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高二数学人教A必修5练习:1.2.1 解三角形的实际应用举例 Word版含解析

课时训练 3 解三角形的实际应用举例 一、测量中的距离问题 1.有一长为 10 m 的斜坡,倾斜角为 60°,在不改变坡高和坡顶的前提下,通过加长坡面的方法将它的 倾斜角改为 30°,则坡底要延长的长度(单位:m)是( A.5 答案:D B.5 3 C.10 3 ) D.10 解析:如图,在 Rt△ABC 中,AC=10,∠ACB=60°. ∴AB=5 3,BC=5, 在 Rt△ABD 中,∠ADB=30°,∴BD=15. ∴CD=BD-BC=10. 2.(2015 福建宁德五校联考,14)一艘船以 15 km/h 的速度向东航行,船在 A 处看到灯塔 B 在北偏东 60° 处;行驶 4 h 后,船到达 C 处,看到灯塔 B 在北偏东 15°处,这时船与灯塔的距离为 答案:30 2 解析:根据题意画出图形,如图所示,可得 B=75°-30°=45°, km. 在△ABC 中,根据正弦定理得,sin = sin∠,即 即此时船与灯塔的距离为 30 2km. 60 2 2 = 1 2 ,∴BC=30 2km, 3.(2015 福建厦门高二期末,15)如图,某观测站 C 在 A 城的南偏西 20°,一条笔直公路 AB,其中 B 在 A 城南偏东 40°,B 与 C 相距 31 千米.有一人从 B 出发沿公路向 A 城走去,走了 20 千米后到达 D 处,此 时 C,D 之间的距离为 21 千米,则 A,C 之间的距离是 千米. 答案:24 解析:由已知得 CD=21,BC=31,BD=20, 在△BCD 中,由余弦定理得 cos∠BDC= 设∠ADC=α,则 cosα= ,sinα= 1 7 4 3 . 7 21sin 212 +202 -312 1 =- . 2×21×20 7 在△ACD 中,由正弦定理,得 AC=sin60°=24. 二、测量中的高度与角度问题 4.如图,D,C,B 三点在地面同一直线上,DC=a,从 C,D 两点测得 A 点的仰角分别是 β,α(α<β),则 A 点距 离地面的高度 AB 等于( ) A. C. sinsin sin(-) B. sinsin cos(-) cossin cos(-) sincos sin(-) D. 答案:A 解析:在△ACD 中,∠DAC=β-α,DC=a,∠ADC=α,由正弦定理得 AC= sin , sin(-) ∴在 Rt△ACB 中,AB=ACsinβ= sinsin . sin(-) 5.运动会开幕式上举行升旗仪式,在坡度 15°的看台上,同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部 的仰角分别为 60°和 30°,第一排和最后一排的距离为 10 6 m(如图所示),则旗杆的高度为( A.10 m 答案:B 解析:如图所示,由题意知∠AEC=45°,∠ACE=180°-60°-15°=105°, B.30 m C.10 3 m D.10 6 m ) ∴∠EAC=180°-45°-105°=30°, 由正弦定理知 sin∠ = , sin∠ ∴AC= · sin∠ =20 sin∠ 3(m), ∴在 Rt△ABC 中,AB=AC· sin∠ACB=30(m). ∴旗杆的高度为 30m. 6.当甲船位于 A 处时获悉,在其正东方向相距 20 n mile 的 B 处有一艘渔船遇险等待营救,甲船立即前 往营救,同时把消息告知在甲船的南偏西 30°,相距 10 n mile C 处的乙船,乙船立即朝北偏东 θ 角的 方向沿直线前往 B 处救援,则 sin θ 的值等于( A. 21 7 ) D. 5 7 14 B. 2 2 C. 3 2 答案:D 解析:根据题目条件可作图如图: 在△ABC 中,AB=20,AC=10,∠CAB=120°,由余弦定理有 BC2=AB2+AC2-2AB· ACcos∠ CAB=202+102-2×20×10cos120°=700, ∴BC=10 7. 再由正弦定理得sin∠ = sin∠, ∴sin∠ACB= = 20×sin120° 10 7 · sin∠ 21 = 7 . 又 0°<∠ACB<90°, ∴cos∠ACB= 2 7 , 7 ∴sinθ=sin(30°+∠ACB) =sin30°cos∠ACB+cos30°sin∠ACB =2 × 7 + 2 × 7 = 14 . 7.某海岛周围 38 n mile 有暗礁,一轮船由西向东航行,初测此岛在北偏东 60°方向,航行 30 n mile 后 测得此岛在东北方向,若不改变航向,则此船 答案:无 解析:由题意在△ABC 中,AB=30nmile,∠BAC=30°, 触礁的危险(填“有”或“无”). 1 2 7 3 21 5 7 ∠ABC=135°,∴∠ACB=15°. 由正弦定理,得 BC=sin∠· sin∠BAC=sin15°· sin30°= 在 Rt△BDC 中,CD= 2 BC=15( 3+1)>38. 2 30 15 6- 2 4 =15( 6 + 2). ∴无触礁的危险. 8.如图,在一个特定时段内,以点 E 为中心的 7 海里以内海域被设为警戒水域.点 E 正北 55 海里处有 一个雷达观测站 A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A 北偏东 45°且与点 A 相距 40 2海 里的位置 B,经过 40 分钟又测得该船已行驶到点 A 北偏东 45°+θ 其中 sin = 26 ,0° < < 90° 且与点 A 相距 10 13海里的位置 C. (1)求该船的行驶速度(单位:海里/小时); (2)若该船不改变航行方向继续行驶,判断它是否会进入警戒水域,并说明理由. 解:(1)因为 AB=40 2,AC=10 13,∠BAC=θ,sinθ= 2 26 26 ,0°<θ<90°, 26 所以 cosθ= 1- 26


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