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《复变函数》试卷


( 密 封 线 内 不 答 题 ) ………………………………………密………………………………………………封………………………………………线…………………………………… ……………………………

3 诚信应考,考试作弊将带来严重后果!

华南理工大学期末考试
2009《复变函数-A》试卷

座位号

注意事项:1. 考前请将密封线内填写清楚; 2. 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上); 3.考试形式:闭卷; 4. 本试卷共 7 大题,满分 100 分, 考试时间 120 分钟。

题 号 得 分 评卷人

1

2

3

4

5

6

7

总分

1,填空题。(每题 5 分,合计 30 分) (1)已知 z 4 ? 1 ? i ,则 z 所有取值为

专业

_____________ ________

(2)设函数 f ( z ) 在单连通区域 D 内解析, C 是 D 内一条简单正向闭曲线, f ( z) ? 在 C 的外部,则积分 ? dz ? ( z ? ? )2009 C (3)在映射 w ? z 2 下,区域 w ? 1 , 0 ? arg w ? ? 的原像为

学院

(4)函数 w ? x2 ? ixy 在如下范围内可导:

(5)计算积分 ? ( z ? i)e? z dz ?
0

i

学号

(6)函数 f ( z) ? ez cos z 2 在 z0 ? 0 的泰勒展开式为

2

姓名

《复变函数-A 》试卷第 1 页 共 6 页

2,计算题,(每题 5 分,合计 25 分)。 (1)计算
L n (? 5 i 1 2和 ) i i 的值

(2)求解方程 ch z ? 1 (3)设 f ( z) ? my3 ? nx2 y ? i( x3 ? lxy 2 ) 在复平面上解析,求 l,m,n z (4)计算积分 ? dz ,其中 C : z ? 2 正向 z C (5)函数 f ( z ) ?
1 sin z z ?1 和 都有什么奇点?如果是极点,请指出它是 g ( z ) ? e z3

几阶极点。 3, (本题 10 分) 计算如下幂级数的收敛半径: ? n2 (1) ? n z n ; n ?1 e (2) ? e n z n 。
i n ?1 ?

?

4,(本题 10 分) 计算积分 ?

2?

0

5,(本题 10 分) 计算积分 ?
C

1 d?, 0 ? p ? 1 。 1 ? 2 p sin ? ? p 2 1 dz, C : z ? 2 ,为正向曲线。 2 5 ( z ? 1) ( z ? 1)( z ? 3)

6, (本题 10 分) 在指定区域展开成洛朗级数: (1) f ( z ) ? (2) f ( z ) ?
1 , 0 ? z ? 1 ? 1; 1 ? z ? 1 ? ?? z (1 ? z )2
ln(1 ? z ) , 0 ? z ?1 z2
??

7,(本题 5 分) 计算积分 ?

0

x2 dx 。 x4 ? 1

《复变函数-A 》试卷第 2 页 共 6 页

华南理工大学期末考试 2009《复变函数》试卷 A 答案
1,填空题。(每题 5 分,合计 30 分) (1)已知 z 4 ? 1 ? i ,则 z 所有取值为

z ? 2e
8

?

16

?

2 nk? 4

(n ? 0,1, 2,3)

(2)设函数 f ( z ) 在单连通区域 D 内解析, C 是 D 内一条简单正向闭曲线, f ( z) ? 在 C 的外部,则积分 ? 0 dz ? 2009 ( z ? ? ) C (3)在映射 w ? z 2 下,区域 w ? 1 , 0 ? arg w ? ? 的原像为 ? ? {z z ? 1, 0 ? arg z ? ? ?? ? arg z ? ? } 2 2 (4)函数 w ? x2 ? ixy 在如下范围内可导: (0, 0) (5)计算积分 ? ( z ? i)e? z dz ? 1 ? i ? ei
0 i

(6)函数 f ( z) ? ez cos z 2 在 z0 ? 0 的泰勒展开式为
1? z2 ? z 6 13 8 ? z ? ... 2 24

2

2,计算题,(每题 5 分,合计 25 分)。 (1)计算
L n (? 5 i 1 2和 ) i i 的值
12 5

Ln(5 ? 12i ) ? ln13 ? iArc tan

i ?e
i

iLni

?e

i[ln i ?i ( ? 2 k? )] 2

?

?e

? ( ? 2 k? ) 2

?

,n?Z

(2)求解方程 ch z ? 1

chz ? cos(iz ) ? 1 iz ? 2k? z ? ?2k? i
(3)设 f ( z) ? my3 ? nx2 y ? i( x3 ? lxy 2 ) 在复平面上解析,求 l,m,n
《复变函数-A 》试卷第 3 页 共 6 页

u ? my 2 ? nx 2 y, v ? x 3 ? lxy 2 ?u ?v ? 2nyx, ? 2lxy ?x ?y 2nyx ? 2lxy ? n ? l ?u ?v ? 2my ? nx 2 , ? ? ?3 x 2 ?y ?x 2my ? nx 2 ? ?3x 2 ? m ? 0, n ? ?3 ? m ? 0, n ? l ? ?3
(4)计算积分 ?
C

z dz ,其中 C : z ? 2 正向 z

C的参数方程:z=2ei? (0 ? z ? 2? ) 原式= ?
2? 0 2? 2? 2e-i? i? ie d? ? ? id? ? i? ? 2? i 0 0 2

1 sin z z (5)函数 f ( z ) ? 3 和 g ( z ) ? e ?1 都有什么奇点?如果是极点,请指出它是 z

几阶极点。

f ( z),0, 极点,且m=2 。 g(z),1, 本性奇点 。
3, (本题 10 分) 计算如下幂级数的收敛半径: ? n2 (1) ? n z n ; n ?1 e (2) ? e n z n 。
i n ?1 ?

?

() 1 lim R?e

n ??

n

n2 ? lim e ?1 n n 2 ? e ?1 n n ?? e
? ?

(2) lim n e
n ??

n

i

? lim e
n ??

n2

i

? lim cos
n ??

?
n
2

_ i sin

?
n2

?1

R ?1

4,(本题 10 分) 计算积分 ?

2?

0

1 d?, 0 ? p ? 1 。 1 ? 2 p sin ? ? p 2

《复变函数-A 》试卷第 4 页 共 6 页

设z ? ei? 则 sin ? ? 原式 ? pi,

z ?1

?

1 1 dz ( z ? ), d? ? 2i z iz 1 dz 2 2 pz ? ( p ? 1)iz ? p

1 1 为不解析点,且 ?1 pi pi 1 z? 1 pi
z ? pi z ? pi

Re s( f ( z ), pi) ? lim( z ? pi) f ( z ) ? lim 2? p p2 ? 1

??

pi p ?1
2

? 原式 ? 2? i Re s( f ( z ), pi) ?

5,(本题 10 分) 计算积分 ?
Re s( f ( z ), ?) ? 0
C

1 dz, C : z ? 2 ,为正向曲线。 ( z ? 1) ( z ? 1)( z ? 3)
2 5

原式 ? ?2? i[Re s( f ( z ),3) ? Re s( (z), f ?)] ?2? i ? 3 105 6, (本题 10 分) 在指定区域展开成洛朗级数:

(1) f ( z ) ? (2) f ( z ) ?

1 , 0 ? z ? 1 ? 1; 1 ? z ? 1 ? ?? z (1 ? z )2

ln(1 ? z ) , 0 ? z ?1 z2 (1)0 ? z ? 1时

f ( z) ?

1 1 1 1 ? n ? ? ? ? ? ? z ? ? (n ? 1) z n 2 z 1 ? z (1 ? z ) z 0 0
? 1 1 1 1 ? 1 n ? 1 n?2 ? ? ? ? ? ( ) n ?1 ? ? ( ) z z (1 ? 1 ) [ z (1 ? 1 )]2 z 0 z z 0 z z

z ? 1时 f ( z) ?

(2)原式 ?

? (?1)n
n ?1

?

zn n

z2

? ? (?1)n
n ?1
??

?

z n?2 n

7,(本题 5 分) 计算积分 ?

0

x2 dx 。 x4 ? 1

《复变函数-A 》试卷第 5 页 共 6 页

原式 ? ?

, 存在四个一阶极点 ? ?i 1 x2 取r ? 1,以O为圆心,r为半径做圆,考虑上半圆盘D,记边界为
0

??

dx

x2 ?

Lr ? [? r , r ], z ? e ,e 在半圆盘内,由留数定理得
4

?

i

3? i 4

?

r

dx x2 ?
?
i

-r

1 x2
3?

??
i

dz z2 ? 1 z2

Lr

? 2? i[Re s ( f ( z ), e ) ? Re s( f ( z ), e
4

?

i

3? i 4

)]

e4 ? e 4 2i ? ?? ?i 4e 4 dz 1 ?Lr 2 1 ? r 4 ? 1 ? r z ? 2 z dz lim ? ?0 z ?? Lr 2 1 z ? 2 z 且原函数为偶函数 ? 原式= ? 2i 4

《复变函数-A 》试卷第 6 页 共 6 页


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