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导学案 3.1.1数系的扩充与复数的概念


3.1.1 数系的扩充与复数的概念 [学习目标] 1.了解数系的扩充过程. 2.理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件. 3.了解复数的代数表示法. [目标解读] 1.重点是利用复数的代数形式进行分类和复数相等的充要条件的应用. 2.难点是复数概念的理解及复数相等的条件. 【情景引入】 在数学领域中有一个飘荡了数百年的幽灵, 它的名字叫虚数. 笛卡儿第一次提出它的名 字时引来数学界的一片困惑,很多大数学家都不承认它.莱布尼茨说:“虚数是奇妙的人类 精神寄托,它好像是存在与不存在之间的一种两栖动物.”欧拉说:“对于这类数,我们只 能断言, 它们既不是什么都不是, 也不比什么都不是多些什么, 更不比什么都不是少些什么, 它们纯属虚幻.”如何认识虚数呢? 提示:从方程 x2+1=0 在实数中无解开始认识虚数. 【新知探究】 1.复数的有关概念 (1)复数与复数集 形如 a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中 i 叫做__________,____________所成的集合 C 叫做复数集. (2)复数的代数形式 复数通常用 z 表示 z=a+bi(a,b∈R),叫做复数的代数形式.其中__________分别叫 复数 z 的实部与虚部. 2.复数相等的充要条件 a+bi=c+di(a,b,c,d∈R)的充要条件是_____________. 3.复数的分类 (1)设 z=a+bi(a,b∈R),则当且仅当_______时,z 为实数.当_________时,z 为虚数, 当______________时,z 为纯虚数. (2)复数集内的包含关系

【例题讲解】 例 1 给出以下命题: ①复数由实数、虚数、纯虚数构成;②形如 a+bi 的数一定是虚数;③两个复数不能比 较大小;④若 a∈R,则(a+3)i 是纯虚数. 其中正确命题的个数是________. 【 思路启迪】 按照复数、实数、虚数、纯虚数等的概念进行分析与判断. 【解析】 ①复数由实数和虚数组成,虚数中包含着纯虚数,故①错;②形如 a+bi 的 数不一定是虚数,也可能是实数,故②错;③中两个复数可以比较大小,当两个复数都是实 数时就可以比较大小,故③错;④中当 a=-3 时,(a+3)i=0,不是纯虚数,故④错.因此 正确命题的个数为 0. 【答案】 0 m2-m-6 例 2 实数 m 取何值时,复数 z= +(m2-2m-15)i 是:(1)实数?(2)虚数?(3) m+3 纯虚数? m2-m-6 【思路启迪】 因为 m∈R,所以 ,m2-2m-15 都是实数.由复数 z=a+bi m+3 是实数、虚数、纯虚数的条件可以确定 m 的取值.
?m2-2m-15=0, ? 【解】 (1)当? 时, ?m+3≠0 ? ?m=5或m=-3, ? 有? ? ?m≠-3.

∴当 m=5 时,z 是实数.
2 ? ? ?m -2m-15≠0, ?m≠5且m≠-3, (2)当? 时,有? ?m+3≠0 ? ? ?m≠-3.

∴当 m≠5 且 m≠-3 时,z 是虚数. m -m-6=0, ? ? (3)当?m+3≠0, ? ?m2-2m-15≠0
2

m=-2或m=3, ? ? 时,有?m≠-3, ? ?m≠5且m≠-3.

∴当 m=-2 或 m=3 时,z 是纯虚数. 点评:解决这类复数的分类问题时,主要依据复数 z=a+bi(a,b∈R)是实数、虚数、纯虚 数的充要条件进行求解, 列出相应的等式或不等式组求出参数的值或范围, 但若已知的复数 z 不是 a+bi(a,b∈R)的形式,应先化为这种形式,得到复数的实部、虚部再进行求解. 例 3 求使等式(2x-1)+i=y-(3-y)i 成立的实数 x,y 的值.

【思路启迪】 根据复数相等的充要条件求解.
? ?2x-1=y, 【解】 由复数相等的充要条件得? ?1=-?3-y?, ?

?x=5, ? 解得? 2 ?y=4. ?
点评:复数相等的充要条件是化复为实的主要依据,利用实部与实部、虚部与虚部分别 相等列方程组求解实数 x、y 的值. 例 4 数”的( “复数 (a+ 1)+ (a2- 1)i(a∈R)是实数”是“复数 (a2- 1)+ (a+ 1)i(a∈R)是纯虚 ) B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

A.必要不充分条件 C.充要条件

【解】 若(a+1)+(a2-1)i(a∈R)是实数,则 a2-1=0,即 a=± 1,此时(a2-1)+(a+
2 ? ?a -1=0, ? 1)i 不一定是纯虚数;但(a -1)+(a+1)i(a∈R)是纯虚数,需 即 a=1,此时(a ?a+1≠0, ? 2

+1)+(a2-1)i 是实数.所以“复数(a+1)+(a2-1)i(a∈R)是实数”是“复数(a2-1)+(a+ 1)i(a∈R)是纯虚数”的必要不充分条件.选 A 【课堂小结】 1.复数不能比较大小 两个复数,如果不全是实数,只有相等与不等关系,而不能比较它们的大小.如果已知 条件中一个复数大于另一个复数或实数,则必有复数的虚部等于 0. 2.在两个复数相等的充要条件中,注意前提条件是 a,b,c,d∈R,即当 a,b,c,d ∈R 时,由 a+bi=c+di 可知 a=c,且 b=d,但忽略条件后,则不能成立.同时,在解复 数相等问题时, 一定要把复数的实部和虚部分离出来, 再利用复数相等的条件化复数问题为 实数问题. 【当堂检测】 1.下面三个命题: (1)0 比-i 大; (2)x+yi=1+i(x,y∈R)的充要条件为 x=y=1; (3)a+bi 为纯虚数的充要条件是 a=0,b≠0. 其中正确的命题个数是( A.0 B.1 C.2 D.3 解析:0 与-i 不能比较大小,故(1)错;当 a,b∈R 时(3)才正确,故(3)错;由复数相等 的充要条件知(2)正确. )

答案:B 2.复数 3+1 的虚部等于( A. 3 B.1 C.i D.0 )

解析:复数 3+1 为实数,虚部等于 0. 答案:D 3.满足 x+y+(x-y)i=2 的实数 x,y 的值为(
?x=2, ? A.? ? ?y=0 ?x=0, ? C.? ? ?y=2 ?x=1, ? B.? ? ?y=1 ?x=-1, ? D.? ? ?y=-1

)

?x+y=2, ?x=1, ? ? 解析:由? 得? 故选 B. ? ? ?x-y=0, ?y=1.

答案:B 4.以 3i- 2的虚部为实部,以-3+ 2i 的实部为虚部的复数是________. 解析:3i- 2的虚部为 3,-3+ 2i 的实部为-3, ∴所求复数为 3-3i. 答案:3-3i 5.若复数 z=m+(m2-1)i 是负实数,则实数 m 的值为________. 解析:依题意可知 m2-1=0 且 m<0, 因此 m=-1.



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