F2,根据椭圆的定义可知,椭圆可以视为动 点 M 的集合,表示为{M||MF1|+|MF2|=2a,2a>|F1F2|,a 为常数}.

知识点二 椭圆的标准方程

焦点在 x 轴上

焦点在 y 轴上

标准方程

xa22+yb22=1(a>b>0)

ya22+xb22=1(a>b>0)

图形

焦点坐标 a,b,c 的关系

F1(-c,0),F2(c,0)

F1(0,-c),F2(0,c)

c2=a2-b2

1.到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的集合叫作椭圆.( × ) 2.椭圆标准方程只与椭圆的形状、大小有关,与位置无关.( × ) 3.椭圆的两种标准形式中,虽然焦点位置不同,但都具备 a2=b2+c2.( √ )
题型一 求椭圆的标准方程

例 1 求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)焦点在 y 轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0);
(2)两个焦点的坐标分别是(0,-2),(0,2),并且椭圆经过点???-32,52???; (3)经过点 P???13,13???,Q???0,-21???.
考点 椭圆标准方程的求法 题点 待定系数法求椭圆的标准方程 解 (1)因为椭圆的焦点在 y 轴上, 所以设它的标准方程为ya22+xb22=1(a>b>0). 又椭圆经过点(0,2)和(1,0),

??4 0 a2+b2=1, 所以
?0 1 ??a2+b2=1,

所以?????ab22==41,.

所以所求椭圆的标准方程为y42+x2=1. (2)因为椭圆的焦点在 y 轴上, 所以设它的标准方程为ya22+xb22=1(a>b>0), 由椭圆的定义知, 2a= ???-32???2+???52+2???2+ ???-32???2+???52-2???2 =2 10, 即 a= 10, 又 c=2,所以 b2=a2-c2=6,
y2 x2 所以所求椭圆的标准方程为10+ 6 =1. (3)方法一 ①当椭圆焦点在 x 轴上时,可设椭圆的标准方程为xa22+yb22=1(a>b>0).

?????13a???2 2+???b132???2=1,

??? 依题意,有

0+???-b122 ???2=1,

??a2=15, 解得???b2=14.

由 a>b>0,知不合题意,故舍去; ②当椭圆焦点在 y 轴上时,可设椭圆的标准方程为ya22+xb22=1(a>b>0).

?????13a???2 2+???b132???2=1,

??? 依题意,有

???-a122 ???2+0=1,

??a2=14, 解得???b2=15.

y2 x2 所以所求椭圆的标准方程为 1 + 1 =1.
45
方法二 设椭圆的方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).

??19m+19n=1, 则???14n=1,

解得?????mn==54,.

所以所求椭圆的方程为 5x2+4y2=1, y2 x2
故椭圆的标准方程为 1 + 1 =1. 45
反思感悟 求椭圆标准方程的方法 (1)定义法:根据椭圆定义,确定 a2,b2 的值,结合焦点位置写出椭圆方程. (2)待定系数法:先判断焦点位置,设出标准方程形式,最后由条件确定待定系数即可.即“先 定位,后定量”. 当所求椭圆的焦点位置不能确定时,应按焦点在 x 轴上和焦点在 y 轴上进行分类讨论,但要 注意 a>b>0 这一条件. (3)当已知椭圆经过两点,求椭圆的标准方程时,把椭圆的方程设成 mx2+ny2=1(m>0,n>0 且 m≠n)的形式有两个优点:①列出的方程组中分母不含字母;②不用讨论焦点所在的位置, 从而简化求解过程. 跟踪训练 1 求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)两个焦点坐标分别是(0,5),(0,-5),椭圆上一点 P 到两焦点的距离之和为 26; (2)与椭圆x32+y2=1 有相同的焦点且经过点 M( 2,1). 考点 椭圆标准方程的求法 题点 待定系数法求椭圆的标准方程 解 (1)因为椭圆的焦点在 y 轴上,

所以设它的标准方程为ya22+xb22=1(a>b>0). 因为 2a=26,2c=10,所以 a=13,c=5. 所以 b2=a2-c2=144.
y2 x2 所以所求椭圆的标准方程为169+144=1. (2)由椭圆x32+y2=1,知焦点在 x 轴上, 则 c2=3-1=2,∴c= 2, ∴椭圆的两个焦点坐标分别为(- 2,0)和( 2,0). 设所求椭圆的标准方程为xa22+a2y-2 2=1(a2>2),
21 把( 2,1)代入方程,得a2+a2-2=1, 化简,得 a4-5a2+4=0, ∴a2=4 或 a2=1(舍),
x2 y2 ∴所求椭圆的标准方程为 4 + 2 =1. 题型二 椭圆定义的应用 命题角度 1 利用椭圆定义求轨迹方程 例 2 如图所示,已知动圆 P 过定点 A(-3,0),并且在定圆 B:(x-3)2+y2=64 的内部与 其内切,求动圆圆心 P 的轨迹方程..
考点 与椭圆有关的轨迹方程 题点 与椭圆定义有关的轨迹方程 解 设动圆 P 和定圆 B 内切于点 M,动圆圆心 P 到两定点 A(-3,0)和 B(3,0)的距离之和恰好 等于定圆半径, 即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=8>|AB|, 所以动圆圆心 P 的轨迹是以 A,B 为左、右焦点的椭圆, 其中 c=3,a=4,b2=a2-c2=42-32=7,
x2 y2 其轨迹方程为16+ 7 =1. 反思感悟 利用椭圆定义求动点轨迹方程的三个步骤

跟踪训练 2 如图所示,在圆 C:(x+1)2+y2=25 内有一点 A(1,0).Q 为圆 C 上任意一点, 线段 AQ 的垂直平分线与 C,Q 的连线交于点 M,当点 Q 在圆 C 上运动时,求点 M 的轨迹方程.

考点 与椭圆有关的轨迹方程 题点 与椭圆定义有关的轨迹方程 解 如图所示,连接 MA.

由题意知点 M 在线段 CQ 上,

从而有|CQ|=|MQ|+|CM|.

又点 M 在 AQ 的垂直平分线上,

则|MA|=|MQ|,

故|MA|+|MC|=|CQ|=5>|AC|=2.

故点 M 的轨迹是以(1,0),(-1,0)为焦点的椭圆,

且 2a=5,c=1,

故 a=52,b2=a2-c2=245-1=241.

故点

M

x2 y2 的轨迹方程为25+21=1.

44

命题角度 2 椭圆中的焦点三角形问题

例3

已知

P

x2 y2 为椭圆12+ 3 =1

上一点,F1,F2

是椭圆的焦点,∠F1PF2=60°,求△F1PF2

的面

积. 考点 椭圆的定义 题点 焦点三角形中的问题 解 由题意知|F1O|= 12-3=3,
∴|F1F2|=6. 在△PF1F2 中,由余弦定理,得 |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos60°, 即 36=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|.① 由椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=4 3, 即 48=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|.② 由①②得|PF1|·|PF2|=4, 所以 S F1PF2 =12|PF1|·|PF2|·sin60°= 3. 引申探究 若将本例中“∠F1PF2=60°”变为“∠F1PF2=90°”,求△F1PF2 的面积. 解 由椭圆1x22 +y32=1,知|PF1|+|PF2|=4 3,|F1F2|=6, 因为∠F1PF2=90°,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=36, 所以|PF1|·|PF2|=6, 所以 S F1PF2 =12|PF1|·|PF2|=3. 反思感悟 1.对于求焦点三角形的面积,结合椭圆定义,建立关于|PF1|(或|PF2|)的方程求 得|PF1|(或|PF2|);有时把|PF1|·|PF2|看成一个整体,运用公式|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+ |PF2|)2-2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|,而无需单独求出,这样可以减少运算 量. 2.焦点三角形的周长等于 2a+2c.设∠F1PF2=θ ,则焦点三角形的面积为 b2tanθ2 . 跟踪训练 3 已知 AB 是过椭圆49x2+y2=1 的左焦点 F1 的弦,且|AF2|+|BF2|=4,其中 F2 为椭 圆的右焦点,则|AB|=________. 考点 椭圆的定义 题点 焦点三角形中的问题

答案 2 解析 由椭圆的定义,知|AF1|+|AF2|=2a, |BF1|+|BF2|=2a, 所以|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=6. 所以|AF1|+|BF1|=6-4=2,即|AB|=2.

1.“平面内一动点到两定点的距离之和为一定值”是“这个动点的轨迹为椭圆”的( )

A.必要不充分条件

B.充分不必要条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

考点 椭圆的定义

题点 由椭圆定义确定轨迹

答案 A

解析 若动点的轨迹为椭圆,则根据椭圆的定义,得平面内一动点到两定点的距离之和为一

定值.平面内一动点到两定点的距离之和为一定值时,动点轨迹的情况有三种.所以“平面

内一动点到两定点的距离之和为一定值”是“这个动点的轨迹为椭圆”的必要不充分条件.

2.椭圆2x52 +y2=1 上一点 P 到一个焦点的距离为 2,则点 P 到另一个焦点的距离为(

)

A.5B.6C.7D.8

考点 椭圆的定义

题点 椭圆定义的应用

答案 D 解析 设椭圆的左、右焦点分别为 F1,F2,|PF1|=2. 结合椭圆定义|PF2|+|PF1|=10,故|PF2|=8. 3.已知椭圆 4x2+ky2=4 的一个焦点坐标是(0,1),则实数 k 的值是( )

A.1B.2C.3D.4

考点 椭圆的标准方程

题点 给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围)

答案 B
解析 由题意得,椭圆标准方程为 x2+y42=1, k

又其一个焦点坐标为(0,1),故4k-1=1,解得 k=2.

4.设

F1,F2

x2 y2 是椭圆 9 + 4 =1

的两个焦点,P

是椭圆上的点,且|PF1|∶|PF2|=2∶1,则△F1PF2

的面积为________.

考点 椭圆的定义

题点 焦点三角形中的问题

答案 4

解析 由椭圆方程,得 a=3,b=2,c= 5.

∵|PF1|+|PF2|=2a=6 且|PF1|∶|PF2|=2∶1,

∴|PF1|=4,|PF2|=2,且|F1F2|=2 5, ∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2, ∴△PF1F2 是直角三角形,且 PF1⊥PF2, ∴△F1PF2 的面积为12|PF1|·|PF2|=12×2×4=4.

5.若△ABC 的三边长 a,b,c 成等差数列,且 b=6,求顶点 B 的轨迹方程.

考点 与椭圆有关的轨迹方程

题点 与椭圆定义有关的轨迹方程

解 以直线 AC 为 x 轴,AC 的中点为原点,建立平面直角坐标系(图略),则 A(-3,0),C(3,0),

设 B(x,y),则|BC|+|AB|=a+c=2b=2|AC|=12,

∴B 点的轨迹是以 A,C 为焦点的椭圆, 且 a′=6,c′=3,b′2=27. 故所求的轨迹方程为3x62 +2y72 =1(y≠0).

1.平面内到两定点 F1,F2 的距离之和为常数,即|MF1|+|MF2|=2a,当 2a>|F1F2|时,轨迹是 椭圆;当 2a=|F1F2|时,轨迹是线段 F1F2;当 2a<|F1F2|时,轨迹不存在. 2.对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法:可以通过待定系数法求解,也可以通过椭圆的 定义进行求解. 3.用待定系数法求椭圆的标准方程时,若已知焦点的位置,可直接设出标准方程;若焦点位 置不确定,可分两种情况求解,也可设 Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B)求解,避免了分类讨论, 达到了简化运算的目的.

一、选择题 1.已知两定点 F1(-1,0),F2(1,0),且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,则动点 P 的轨迹方

程是( ) x2 y2
A.16+ 9 =1

x2 y2 B.16+12=1

x2 y2 C. 4 + 3 =1

x2 y2 D. 3 + 4 =1

考点 求椭圆的标准方程

题点 定义法求椭圆的标准方程

答案 C

解析 ∵|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项, ∴|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=2×2=4>|F1F2|. ∴点 P 的轨迹应是以 F1,F2 为焦点的椭圆. ∵c=1,a=2,∴b2=a2-c2=3,
x2 y2 ∴动点 P 的轨迹方程为 4 + 3 =1.

x2 y2 2.设 F1,F2 是椭圆25+ 9 =1 的焦点,P 为椭圆上一点,则△PF1F2 的周长为( )

A.16B.18C.20D.不确定

答案 B

解析 △PF1F2 的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c.因为 2a=10,c= 25-9=4, 所以周长为 10+8=18.

3.已知椭圆的焦点坐标为(-1,0)和(1,0),点 P(2,0)在椭圆上,则椭圆的方程为( )

x2 y2 A. 4 + 3 =1

B.x42+y2=1

y2 x2 C. 4 + 3 =1

D.y42+x2=1

考点 椭圆标准方程的求法

题点 定义法求椭圆的标准方程

答案 A

解析 c=1,a=12×(

+ 2+0+

- 2+0)=2,

∴b2=a2-c2=3, x2 y2
∴椭圆的方程为 4 + 3 =1.

4.方程 x- 2+y2+ x+ 2+y2=10 化简的结果是( )

x2 y2 A. 5 + 3 =1

x2 y2 B. 3 + 5 =1

x2 y2 C.25+ 9 =1

x2 y2 D. 9 +25=1

考点 椭圆标准方程的求法

题点 定义法求椭圆的标准方程

答案 C

解析 由方程左边的几何意义及椭圆定义可知,方程表示的曲线为焦点在 x 轴上的椭圆,且

c=4,a=5. 所以 b2=a2-c2=9,故化简结果为2x52 +y92=1.

x2 y2 5.椭圆25+ 9 =1

上的一点

M

到左焦点

F1

的距离为

2,N



MF1

的中点,则|ON|等于(

)

3 A.2B.4C.8D.2

考点 椭圆的定义

题点 椭圆定义的应用

答案 B

解析 如图,F2 为椭圆右焦点,连接 MF2,

则 ON 是△F1MF2 的中位线,∴|ON|=12|MF2|,又|MF1|=2,|MF1|+|MF2|=2a=10,

∴|MF2|=8, ∴|ON|=4.

6.设定点 F1(0,-3),F2(0,3),动点 P 满足条件|PF1|+|PF2|=a+9a(a>0),则点 P 的轨迹

是( )

A.椭圆

B.线段

C.不存在

D.椭圆或线段

考点 椭圆的定义

题点 椭圆定义的应用

答案 D

解析 ∵a+9a≥2 a·9a=6,

当且仅当 a=9a,即 a=3 时取等号,

∴当 a=3 时,|PF1|+|PF2|=6=|F1F2|, 点 P 的轨迹是线段 F1F2; 当 a>0 且 a≠3 时,|PF1|+|PF2|>6=|F1F2|, 点 P 的轨迹是椭圆.

7.“1<m<3”是“方程m-x2 1+3-y2 m=1 表示椭圆”的(

)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

答案 B

解析

x2

y2

当方程m-1+3-m=1

?? m-1>0, 表示椭圆时,必有?3-m>0,
??m-1≠3-m,

所以 1<m<3 且 m≠2;但

当 1<m<3 时,该方程不一定表示椭圆,例如当 m=2 时,方程变为 x2+y2=1,它表示一个圆. 8.已知椭圆x42+y2=1 的左、右焦点分别为 F1,F2,点 M 在该椭圆上,且—MF→1 ·—MF→2 =0,则 点 M 到 x 轴的距离为( )

A.2 3 3B.2 3 6C. 33D. 3

考点 椭圆的定义

题点 焦点三角形中的问题

答案 C

解析 ∵—MF→1 ·—MF→2 =0,∴—MF→1 ⊥—MF→2 , 由|MF1|+|MF2|=4,①

又|MF1|2+|MF2|2=(2 3)2=12,② 可得,|MF1|·|MF2|=2, 设 M 到 x 轴的距离为 h,

则|MF1|·|MF2|=|F1F2|h,

h= 2 = 23

33.

二、填空题

9.若椭圆的两个焦点为 F1(-3,0),F2(3,0),椭圆的弦 AB 过点 F1,且△ABF2 的周长等于 20, 该椭圆的标准方程为________________.

考点 椭圆的标准方程

题点 定义法求椭圆的标准方程 x2 y2
答案 25+16=1 解析 如图,∵△ABF2 的周长等于 20,
∴4a=20,即 a=5,又 c=3, ∴b2=a2-c2=52-32=16.
x2 y2 ∴椭圆的标准方程为25+16=1. 10.短轴长为 2 5,离心率 e=23的椭圆的两焦点为 F1,F2,过 F1 作直线交椭圆于 A,B 两点, 则△ABF2 的周长为________. 考点 题点 答案 12 解析 不妨设椭圆的标准方程为xa22+yb22=1(a>b>0). ∵短轴长为 2 5,离心率 e=23,∴b= 5,ca=23, 又 a2=b2+c2,∴a=3, ∴△ABF2 的周长=|AF2|+|AB|+|BF2|=4a=12. 11.已知 F1,F2 是椭圆 C:xa22+yb22=1(a>b>0)的两个焦点,P 为椭圆 C 上一点,且—PF→1 ⊥—PF→2 . 若△PF1F2 的面积为 9,则 b=________. 考点 椭圆的定义 题点 焦点三角形中的问题 答案 3 解析 由椭圆定义,得|PF1|+|PF2|=2a, ∴|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=4a2. 又∵—PF→1 ⊥—PF→2 , ∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2=4c2, 即 4c2+2|PF1|·|PF2|=4a2,

∴|PF1|·|PF2|=2b2, ∴ S PF1F2 =12·|PF1|·|PF2|=12×2b2=b2=9, 又∵b>0,∴b=3.
三、解答题 12.求过点(0,4)且与椭圆 9x2+4y2=36 有相同焦点的椭圆的方程. 考点 椭圆标准方程的求法 题点 待定系数法求椭圆的标准方程 解 由 9x2+4y2=36,得x42+y92=1, 则 c= 9-4= 5, 焦点在 y 轴上,设所求椭圆方程为ya22+xb22=1(a>b>0), 则 a=4,∴b2=a2-c2=11,
x2 y2 ∴所求椭圆方程为11+16=1. 13.一动圆与已知圆 O1:(x+3)2+y2=1 外切,与圆 O2:(x-3)2+y2=81 内切,试求动圆圆 心的轨迹方程. 考点 与椭圆有关的轨迹方程 题点 与椭圆定义有关的轨迹方程 解 两定圆的圆心和半径分别为 O1(-3,0),r1=1; O2(3,0),r2=9. 设动圆圆心为 M(x,y),半径为 R, 则由题设条件可得|MO1|=1+R,|MO2|=9-R, ∴|MO1|+|MO2|=10.而|O1O2|=6<10, 故由椭圆的定义知:M 在以 O1,O2 为焦点的椭圆上, 且 a=5,c=3,∴b2=a2-c2=25-9=16,
x2 y2 故动圆圆心的轨迹方程为25+16=1.

14.已知

P

x2 y2 为椭圆25+16=1

上的一点,M,N

分别为圆(x+3)2+y2=1

和圆(x-3)2+y2=4

上的点,则|PM|+|PN|的最小值为( )

A.5B.7C.13D.15

考点 椭圆定义及其标准方程的应用 题点 椭圆定义及其标准方程的综合应用 答案 B 解析 由题意知椭圆的两个焦点 F1,F2 分别是两圆的圆心,且|PF1|+|PF2|=10,从而|PM| +|PN|的最小值为|PF1|+|PF2|-1-2=7. 15.已知椭圆ya22+xb22=1(a>b>0)的焦点分别为 F1(0,-1),F2(0,1),且 3a2=4b2. (1)求椭圆的方程; (2)设点 P 在这个椭圆上,且|PF1|-|PF2|=1,求∠F1PF2 的余弦值. 考点 椭圆的定义 题点 焦点三角形中的问题 解 (1)由题意得椭圆焦点在 y 轴上,且 c=1. 又∵3a2=4b2, ∴a2-b2=14a2=c2=1, ∴a2=4,b2=3,
y2 x2 ∴椭圆的标准方程为 4 + 3 =1. (2)如图所示,|PF1|-|PF2|=1.
又由椭圆定义知,|PF1|+|PF2|=4, ∴|PF1|=52,|PF2|=32,|F1F2|=2, ∴cos∠F1PF2=???52???2+???532???23-22=35.
2×2×2



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