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2-4解答


习题 2-4解 1.(1)方程两边对求导,有 (答 ) +( ) -(3 ) =0
3 ′ 3 ′ ′

3 2+3 2 ′-3a( ′+ )=0 3x2 ?3a +(3 2 ? 3 ) ′=0
′ = 解 2? 出 由(1)式两边求导,得 ′ , 2 ? 3 ) ′′ + 6 + 6 (3 得 ? 2

(1)

,?

6

′=

0

从而得 ′′ = 2(
′ ?x?y ′) 2?




dy ??ay ?? x dx y 2 ?ax

2

d2 d 2 = 2( ?x?y ′) 2?

(2)方程两边对求导,有
′=

?
?

?



(2)

′ = 解 1+ 出 由(2)式两边求导,得 ′ ,



′′ =

?

′?

(



+



+

′′)

从而得
′′=? (2 1+
′+ ′2)

2.对方程两边求导,可得
′=
√2 √2 4

?

1 3 1 3

将( 4 ,

)代入可得
′=

?1 )

则 (y? 化简得

√2 4

) = ?1( ?

√2 4

x ??y ??22 a ??

0

法线方程斜率为 则
(y?
√2 4

1 ,

)=( ?

√2 4

)

则法线方程为y = x
dy dx 2

3.(1)

= ?3

?


22=(?

2 2 )* 3 ?3 ?

=

4 9

3

(2)

dy dx 2

=
2

* + **( )? *( )=t **( )
*

=

( *( ))*

=

1 **( )

4.

两边取对数可得 lny = ln( ?
1) 1 ( 1) 1)
1

?

2) 2

…( ?
2

) ) ln( ? )

= ln(

?

+( ?
2 ln(

2)

+ ? (? + ?+

= 1ln( 两边求导可得
*

+
2

?

2)

=

1

? 1

+

? 2

+?+

?


y????y(

n n an ai a1 a2 x ?a1 ??x ?a2 ???????x ?an ) ??(?? (x ?ai)ai )(?? ) x ?ai i?1 i?1

5.

将等式两边取自然对数,得

lny = 1[ln(x + 1)+ln(x+2)-ln(x+3)-ln(x+4)]
3

上式两边对 得
1 *=1 ( 3 1

x 求 导,

+ +1

? +2

1

? +3

1

1 +4

)

所以 6.(1

1 (x ?1)(x ??2) 1 1 1 1 y????3 3 (x ?3)(x ??4)(x ?1???x ??2 ??x ?3 ??x ??4 ).
) 将 等式两边取自然对数,得
4 3

lny = ln(2x + 3) + 1ln( ? 6) + 1 ln( + 1)

上式两边对 ′ 得 2

x 求 导,

=2

+3

+ 4(

1 ?6)

? 3(

1 +1)

所以,

2 1 1 y???[2x?3 ??4(x?6) ??3(x?1)]

(x2?? 4
3

3x)??

x?1
(2) 将等式两边取自然对数,得

lny = cosxlnsinx
上式两边对 得


x 求 导,
1

=?

+

所以,

y????(sin x)cosx(?sin x?lnsin x ?cos x?cot x)
7.(1) y'(t)=3asin
2

t cost
dy dx

(2)切线的斜率k=

=3?cos 3

3 sin 2 cos
sin

= ?tan


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