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永城高中2011-2012学年高二第二学期数学(理)期中考试卷


永城高中高二数学(理)期中试卷

2011永城高中 2011-2012 学年第二学期期中考试试卷 高二数学( 高二数学(理)
命题人: 命题人:高申
考试注意事项: 考试注意事项: 答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号、班别、 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号、班别、座位号填写 在答题卷上. 在答题卷上. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答, 2.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须填写在答题卡各题目指定区域内 相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案; 相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂 改液.不按以上要求作答的答案无效. 改液.不按以上要求作答的答案无效.

第1卷

选择题

小题, 在每小题给出的四个选项中 小题给出的四个选项中, 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分;在每小题给出的四个选项中,只 选择题( 有一项是符合题目要求的) 有一项是符合题目要求的)/ 1.在复平面内,复数 z = i ( 2 ? i ) 对应的点位于 ( ) .在复平面内, A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 . . . .第四象限. 2.下列函数中,在 (0,+∞) 上为增函数的是 .下列函数中, ( ) A. y = sin 2 x . B. y = xe x . C. y = x 3 ? x . D. y = ln(1 + x) ? x . 3. 把 9 个相同的小球放入其编号为 1,2,3 的三个盒子里,要求每个盒子放球的个数不小 , , 的三个盒子里, 于其编号数,则不同的放球方法共有( ) 于其编号数,则不同的放球方法共有 A.8 种 B.10 种 C.12 种 D.16 种 . . . . 4. ( x + 1) (ax ? 3) 的展开式中,x 项的系数为 , a = . 若 的展开式中, 项的系数为36, 则
6 2
7





A.3 .

B. ? 2 .

C.3或 ? 2 . 或

D.2或 ? 3 . 或

5.设随机变量 X 的分布列为 P ( X = k ) = .

k 5? ?1 , 3, 5 , 等于( , k = 1 2, 4,) 则 P ? < X < ? 等于( ( ) 2? 15 ?2 1 2 1 2 A. B. C. D. . . . . 5 5 15 15 把正方形的四个顶点、四边中点以及中心都用线段连接起来, 6.把正方形的四个顶点、四边中点以及中心都用线段连接起来,则以这 9 个点中的 3 点为 顶点的三角形的个数是( 顶点的三角形的个数是( ) B. C. A.54 B.84 C.81 D. 76 7.学校要从 10 名女生与 5 名男生中选出 6 名学生组成课外兴趣小组,如果按性别依比例 .学校要从 名男生中选出 名学生组成课外兴趣小组, 兴趣小组 分层随机抽样, 组成此课外兴趣小组的概率为( 兴趣小组的概率为 分层随机抽样,则组成此课外兴趣小组的概率为( ) C3 C3 C6 A4 A2 C4 C2 C. 10 6 5 D. 10 6 5 B. 15 . . A. 10 6 5 6 C15 A15 C15 C15
n

1? ? 3 8. 二项式 ? 3 x + ? 的展开式中各项系数的和为 P, . 设 的展开式中 , 所有二项式系数的和为 S, P+S=272, , 若 , x? ? 则 n 为( ) A.4 B.5 C.6 . D.8 . . .

9. 已知函数 f ( x ) 的导数 f ′ ( x ) = a ( x + 1)( x ? a ) ,若 f ( x ) 在 x = a 处取到极大值,则实 处取到极大值, 数 a 的取值范围是 A. . ( B. . )ks5u C. .

( ?∞, ?1)

( ?1, 0 )

( 0,1)

D. .

( 0, +∞ )

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永城高中高二数学(理)期中试卷

10. 10.已 知函数

y = xf ′( x) 的图象如图 1 所示(其中 f ′( x) 是函数 f ( x) 的导函数) 下面四个 所示( 的导函数) ,下面四个 ,
= f ( x) 图象大致为( 图象大致为(


图象中函数 图象中函数 y

高一( 名同学合影留念 留念, 11. 高一(7)班 12 名同学合影留念,站成前排 4 人后排 8 人,现摄影师要从后排 8 人中 人调整到前排,若其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的总数是( 抽 2 人调整到前排,若其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的总数是( ) A. C8 A3
2 2

B. C8 A6

2

6

C. C8 A6

2

2

D. C8 A5
y

2

2

12. 按下述规则移动: 12.位于坐标原点的一个质点 P 按下述规则移动:质点每次移动一 个单位,移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率 个单位,移动的方向为向上或向右,并且向上、 向上

5 4 3 2 1

1 的概率为( ) 都是 .质点 P 移动 5 次后位于点 A (2,3) 的概率为( 2 1 5 2 1 5 3 1 3 2 3 1 5 A. ( ) B. C5 ( ) C. C5 ( ) D. C5 C5 ( ) 2 2 2 2

A

第Ⅱ卷 非选择题
小题, 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)学科 填空题( 的分布列如下: 13. 随机变量 ξ 的分布列如下:
O
1 2 3 4 5

x

ξ
P

-1

0

1

a

b

c

成等差数列。 = 其中 a, b, c 成等差数列。若 E (ξ)

1 的值是___ ___。 则 D (ξ) 的值是___。 3

个问题中,选手若能连续 14.某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的 5 个问题中,选手若能连续正确回答出两个问 4.某次知识竞赛规则如下: 某次知识竞赛规则如下 .. 题,即停止答题,晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是 0.8 ,且每个 即停止答题,晋级下一轮. 问题的回答结果相互独立, 问题的回答结果相互独立 , 则该选手恰好回答了 4 个问题就晋级下一轮的概率等 于 . a + a12 + L + a20 a1 + a2 + L + a30 15. = 类比在等比数列 . 已知等差数列 {a n } 中, 11 有 , 类比在等比数列 {bn } 中, 10 30 有

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永城高中高二数学(理)期中试卷

16.如图, 个格子涂色,每个格子涂一种颜色, 16.如图,用 6 种不同的颜色给图中的 4 个格子涂色,每个格子涂一种颜色,要 用数字作答) 求相邻的两个格子颜色不同, 种(用数字作答) . 求相邻的两个格子颜色不同,则不同的涂色方法共有 解答题(本大题共 小题, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) : 17.(本小题满分 10 分) ( 已知 m ∈ R, 且复数 z=(2+ i ) m ?
2

6m ? 2(1 ? i )在复平面内表示的点为 A. 1? i

取什么值时, 是纯虚数; (1)当实数 m 取什么值时,复数 z 是纯虚数; 位于第二象限时 的取值范围。 (2)当点 A 位于第二象限时,求实数 m 的取值范围。

18. 本小题满分 12 分) . ( 1 的展开式中, 在二项式 ( + 2 x) n 的展开式中, 2 项的二项式系数成等差数列, 二项展开式中二项式系数 (Ⅰ)若第 5 项,第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数列,求二项展开式中二项式系数 最大的项. 最大的项. 79, 二项展开式中系数最大的项 展开式中系数最大的项. (Ⅱ)若前三项的二项式系数和等于 79,求二项展开式中系数最大的项.

19. 19. (本小题满分 12 分) 已知函数 已知函数 f ( x) = ?

? a2 + 1 ? 2 ? ln(1 + x ) + ax . ? 2 ?

(1)当 a = 2 时,求函数 f ( x ) 的极值 ) 讨论函数 的单调性。 (2)当 a < 0 时,讨论函数 f ( x ) 的单调性。 )

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20. 20. (本小题满分 12 分) 条网线并联, 如图, 现 如图, A, B 两点之间有 6 条网线并联,它们能通过的最大信息量分别为 1,1, 2, 2, 3, 4 .现 从中任取三条网线且使每条网线通过最大的信息量. 从中任取三条网线且使每条网线通过最大的信息量 (I)设选取的三条网线由 A 到 B 可通过的信息总量为 x ,当 x ≥ 6 时,才能保证信息畅 ) 求线路信息畅通的概率 通.求线路信息畅通的概率; 求线路信息畅通的概率; 的数学期望和方差. (II)求选取的三条网线可通过信息总量 ξ 的数学期望和方差 ) 和方差

21. 21.(本小题满分 12 分) 某学校设计了一个实验学科的考查方案: 道题, 某学校设计了一个实验学科的考查方案:考生从 6 道备选题中一次性抽取 3 道题,规定 道题便可通过, 道能正确完成, 至少正确完成其中 2 道题便可通过,已知 6 道备选题中考生甲有 4 道能正确完成,2 道不 能正确完成;考生乙正确完成每道题的概率都是 正确完成; 完成

的分布列及期望; 的分布列及期望; ⑴求甲正确完成的题数 ξ 的分布列及期望;求乙正确完成的题数η 的分布列及期望; 用统计知识分析比较两名考生这门学科的水平 考生这门学科的水平. ⑵请你用统计知识分析比较两名考生这门学科的水平.

2 且每题正确完成与否互不影响. ,且每题正确完成与否互不影响. 3

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 已知函数 f ( x ) = x ln x . (1)求函数 y = f ( x ) 的图象在 x = e 处的切线方程; 的图象 处的切线方程; (2)若 (2)若实数 a > 0 ,求函数 F ( x ) =

f ( x) 上的最大值. 在 [a,2a ] 上的最大值. a

成立. (3)证明:对一切 x ∈ (0, + ∞) ,都有 ln x > 1 ? 2 成立. 证明: e x ex

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2011永城高中 2011-2012 学年第二学期期中考试试卷 高二数学( 高二数学(理)参考答案
小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分;在每小题给出的四个选项中,只 选择题( 有一项是符合题目要求的) 有一项是符合题目要求的)/ ABBCA DDABC CB 填空题( 小题, 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)学 (13) 13)

5 9

(14) 0.128 14)

(15) 15)

10

b11b12 L b20 = 30 b1b2 L b30 (16) 750 )

解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 解答题(本大题共 小题, :

所以, ?

1 ? 1 ? < m < 1,即所求m的取值范围是? ? , ………………10 分 1? ………………10 2 ? 2 ?
∴n=7 或 n=14,---------------- 2 分 ,

4 6 5 18.解: Ⅰ) C n + C n = 2C n . (

当 n=7 时,展开式中二项式系数最大的项是 T4 和 T5 = 且 T4

35 1 3 1 = C7 ( ) 4 (2 x)3 = x3,T5 = C74 ( )3 (2 x) 4 = 70 x 4 ---------------- 4 分 2 2 2
1 2

当 n=14 时,展开式中二项式系数最大的项是 T8 =
7 且 T8 = C14 ( ) 7 (2 x) 7 = 3432x 7
0 1 2 (Ⅱ) C n + C n + C n = 79 ,

---------------- 6 分 ∴n=12 8分

项系数最大, 设 Tk+1 项系数最大,由于 ( + 2 x)12 = ( )12 (1 + 4 x)12
k k ?C12 4k ≥ C12?1 4k ?1, ∴9.4<k<10.4, , ? k k k +1 k +1 ?C12 4 ≥ C12 4 ,

1 2

1 2

∴k=10

---------------- 12 分

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永城高中高二数学(理)期中试卷

19.解: f ′ ( x ) = 解 (1)令 f ′ ( x ) = ) 单调递减, 单调递减,在 ? ?

(a

2

+ 1) x
2

1+ x

+a=

ax 2 + ( a 2 + 1) x + a

( 2 x + 1)( x + 2 ) ≥ 0 ,知 f
1+ x
2

(1 + x )
2

=

( ax + 1)( x + a ) ------------------2分 2
1 + x2
2分

,知

上单调递增,? ( x ) 在区间 ( ?∞, ?2 ) 上单调递增,? ?2, ?

?

1? ?上 2?

? 1 ? 单调递增。 , +∞ ? 单调递增。------------------4分 4 ? 2 ? 5 ? 1? 5 5 6 故有极大值 f ( ?2 ) = ln 5 ? 4 ,极小值 f ? ? ? = ln ? 1 。------------------6分 2 ? 2? 2 4 1? ? ? 1 ? 上单调递减, 单调递增, (2)当 ?1 < a < 0 时, ( ?∞, ? a ) 上单调递减, ? ? a, ? ? 单调递增, ? ? , +∞ ? 单调递减 ) a? ? ? a ?
------------------8分 8 单调递减------------------10分 10分 当 a = ?1 时, ( ?∞, +∞ ) 单调递减 10 当 a < ?1 时, ?∞, ? ?

? ?

1? ? 1 ? 上单调递减, 单调递增, 单调递减-----------------( ? 上单调递减, ? , ? a ? 单调递增, ? a, +∞ ) 单调递减 ? a? ? a ?

12分 12分 20.解(1)∵1+1+4=1+2+3=6, 解 ) , ∴P(x=6)= ( )
1 1 1 + C2 ? C2 1 = 3 C6 4

∵1+2+4=2+2+3=7, , ∴P(x=7)= ( )

5 1 = 20 4 3 ∴P(x=8)= ( ) 20 2 1 ∴P(x=9)= ( ) = 20 10
∴线路信息畅通的概率是

3 .----------------8 分 4 1 , 10 3 ----------------10分 10分 10 20

(2)线路可通过的信息量 ξ , ξ =4,5,6,7,8,9 ) , , , , , ∵1+1+2=4,P( ξ =4)= , ( )

) ∵1+1+3=1+2+2=5,P( ξ =5)= , ( ∴线路通过信息量的数学期望

E (ξ ) = 4 ×

1 3 1 1 3 1 13 + 5 × + 6 × + 7 × + 8 × + 9 × = ----------------12分 12分 12 10 20 4 4 20 10 2
1 2 C4C2 1 = , 3 5 C6

21、 21、解:⑴随机变量 ξ 的所有可能值为 1,2,3,且 P (ξ = 1) = , , ,

2 1 3 0 C4 C2 3 C4 C2 1 P (ξ = 2) = = , P (ξ = 3) = = ------------------3分 3 3 3 5 5 C6 C6

ξ

1

2
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3

永城高中高二数学(理)期中试卷

所以 ξ 的分布列为

P

1 5

3 5

1 5

所以 E (ξ ) = 1 ×

1 3 1 + 2 × + 3 × = 2 ------------------5分 5 5 5 5
k

所以 η 的分布列为

2 k 1 3? k , k = 0,1,2, ( , , , 3 3 2 0 1 3 1 2 1 1 2 2 0 1 , P (η = 1) = C3 ? ( ) ? ( ) = , 3) 所以 P (η = 0) = C3 ? ( ) ? ( ) = ) , 3 3 27 3 3 9 2 2 11 4 2 3 1 0 8 3 P (η = 2) = C32 ? ( ) ? ( ) = , P (η = 3) = C 3 ? ( ) ? ( ) = ------------------8分 8 3 3 9 3 3 27
随机变量η 的所有可能值为 0,1,2,3,且 P (η = k ) = C 3 ? ( ) ? ( ) , , , ,

η
P
所以 E (η ) = 0 ×









1 27

2 9

4 9

8 27

1 2 4 8 + 1× + 2 × + 3 × = 2 .------------------10分 10分 10 27 9 9 27

的期望相同, 的方差, ⑵由于随机变量 ξ 、 η 的期望相同,所以考虑随机变量 ξ 、 η 的方差,

1 3 1 2 D (ξ ) = (2 ? 1) 2 × + (2 ? 2) 2 × + (2 ? 3) 2 × = , 5 5 5 5 1 6 12 8 2 D (η ) = (2 ? 0) 2 × + (2 ? 1) 2 × + ( 2 ? 2) 2 × + (2 ? 3) 2 × = 27 27 27 27 3 2 1 2 或 D (η ) = np (1 ? p ) = 3 × × = ,∴ D (ξ ) < D (η ) 3 3 3
所以,从统计的角度可以判断考生甲这门学科的水平更好. 12分 所以,从统计的角度可以判断考生甲这门学科的水平更好.------------------12分 12 22.解: )Q f ( x ) 定义域为 (0,+∞ ) 解 (1) (

f ′( x) = ln x + 1
/ 又 Q k = f (e ) = 2

Q f (e) = e

∴ 函数 y = f (x) 的在 x = e 处的切线方程为: 处的切线方程为:
y = 2(x ? e ) + e ,即 2 x ? y ? e = 0
(2) F ( x ) = )
'

------------------4 分

1 1 (ln x + 1) 令 F ' ( x ) = 0 得 x = a e

( ) 单调递增. 当 x ∈ ( 1 , + ∞ ) , F ( x) > 0 , F ( x ) 单调递增. e
'

当 x ∈ 0, 1 , F ' ( x) < 0 , F ( x ) 单调递减, 单调递减, e

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永城高中高二数学(理)期中试卷

∴ F (x) 在 [a,2a ] 上的最大值 Fmax ( x ) = max{ F ( a ), F (2 a )}

Q F ( a ) ? F (2 a ) = ln a ? 2 ln 2 a = ln ∴当 0 < a ≤

1 4a

1 时, F ( a ) ? F (2 a ) ≥ 0, Fmax ( x ) = F ( a ) = ln a 4 1 当 a > 时, F ( a ) ? F (2a ) < 0 , Fmin ( x ) = F (2a ) = 2 ln 2a 4

-----------------8 分

(3)问题等价于证明 x ln x > x ? 2 ( x ∈ (0, + ∞ )) , 问题等价于证明 ex e 时取得. 小值是 ? 1 ,当且仅当 x = 1 时取得 e e

由(2)可知 f ( x) = x ln x( x ∈ (0, +∞ )) 的最 可知

设 m( x) = x ? 2 ( x ∈ (0, +∞)) ,则 m' ( x) = 1 ?x x ,易得 [ m( x)]max = m(1) = ? 1 , e ex e e 时取到, 成立. 当且仅当 x = 1 时取到,从而对一切 x ∈ (0, + ∞) ,都有 ln x > 1 ? 2 成立. ----12 分 e x ex

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