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2010-2011学年江苏省扬州中学高三(下)3月月考数学试卷


2010-2011 学年江苏省扬州中学高三(下)3 月月 考数学试卷
一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分,请将答案填写在答题卷相应的位置上) . 1. 分)若 (5 ,则 a+b 的值是_________.

2. 分)右图程序运行结果是_________. (5

3. 分) (5 (2008?南通模拟) 已知等差数列{an}中, n≠0, m>1 且 am﹣1﹣am +am+1=0, 2m﹣1=38, m=_________. a 若 S 则 4. 分)已知 (5 , ,则 tan(β﹣2α)等于_________.

2

5. 分) (5 (2012?梅州一模)在区间[﹣π,π]内随机取两个数分别记为 a,b,则使得函数 f(x)=x +2ax﹣b +π 有 零点的概率为_________. 6. 分)设直线 3x+4y﹣5=0 与圆 C1:x +y =4 交于 A,B 两点,若圆 C2 的圆心在线段 AB 上,且圆 C2 与圆 C1 (5 相切,切点在圆 C1 的劣弧 上,则圆 C2 的半径的最大值是_________.
2 2

2

2

2

7. 分) (5 (2009?闵行区一模) 用铁皮制作一个无盖的圆锥形容器, 已知该圆锥的高为 10cm, 体积为 制作该容器需要铁皮面积为_________cm (衔接部分忽略不计,
2

. 则

取 1.414,π 取 3.14,结果保留整数)

8. 分)已知数列{an}满足 a1=2, (5

(n∈N ) ,则 a1?a2?a3?a4…a2011=_________.

+

9. 分)y=x +ax+1 的一条切线方程为 y=2x+1,则 a=_________. (5 10. 分)如图,平面 α⊥平面 β,α∩β=直线 l,A,C 是 α 内不同的两点,B,D 是 β 内不同的两点,且 A,B, (5 C,D?直线 l,M,N 分别是线段 AB,CD 的中点.下列判断正确的是_________; ①.当|CD|=2|AB|时,M,N 两点不可能重合 ②.M,N 两点可能重合,但此时直线 AC 与 l 不可能相交 ③.当 AB 与 CD 相交,直线 AC 平行于 l 时,直线 BD 可以与 l 相交
1

3

④.当 AB,CD 是异面直线时,直线 MN 可能与 l 平行.

11. 分) (5 已知函数 f x) ﹣2|, f a) (b) 且 0≤a≤b, ( =|x 若 ( ≥f , 则满足条件的点 (a, 所围成区域的面积为_________. b) 12. 分)在等腰梯形 ABCD 中,AB∥CD,且 AB>CD.设以 A,B 为焦点且过点 D 的双曲线的离心率为 e1, (5 以 C,D 为焦点且过点 A 的椭圆的离心率为 e2,则 e1?e2=_________. 13. 分)设 x1,x2 是 a x +bx+1=0 的两实根;x3,x4 是 ax +bx+1=0 的两实根.若 x3<x1<x2<x4,则实数 a 的 (5 取值范围是_________. 14. 分) (5 (2010?舟山模拟)一个半径为 1 的小球在一个棱长为 则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是_________. 的正四面体容器内可向各个方向自由运动,
2 2 2

2

二、解答题: (本大题共 6 道题,共计 90 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) . 15. (14 分) (2009?闵行区一模)已知以角 B 为钝角的△ ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c, ,且 . (1)求角 B 的大小; (2)求 cosA+cosC 的取值范围.

16. (14 分) (2010?东城区一模) 如图 1 所示, 在边长为 12 的正方形 ADD1A1 中, B, 在线段 AD 上, AB=3, 点 C 且 BC=4,作 BB1∥AA1,分别交 A1D1,AD1 于点 B1,P,作 CC1∥AA1,分别交 A1D1,AD1 于点 C1,Q,将该正方 形沿 BB1,CC1 折叠,使得 DD1 与 AA1 重合,构成如图 2 所示的三棱柱 ABC﹣A1B1C1. (Ⅰ)求证:AB⊥平面 BCC1B1; (Ⅱ)求四棱锥 A﹣BCQP 的体积; (Ⅲ)求平面 PQA 与平面 BCA 所成锐二面角的余弦值.

2

17. (15 分)已知 a∈R,函数 f(x)=xln(﹣x)+(a﹣1)x. (Ⅰ)若 f(x)在 x=﹣e 处取得极值,求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)求函数 f(x)在区间[﹣e ,﹣e ]上的最大值 g(a) .
2
﹣1

18. (15 分)两县城 A 和 B 相距 20km,现计划在两县城外以 AB 为直径的半圆弧上选择一点 C 建造垃圾处理厂, 其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关,对城 A 和城 B 的总影响度为城 A 与城 B 的影响度之和,记 C 点 到城 A 的距离为 x km,建在 C 处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度为 y,统计调查表明:垃圾处理厂对城 A 的影响度与所选地点到城 A 的距离的平方成反比, 比例系数为 4; 对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距离的平方 成反比,比例系数为 k,当垃圾处理厂建在的中点时,对城 A 和城 B 的总影响度为 0.065. (1)将 y 表示成 x 的函数; (2)讨论(1)中函数的单调性,并判断弧上是否存在一点,使建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度 最小?若存在,求出该点到城 A 的距离;若不存在,说明理由.

3

19. (16 分) (2009?江西)如图,已知圆 G: (x﹣2) +y =r 是椭圆

2

2

2

的内接△ ABC 的内切圆,其中 A 为

椭圆的左顶点, (1)求圆 G 的半径 r; (2)过点 M(0,1)作圆 G 的两条切线交椭圆于 E,F 两点,证明:直线 EF 与圆 G 相切.

20. (16 分)已知数列 an 满足 an+1=|an﹣1|(n∈N*)(1)若 , ,求 an; (2)是否存在 a1,n0(a1∈R,n0∈N*) ,使当 n≥n0(n∈N*)时,an 恒为常数.若存在求 a1,n0,否则说明理 由; (3)若 a1=a∈(k,k+1)(k∈N*) , ,求 an 的前 3k 项的和 S3k(用 k,a 表示)

三、加试部分 21. (10 分)已知矩阵 M= ,其中 a∈R,若点 P(1,﹣2)在矩阵 M 的变换下得到点 P'(﹣4,0)

(1)求实数 a 的值; (2)求矩阵 M 的特征值及其对应的特征向量.

4

22. (10 分)过点 P(﹣3,0)且倾斜角为 30°的直线和曲线

(t 为参数)相交于 A,B 两点.求线段 AB

的长.

23. (10 分) (2006?湖北)如图,在底面边长为 1,侧棱长为 2 的正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,P 是侧棱 CC1 上 的一点,CP=m. (Ⅰ)试确定 m,使直线 AP 与平面 BDD1B1 所成角为 60°; (Ⅱ)在线段 A1C1 上是否存在一个定点 Q,使得对任意的 m,D1Q⊥AP,并证明你的结论.

24. (10 分) (2009?山东)在某校组织的一次篮球定点投篮训练中,规定每人最多投 3 次;在 A 处每投进一球得 3 分,在 B 处每投进一球得 2 分;如果前两次得分之和超过 3 分即停止投篮,否则投第三次,某同学在 A 处的命中 率 q1 为 0.25,在 B 处的命中率为 q2,该同学选择先在 A 处投一球,以后都在 B 处投,用 ξ 表示该同学投篮训练结 束后所得的总分,其分布列为: ξ 0 2 3 4 5 p 0.03 0.24 0.01 0.48 0.24 (1)求 q2 的值; (2)求随机变量 ξ 的数学期望 Eξ; (3)试比较该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分与选择上述方式投篮得分超过 3 分的概率的大小.

5

2010-2011 学年江苏省扬州中学高三(下)3 月月 考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分,请将答案填写在答题卷相应的位置上) . 1. 分)若 (5 ,则 a+b 的值是 2 .

考点: 专题: 分析:

复数代数形式的乘除运算;复数相等的充要条件. 计算题. 由已知中

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,根据复数除法的运算法则,我们结合复数相等的充要条件易构

造出一个关于 a,b 的方程组,解方程组求出 a,b 的值,进而即可得到答案. 解答: 解:∵ ∴a= ,b= ∴a+b=2 点评: 故答案为:2 本题考查的知识点是复数代数形式的乘除运算及复数相等的充要条件, 其中根据复数相等的充要条件 易构造出一个关于 a,b 的方程组,是解答本题的关键. = = = =a+bi

2. 分)右图程序运行结果是 34 . (5

考点: 专题: 分析: 解答:

设计程序框图解决实际问题;伪代码. 规律型. 由图,由于 a,b 的初值都是 1,故在第一次循环中,a=a+b=2,b=a+b=3,计数变量从 2 开始,以步 长为 1 的速度增大到 5,故程序中的循环体可以执行 4 次,于是可以逐步按规律计算出 a 的值. 解:由题设循环体要执行四次,图知 第一次循环结束后 a=a+b=2,b=a+b=3, 第二次循环结束后 a=a+b=5,b=a+b=8, 第三次循环结束后 a=a+b=13,b=a+b=21, 第四次循环结束后 a=a+b=34,b=a+b=55, 故答案为 34.
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6

点评:

本题考查循环结构,解决此题关键是理解其中的算法结构与循环体执行的次数,然后依次计算得出 结果.
2

3. 分) (5 (2008?南通模拟)已知等差数列{an}中,an≠0,若 m>1 且 am﹣1﹣am +am+1=0,S2m﹣1=38,则 m= 考点: 专题: 分析: 等差数列的性质. 计算题.

10



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根据等差数列的性质化简 am﹣1﹣am +am+1=0,得到 am 的方程,由 am≠0,求出方程的解得到 am 的值, 然后把所求的式子利用等差数列的前 n 项和公式及等差数列的性质化简后, 将求出的 am 代入即可求出 值. 解:由 am﹣1﹣am +am+1=2am﹣am =am(2﹣am)=0, 由 am≠0,得到 am=2, 所以 S2m﹣1= =(2m﹣1)am=4m﹣2=38,
2 2

2

解答:

点评:

则 m=10. 故答案为:10 此题考查学生灵活运用等差数列的性质化简求值,灵活运用等差数列的前 n 项和公式化简求值,是一 道基础题. , ,则 tan(β﹣2α)等于 .

4. 分)已知 (5

考点: 专题: 分析:

两角和与差的正切函数. 综合题. 把已知的等式左边的分母利用二倍角的余弦函数公式化简, 然后利用同角三角函数间的基本关系化简后 即可求出 tanα 的值,进而再利用二倍角的正切函数公式求出 tan2α 的值,第二个等式左边利用两角差 的正切函数公式化简后,把 tanα 的值代入即可求出 tanβ 的值,最后再利用两角差的正切函数公式把所 求式子化简后,把求出的 tanβ 和 tan2α 的值代入即可求出值.
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解答:

解:由

=

=

=1,得到 tanα= ,

所以 tan2α=

=

= ,

由 tan(α﹣β)=

=

=﹣ ,解得 tanβ= ,

则 tan(β﹣2α)=

=

= .

故答案为: 点评: 此题考查了同角三角函数间的基本关系,二倍角的正切函数公式,以及两角和与差的正切函数公式.熟 练掌握公式是解本题的关键.

7

5. 分) (5 (2012?梅州一模)在区间[﹣π,π]内随机取两个数分别记为 a,b,则使得函数 f(x)=x +2ax﹣b +π 有 零点的概率为 1﹣ .

2

2

2

考点: 专题: 分析:

几何概型;函数的零点. 计算题;数形结合. 本题考查的知识点是几何概型,我们要求出区间[﹣π,π]内随机取两个数分别记为 a,b,对应平面区
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解答:

域的面积,再求出满足条件使得函数 f(x)=x +2ax﹣b +π 有零点对应的平面区域的面积,然后代 入几何概型公式,即可求解. 2 2 2 2 2 2 解:若使函数有零点,必须△ =(2a) ﹣4(﹣b +π )≥0,即 a +b ≥π . 在坐标轴上将 a,b 的取值范围标出,有如图所示 当 a,b 满足函数有零点时,坐标位于正方形内圆外的部分. 于是概率为 1﹣ =1﹣ .

2

2

2

故答案为:1﹣

点评:

几何概型的概率估算公式中的“几何度量”,可以为线段长度、面积、体积等,而且这个“几何度量”只 与“大小”有关,而与形状和位置无关.解决的步骤均为:求出满足条件 A 的基本事件对应的“几何度 量”N(A) ,再求出总的基本事件对应的“几何度量”N,最后根据 P= 求解.

6. 分)设直线 3x+4y﹣5=0 与圆 C1:x +y =4 交于 A,B 两点,若圆 C2 的圆心在线段 AB 上,且圆 C2 与圆 C1 (5 相切,切点在圆 C1 的劣弧 考点: 专题: 分析: 上,则圆 C2 的半径的最大值是 1 .

2

2

圆与圆的位置关系及其判定. 综合题;压轴题;数形结合. 先根据圆 C1 的方程找出圆心坐标与半径 R 的值,找出圆 C2 的半径的最大时的情况:当圆 c2 的圆
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心 Q 为线段 AB 的中点时,圆 c2 与圆 C1 相切,切点在圆 C1 的劣弧

上,设切点为 P,此时圆 C2

解答:

的半径 r 的最大.求 r 的方法是,联立直线与圆的方程,消去 y 后得到关于 x 的一元二次方程,利 用韦达定理求出 Q 的横坐标,把 Q 的横坐标代入直线方程即可求出 Q 的纵坐标,得到 Q 的坐标, 利用两点间的距离公式求出两圆心的距离 OQ 等于 d,然后根据两圆内切时,两圆心之间的距离等 于两半径相减可得圆 C2 的半径最大值. 2 2 解:由圆 C1:x +y =4,可得圆心 O(0,0) ,半径 R=2 如图,当圆 c2 的圆心 Q 为线段 AB 的中点时,圆 c2 与圆 C1 相切,切点在圆 C1 的劣弧 点为 P,此时圆 C2 的半径 r 的最大. 联立直线与圆的方程得 ,消去 y 得到 25x ﹣30x﹣39=0,
2

上,设切

8

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 x1+x2= ,所以线段 AB 的中点 Q 的横坐标为 ,把 x= 代入直线 方程中解得 y= ,

所以 Q( , ) ,则两圆心之间的距离 OQ=d= 因为两圆内切,所以圆 c2 的最大半径 r=R﹣d=2﹣1=1 故答案为:1

=1,

点评:

此题考查学生掌握两圆内切时两半径所满足的条件, 灵活运用韦达定理及两点间的距离公式化简求 值,是一道中档题.

7. 分) (5 (2009?闵行区一模) 用铁皮制作一个无盖的圆锥形容器, 已知该圆锥的高为 10cm, 体积为 制作该容器需要铁皮面积为 考点: 专题: 分析: 解答: 444 cm (衔接部分忽略不计,
2

. 则

取 1.414,π 取 3.14,结果保留整数)

棱柱、棱锥、棱台的体积;棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积. 计算题. 先由体积公式求出圆锥的底面积,进而求出底面半径,然后求出周长,求出母线,由扇形的面积公式 求出其表面积.
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解:由题意 故母线长为 10

=

,解得 s=100π,令底面半径为 r,则 πr =100π,r=10

2

,底面圆周长是 20π ×20π=100 π≈444cm
2

故该容器需要铁皮面积为 ×10

点评:

故答案为:444. 本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积,正确求解本题的关键是掌握几何体的结构以及其体积公式,表面 积公式.

8. 分)已知数列{an}满足 a1=2, (5

(n∈N ) ,则 a1?a2?a3?a4…a2011= 3 .

+

考点: 专题: 分析: 解答:

数列递推式. 计算题. 由题意,求出数列的前几项,判断数列是周期数列,然后求解 a1?a2?a3?a4…a2011 的值.
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解:因为 a1=2

,可以依次计算出数列的前几项:

9

=﹣3,

=﹣ ,

= ,

=a1… 可以发现数列是以 4 为周期的数列. a1?a2?a3?a4=1;2011=4×502+3. 则 a1?a2?a3?a4…a2011=(a1?a2?a3?a4)
502

?a1?a2?a3=

=3.

点评:
3

故答案为:3. 本题是中档题,考查数列的递推关系式的应用,求出数列是周期数列是解题的关键,考查计算能力.

9. 分)y=x +ax+1 的一条切线方程为 y=2x+1,则 a= 2 . (5 考点: 专题: 分析: 解答: 导数的运算. 计算题. 直线与曲线相切,直线已知,即可得出切线斜率,也就得出曲线的导数的方程,设出切点坐标,切点在 曲线上,又得到一个方程,两个方程联立求解即可.
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解:设切点 P(x0,y0) 3 ∵直线 y=2x+1 是曲线 y=x +ax+1 的切线 ∴切线的斜率为 2 ∵y=x +ax+1 ∴y′ =(3x +a)
2 3

=3x0 +a=2①

2

∵点 P 在曲线上也在切线上, ∴x0 +ax0+1=2x0+1② 由①,②联立得 a=2 故答案为:2. 本题为直线与曲线相切的试题,此题比较好,运算过程中要细心才能算对,应熟练掌握方程联立的计算 问题等.
3

点评:

10. 分)如图,平面 α⊥平面 β,α∩β=直线 l,A,C 是 α 内不同的两点,B,D 是 β 内不同的两点,且 A,B, (5 C,D?直线 l,M,N 分别是线段 AB,CD 的中点.下列判断正确的是 ② ; ①.当|CD|=2|AB|时,M,N 两点不可能重合 ②.M,N 两点可能重合,但此时直线 AC 与 l 不可能相交 ③.当 AB 与 CD 相交,直线 AC 平行于 l 时,直线 BD 可以与 l 相交 ④.当 AB,CD 是异面直线时,直线 MN 可能与 l 平行.

10

考点: 专题: 分析: 解答:

点评:

平面的基本性质及推论;异面直线的判定. 空间位置关系与距离. 根据面面垂直的位置关系,结合直线和点的位置,由位置关系分别判断就可. 解:①当|CD|=2|AB|时,若 AC∥BD, 则 A,B,C,D 四点共面,此时 M,N 两点能重合.故①错误. ②若 M,N 两点重合,则 AC∥BD, 故 AC∥l,此时直线 AC 与直线 l 不可能相交,故②正确. ③若 AB 与 CD 相交,当直线 AC∥l 时,直线 BD 可以与 l 平行,故③错误. ④若 AB,CD 是异面直线, ∴根据异面直线的定义可知,MN 不可能与 l 平行,故④错误. 故答案为:②. 本题主要考查空间直线位置关系的判断,考查图形的观察能力与运用相关知识证明判断的能力.综合 性较强.
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11. 分)已知函数 f(x)=|x ﹣2|,若 f(a)≥f(b) (5 ,且 0≤a≤b,则满足条件的点(a,b)所围成区域的面积为 .

2

考点: 专题: 分析:

解答:

二元一次不等式(组)与平面区域. 计算题. 2 2 2 2 2 2 2 由 f(x)=|x ﹣2|,结合 f(a)≥f(b)得出(a ﹣2) ﹣(b ﹣2) ≥0,分解为(a +b ﹣4) (a﹣b) (a+b) ≥0,又根据且 0≤a≤b,在平面直角坐标系第一象限角平分线上方画出满足已知条件的约束条件,然后代 入面积公式求出可行域的面积. 2 2 2 2 2 2 2 解:∵由 f(x)=|x ﹣2|,结合 f(a)≥f(b)得出(a ﹣2) ﹣(b ﹣2) ≥0,分解为(a +b ﹣4) (a﹣b) (a+b)≥0,
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可得约束条件: 其对应的可行域为扇形,如下图示: 其大小为八分之一个圆. 故所求面积为: 故答案为: .

11

点评:

平面区域的面积问题是线性规划问题中一类重要题型,在解题时,关键是正确地画出平面区域,然后结 合有关面积公式求解.

12. 分)在等腰梯形 ABCD 中,AB∥CD,且 AB>CD.设以 A,B 为焦点且过点 D 的双曲线的离心率为 e1, (5 以 C,D 为焦点且过点 A 的椭圆的离心率为 e2,则 e1?e2= 1 . 考点: 专题: 分析: 解答: 双曲线的简单性质;椭圆的简单性质. 计算题. 设 AD=t,不妨设 AB=2t,令∠DAB=θ,由余弦定理可求得 BD,由题意并结合椭圆、双曲线的定义,
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求出 a 和 c 的值,求出 e1 和 e2 的值,即可得到 e1?e2 的值. 解:设 AD=t,不妨设 AB=2t,令∠DAB=θ,则由余弦定理可求得 BD= c=t, = = =t .在双曲线中,2a=DB﹣DA=t ,∴e1= . ﹣t,

在椭圆中,2a=BD+BC=t
2 2 2

+t,2c=DC,三角形 BCD 中,由余弦定理可得 t (5﹣4cosθ)=t +4c +2t?2c?cosθ, .
2 2 2

BD =BC +DC ﹣2BD?DC cos(π﹣θ) ,即 c=t(1﹣cosθ) 2= = ,e =

∴e1?e2=

?

=1,

点评:

故答案为:1. 本题考查椭圆的定义,以及简单性质的应用;双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,求出 a 和 c 的值, 是解题的关键.
2 2 2

13. 分)设 x1,x2 是 a x +bx+1=0 的两实根;x3,x4 是 ax +bx+1=0 的两实根.若 x3<x1<x2<x4,则实数 a 的 (5 取值范围是 a>1 . 考点: 专题: 分析: 一元二次方程的根的分布与系数的关系. 计算题;函数的性质及应用. 2 2 2 设f (x) x +bx+1=0, =a 方程 f (x) 为一二次函数其两实根为 x1, 2 1<x2) 又 x3, 4 是 ax +bx+1=0 =0 x (x , x
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12

的两实根,若 x3<x1<x2<x4 成立,即 x1,x2 在两其根之间,可由根的分布的相关知识将这一关系转化 为不等式,解出 a 的范围. 解答: 解:x1,x2 是方程 a x +bx+1=0 的根,∴a x1 +bx1+1=0 2 2 2 2 ∴bx1=﹣a x1 ﹣1,同理 bx2=﹣a x2 ﹣1 2 2 2 2 2 ∴f(x1)=ax1 +bx1+1=(a﹣a )x1 ,同理可得 f(x2)=(a﹣a )x2
2 2 2 2

要使 x3<x1<x2<x4,只需



,可得 a>1





,解集为 φ

点评:

故 a 的取值范围 a>1 故答案为:a>1. 本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系,解答的关键是对二次函数图象的特征的把握,是一道 关于二次函数的综合性很强的题目. 的正四面体容器内可向各个方向自由运动,

14. 分) (5 (2010?舟山模拟)一个半径为 1 的小球在一个棱长为 则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是 . 考点: 专题: 分析: 解答:

棱锥的结构特征. 计算题;压轴题. 小球与正四面体的一个面相切时的情况,易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形,正四面 体的棱长为 ,故小三角形的边长为 2 ,做出面积相减,得到结果. 解:考虑小球与正四面体的一个面相切时的情况, 易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形, 正四面体的棱长为 故小三角形的边长为 2 小球与一个面不能接触到的部分的面积为
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=18



点评:

∴几何体中的四个面小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是 4×18 =72 故答案为:72 本题考查棱柱的结构特征,本题解题的关键是看出小球的运动轨迹是什么,看出是一个正三角形,这样 题目做起来就方向明确.

二、解答题: (本大题共 6 道题,共计 90 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) . 15. (14 分) (2009?闵行区一模)已知以角 B 为钝角的△ ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c, ,且 . (1)求角 B 的大小; (2)求 cosA+cosC 的取值范围.

考点: 专题: 分析:

三角函数的恒等变换及化简求值;数量积判断两个平面向量的垂直关系;余弦函数的定义域和值域. 计算题. (1)利用 ,结合正弦定理,求出 ,B 为钝角,所以角 = . ,由(1)知

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(2)利用和差化积化简 cosA+cosC=

13

,确定 cosA+cosC 的取值范围即可. 解答: 解: (1)∵ .∴ ,得 (2 分)

由正弦定理,得 a=2RsinA,b=2RsinB,代入得: 分) (3 sinA﹣2sinBsinA=0,sinA≠0, ∴ , 分) (5 . 分) (7 = = , (12 分) ) (10 分)

B 为钝角,所以角

(2) (理科)∵cosA+cosC= (或:cosA+cosC= 由(1)知 ∴ 故 cosA+cosC 的取值范围是 点评:

本题是基础题,考查三角函数的化简与求值,余弦定理的应用,平面向量的数量积的应用,考查计算能 力,常考题型.

16. (14 分) (2010?东城区一模) 如图 1 所示, 在边长为 12 的正方形 ADD1A1 中, B, 在线段 AD 上, AB=3, 点 C 且 BC=4,作 BB1∥AA1,分别交 A1D1,AD1 于点 B1,P,作 CC1∥AA1,分别交 A1D1,AD1 于点 C1,Q,将该正方 形沿 BB1,CC1 折叠,使得 DD1 与 AA1 重合,构成如图 2 所示的三棱柱 ABC﹣A1B1C1. (Ⅰ)求证:AB⊥平面 BCC1B1; (Ⅱ)求四棱锥 A﹣BCQP 的体积; (Ⅲ)求平面 PQA 与平面 BCA 所成锐二面角的余弦值.

考点: 专题: 分析:

与二面角有关的立体几何综合题;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定. 计算题;证明题. (Ⅰ)证明直线与平面垂直,关键要找到两条相交直线与之都垂直.在这个“折叠问题”中,要把握 好不变的长度关系、线线关系、线面关系,比如:AB=3,BC=4,AC=5,所以 AB⊥BC;四边形 ADD1A1 为正方形,AA1∥BB1,所以 AB⊥BB1. (Ⅱ)本题的两问是递进式的,第(1)问是为第(2)问作铺垫的.因为 AB⊥平面 BCC1B1,所以 AB 为四棱锥 A﹣BCQP 的高,并且四边形 BCQP 为直角梯形. (Ⅲ)由(Ⅰ)(Ⅱ)可知,AB,BC,BB1 两两互相垂直.以 B 为原点,分别以 BC、BB1、BA 、
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14

解答:

为 x、y、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 B﹣xyz,这种解法的好处就是: (1)解题过程中较 少用到空间几何中判定线线、 面面、 线面相对位置的有关定理, 因为这些可以用向量方法来解决. (2) 即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出,因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置 即可. (Ⅰ)证明:在正方形 ADD1A1 中,因为 CD=AD﹣AB﹣BC=5, 所以三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的底面三角形 ABC 的边 AC=5. 因为 AB=3,BC=4, 所以 AB +BC =AC ,所以 AB⊥BC. 分) (2 因为四边形 ADD1A1 为正方形,AA1∥BB1, 所以 AB⊥BB1,而 BC∩BB1=B, 所以 AB⊥平面 BCC1B1. 分) (5 (Ⅱ)解:因为 AB⊥平面 BCC1B1, 所以 AB 为四棱锥 A﹣BCQP 的高. 因为四边形 BCQP 为直角梯形,且 BP=AB=3,CQ=AB+BC=7, 所以梯形 BCQP 的面积为 所以四棱锥 A﹣BCQP 的体积 . . 分) (9
2 2 2

(Ⅲ)解:由(Ⅰ)(Ⅱ)可知,AB,BC,BB1 两两互相垂直.以 B 为原点,建立如图所示的空 、 间直角坐标系 B﹣xyz,

则 A(0,0,3) ,B(0,0,0) ,C(4,0,0) ,P(0,3,0) ,Q(4,7,0) , 所以 , ,

设平面 PQA 的一个法向量为 n1=(x,y,z) . 则 即

令 x=﹣1,则 y=z=1. 所以 n1=(﹣1,1,1)(12 分) . 显然平面 BCA 的一个法向量为 n2=(0,1,0) . 设平面 PQA 与平面 BCA 所成锐二面角为 θ. 则 .

所以平面 PQA 与平面 BCA 所成锐二面角的余弦值为 点评:

. (14 分)

本小题主要考查空间线面关系、二面角的度量、几何体的体积等知识,考查数形结合、化归与转化 的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力

17. (15 分)已知 a∈R,函数 f(x)=xln(﹣x)+(a﹣1)x. (Ⅰ)若 f(x)在 x=﹣e 处取得极值,求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)求函数 f(x)在区间[﹣e ,﹣e ]上的最大值 g(a) .
2
﹣1

15

考点: 专题: 分析:

利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性;函数在某点取得极值的条件. 综合题. (I)先对函数 y=f(x)进行求导,然后令导函数大于 0(或小于 0)求出 x 的范围,根据 f′(x)> 0 求得的区间是单调增区间,f′(x)<0 求得的区间是单调减区间,即可得到答案.
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解答:

(II)先研究 f(x)在区间[﹣e ,﹣e ]上的单调性,再利用导数求解 f(x)在区间[﹣e ,﹣e ]上 的最大值问题即可,故只要先求出函数的极值,比较极值和端点处的函数值的大小,最后确定出最大 值即得. 解: (Ⅰ)f'(x)=ln(﹣x)+a, 分) (2 由题意知 x=﹣e 时,f'(x)=0,即:f'(﹣e)=1+a=0, ∴a=﹣1(3 分) ∴f(x)=xln(﹣x)﹣2x,f'(x)=ln(﹣x)﹣1 令 f'(x)=ln(﹣x)﹣1=0,可得 x=﹣e 令 f'(x)=ln(﹣x)﹣1>0,可得 x<﹣e 令 f'(x)=ln(﹣x)﹣1<0,可得﹣e<x<0 ∴f(x)在(﹣∞,﹣e)上是增函数,在(﹣e,0)上是减函数, 分) (6 (Ⅱ)f'(x)=ln(﹣x)+a, ∵x∈[﹣e ,﹣e ], ﹣1 2 ∴﹣x∈[e ,e ], ∴ln(﹣x)∈[﹣1,2], 分) (7 ①若 a≥1,则 f'(x)=ln(﹣x)+a≥0 恒成立,此时 f(x)在[﹣e ,﹣e ]上是增函数, ﹣1 ﹣1 fmax(x)=f(﹣e )=(2﹣a)e (9 分) ﹣1 2 ②若 a≤﹣2,则 f'(x)=ln(﹣x)+a≤0 恒成立,此时 f(x)在[﹣e ,﹣e ]上是减函数, 2 2 fmax(x)=f(﹣e )=﹣(a+1)e (11 分) ﹣a ③若﹣2<a<1,则令 f'(x)=ln(﹣x)+a=0 可得 x=﹣e ∵f'(x)=ln(﹣x)+a 是减函数, ∴当 x<﹣e 时 f'(x)>0,当 x>﹣e 时 f'(x)<0 ﹣1 2 ∴f(x)在(﹣∞,﹣e)[﹣e ,﹣e ]上左增右减, ﹣a ﹣a ∴fmax(x)=f(﹣e )=e , (13 分)
﹣a ﹣a

2

﹣1

2

﹣1

2

﹣1

2

﹣1

综上:

(14 分)

点评:

本小题主要考查函数的导数,单调性,利用导数求闭区间上函数的最值等基础知识,考查综合利用数 学知识分析问题、解决问题的能力,中档题.

18. (15 分)两县城 A 和 B 相距 20km,现计划在两县城外以 AB 为直径的半圆弧上选择一点 C 建造垃圾处理厂, 其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关,对城 A 和城 B 的总影响度为城 A 与城 B 的影响度之和,记 C 点 到城 A 的距离为 x km,建在 C 处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度为 y,统计调查表明:垃圾处理厂对城 A 的影响度与所选地点到城 A 的距离的平方成反比, 比例系数为 4; 对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距离的平方 成反比,比例系数为 k,当垃圾处理厂建在的中点时,对城 A 和城 B 的总影响度为 0.065. (1)将 y 表示成 x 的函数; (2)讨论(1)中函数的单调性,并判断弧上是否存在一点,使建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度 最小?若存在,求出该点到城 A 的距离;若不存在,说明理由.

16

考点: 专题: 分析:

利用导数求闭区间上函数的最值;函数解析式的求解及常用方法. 计算题;应用题;压轴题;分类讨论.
2 2

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(1)先利用 AC⊥BC,求出 BC =400﹣x ,再利用圾处理厂对城 A 的影响度与所选地点到城 A 的距 离的平方成反比,比例系数为 4;对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距离的平方成反比,比例系数 为 k,得到 y 和 x 之间的函数关系,最后利用垃圾处理厂建在的中点时,对城 A 和城 B 的总影响度为 0.065 求出 k 即可求出结果. (11)先求出导函数以及导数为 0 的根,进而求出其单调区间,找到函数的最小值即可. 解(1)由题意知 AC⊥BC,BC =400﹣x , 其中当 所以 k=9 时,y=0.065,
2 2

解答:

所以 y 表示成 x 的函数为

(2)
4


2 2



令 y'=0 得 18x =8(400﹣x ) , 2 所以 x =160,即 , 当 当 所以当 时,18x <8(400﹣x ) ,即 y'<0 所以函数为单调减函数, 4 2 2 时,18x >8(400﹣x ) ,即 y'>0 所以函数为单调增函数. 时, 即当 C 点到城 A 的距离为 时, 函数 有最小
4 2 2

点评:

值. (注:该题可用基本不等式求最小值. ) 本题主要考查函数在实际生活中的应用问题.涉及到函数解析式的求法以及利用导数研究函数的最值 问题,属于中档题目,关键点在于把文字转化为数学符号.

19. (16 分) (2009?江西)如图,已知圆 G: (x﹣2) +y =r 是椭圆

2

2

2

的内接△ ABC 的内切圆,其中 A 为

椭圆的左顶点, (1)求圆 G 的半径 r; (2)过点 M(0,1)作圆 G 的两条切线交椭圆于 E,F 两点,证明:直线 EF 与圆 G 相切.

考点: 专题: 分析:

直线与圆锥曲线的综合问题. 计算题;综合题;压轴题.

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(1) 可取 BC⊥X 轴时来研究, 则可设 B (2+r, 0) 过圆心 G 作 GD⊥AB 于 D, 交长轴于 H 由 y , BC

17



,再由点 B(2+r,y0)在椭圆上,建立关于 r 的方程求解.

(2)设过点 M(0,1)与圆相切的直线方程为:y﹣1=kx,由圆心到直线的距离等于半径求 ,与椭圆方程联立,表示出 E,F 和坐标,从而得到 EF 所在的直线的 方程,再探讨圆心到直线的距离和半径的关系. 解答: 解: (1)设 B(2+r,y0) ,过圆心 G 作 GD⊥AB 于 D,BC 交长轴于 H 由 得 ,



(1)

而点 B(2+r,y0)在椭圆上, 由(1)(2)式得 15r +8r﹣12=0, 、 解得 或 (舍去) 相切的直线方程为:y﹣1=kx(3)
2

(2)

(2)设过点 M(0,1)与圆 则 ,即 32k +36k+5=0(4)
2

解得 将(3)代入 则异于零的解为 设 F(x1,k1x1+1) ,E(x2,k2x2+1) , 则 得(16k +1)x +32kx=0,
2 2

则直线 FE 的斜率为:

于是直线 FE 的方程为:



则圆心(2,0)到直线 FE 的距离

点评:

故结论成立. 本题主要是通过圆和椭圆来考查直线和圆,直线和椭圆的位置关系.
18

20. (16 分)已知数列 an 满足 an+1=|an﹣1|(n∈N )(1)若 ,
* *

*

,求 an;

(2)是否存在 a1,n0(a1∈R,n0∈N ) ,使当 n≥n0(n∈N )时,an 恒为常数.若存在求 a1,n0,否则说明理由; * (3)若 a1=a∈(k,k+1)(k∈N ) , ,求 an 的前 3k 项的和 S3k(用 k,a 表示) 考点: 专题: 分析: 数列递推式;数列的求和. 计算题;综合题;压轴题.

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(1)由数列 an 满足 an+1=|an﹣1|(n∈N ) ,

*

,我们分别求出 a2,a3,a4 的值,分析变化的周期

性规则,即可得到 an 的表达式; (2)我们分 an≥1 时,0<a1<1 时,a1=b≥1 时和 a1=c<0 时,几种情况,分别进行讨论,最后将讨论 结论综合,即可得到结论; * (3)当 a1=a∈(k,k+1) (k∈N )时,易知 a2=a﹣1,a3=a﹣2,…,ak=a﹣(k﹣1) ,利用拆项法,即 可得到答案. 解答: 解: (1) ∴ 时, ,

,其中 k∈N

*

(2)因为存在 所以当 an≥1 时,an+1≠an



①若 0<a1<1,则 a2=1﹣a1,a3=1﹣a2=a1,此时只需:a2=1﹣a1=a1,∴ 故存在 ②若 a1=b≥1,不妨设 b∈[m,m+1) ,m∈N ,易知 am+1=b﹣m∈[0,1) , ∴am+2=1﹣am+1=1﹣(b﹣m)=am+1=b﹣m ∴ ,∴ 时,
* *

③若 a1=c<0,不妨设 c∈(﹣l,﹣l+1) ,l∈N ,易知 a2=﹣c+1∈(l,l+1], ∴a3=a2﹣1=﹣c, l+2=﹣c﹣(l﹣1)∈(0,1] ,a ∴ ,∴ 时,n0=1;
*

,则 时,n0=m+1; 时,n0=m+2 其中 m∈N
*

故存在三组 a1 和 n0:

(3)当 a1=a∈(k,k+1) (k∈N )时, 易知 a2=a﹣1,a3=a﹣2, k=a﹣(k﹣1) ,a , ak+1=a﹣k∈(0,1)ak+2=1﹣ak+1=k+1﹣a, ak+3=1﹣ak+2=a﹣k,ak+4=1﹣ak+3=k+1﹣a, a3k﹣1=a﹣k,a3k=k+1﹣a ∴S3k=a1+a2++ak+ak+1+ak+2+ak+3+ak+4++a3k﹣1+a3k=a+ a﹣1) a﹣2) ( + ( ++a﹣ (k﹣1) +k 点评: 本题考查的知识点是数列递推公式及数列求和,其中正确理解数列的递推公式,并能准确的对 a 进行
19

分类讨论,是解答本题的关键. 三、加试部分 21. (10 分)已知矩阵 M= ,其中 a∈R,若点 P(1,﹣2)在矩阵 M 的变换下得到点 P'(﹣4,0)

(1)求实数 a 的值; (2)求矩阵 M 的特征值及其对应的特征向量. 考点: 专题: 分析: 几种特殊的矩阵变换. 计算题. (1)点 P(1,﹣2)在矩阵 M 的变换下得到点 P'(﹣4,0) ,利用二阶矩阵与平面列向量的乘法可求实 数 a 的值; (2)先求矩阵 M 的特征多项式 f(λ) ,令 f(λ)=0,从而可得矩阵 M 的特征值,进而可求特征向量.
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解答:

解: (1)由 (2)由(1)知 M=

=

,∴2﹣2a=﹣4?a=3. ,则矩阵 M 的特征多项式为

令 f(λ)=0,得矩阵 M 的特征值为﹣1 与 4. 当 λ=﹣1 时,

∴矩阵 M 的属于特征值﹣1 的一个特征向量为



当 λ=4 时,

∴矩阵 M 的属于特征值 4 的一个特征向量为 点评:



本题主要考查二阶矩阵与平面列向量的乘法,考查矩阵 M 的特征值及其对应的特征向量. 关键是写出 特征多项式,从而求得特征值.

22. (10 分)过点 P(﹣3,0)且倾斜角为 30°的直线和曲线

(t 为参数)相交于 A,B 两点.求线段 AB

的长. 考点: 专题: 分析: 解答: 解:直线的参数方程为 (s 为参数) ,曲线 可以化为 x ﹣y =4.
2 2

双曲线的参数方程. 计算题. 写出直线的参数方程,代入曲线方程得到关于 s 的一元二次方程,利用根与系数的关系,代入弦长公式 求得 AB 的长.
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20

将直线的参数方程代入上式,得 设 A、B 对应的参数分别为 s1,s2,∴ ∴AB=|s1﹣s2|= 点评: =2 .

. ,s1?s2=10.

本题考查直线的参数方程,一元二次方程根与系数的关系,弦长公式的应用,利用 AB=|s1﹣ s2|= ,是解题的关键,属于基础题.

23. (10 分) (2006?湖北)如图,在底面边长为 1,侧棱长为 2 的正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,P 是侧棱 CC1 上 的一点,CP=m. (Ⅰ)试确定 m,使直线 AP 与平面 BDD1B1 所成角为 60°; (Ⅱ)在线段 A1C1 上是否存在一个定点 Q,使得对任意的 m,D1Q⊥AP,并证明你的结论.

考点: 专题: 分析:

直线与平面所成的角;向量语言表述线线的垂直、平行关系. 计算题;证明题.

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(1)以 D 点为坐标原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1 为 z 轴建立空间坐标系,求出面 BDD1B1 的 一个法向量 ,以及 ,求出这两向量的夹角,最后求出此角的补角即可;

(2)假设在 A1C1 上存在这样的点 Q,设此点的横坐标为 x,对任意的 m 要使 D1Q 在平面 APD1 上的 射影垂直于 AP.等价于 解答: ,建立等量关系,求出 x 即可.

解: (1)建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(1,0,0) ,B(1,1,0) , P(0,1,m) ,C(0,1,0) , D(0,0,0) 1(1,1,2) 1(0,0,2) ,B ,D . 所以 . 又由 设 AP 与面 BDD1B1 所成的角为 θ, 则 = , 的一个法向量. ,

解得

.故当

时,

21

直线 AP 与平面 BDD1B1 所成角为 60°; 分) (5 (2)若在 A1C1 上存在这样的点 Q,设此点的横坐标为 x, 则 .

依题意,对任意的 m 要使 D1Q 在平面 APD1 上的射影垂直于 AP.等价于

即 Q 为 A1C1 的中点时,满足题设的要求. (10 分)

点评:

本题主要考查了直线与平面之间的位置关系,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,属于基 础题.

24. (10 分) (2009?山东)在某校组织的一次篮球定点投篮训练中,规定每人最多投 3 次;在 A 处每投进一球得 3 分,在 B 处每投进一球得 2 分;如果前两次得分之和超过 3 分即停止投篮,否则投第三次,某同学在 A 处的命中 率 q1 为 0.25,在 B 处的命中率为 q2,该同学选择先在 A 处投一球,以后都在 B 处投,用 ξ 表示该同学投篮训练结 束后所得的总分,其分布列为: ξ 0 2 3 4 5 p 0.03 0.24 0.01 0.48 0.24 (1)求 q2 的值; (2)求随机变量 ξ 的数学期望 Eξ; (3)试比较该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分与选择上述方式投篮得分超过 3 分的概率的大小. 考点: 专题: 分析: 古典概型及其概率计算公式;离散型随机变量的期望与方差. 压轴题. (1)记出事件,该同学在 A 处投中为事件 A,在 B 处投中为事件 B,则事件 A,B 相互独立,根据相 互独立事件同时发生的概率得到结果. (2)根据上面的做法,做出分布列中四个概率的值,写出分布列算出期望,过程计算起来有点麻烦, 不要在数字运算上出错. (3)要比较两个概率的大小,先要把两个概率计算出来,根据相互独立事件同时发生的概率公式,进 行比较. 解: (1)设该同学在 A 处投中为事件 A, 在 B 处投中为事件 B,则事件 A,B 相互独立,
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解答:

且 P(A)=0.25,P( )=0.75,P(B)=q2,P( )=1﹣q2. 2 根据分布列知:ξ=0 时 P( )=P( )P( )P( )=0.75(1﹣q2) =0.03, 所以 1﹣q2=0.2,q2=0.8;

22

(2)当 ξ=2 时,P1=P=( B + B)=P( B )+P( B) =P( )P(B)P( )+P( )P( )P(B) =0.75q2(1﹣q2)×2=1.5q2(1﹣q2)=0.24 2 当 ξ=3 时,P2=P(A )=P(A)P( )P( )=0.25(1﹣q2) =0.01, 2 当 ξ=4 时,P3=P( BB)P( )P(B)P(B)=0.75q2 =0.48, 当 ξ=5 时,P4=P(A B+AB)=P(A B)+P(AB) =P(A)P( )P(B)+P(A)P(B)=0.25q2(1﹣q2)+0.25q2=0.24 随机变量 ξ 的数学期望 Eξ=0×0.03+2×0.24+3×0.01+4×048+5×0.24=3.63; (3)该同学选择都在 B 处投篮得分超过(3 分)的概率为 P( BB+B B+BB) 2 2 =P( BB)+P(B B)+P(BB)=2(1﹣q2)q2 +q2 =0.896; 该同学选择(1)中方式投篮得分超过 3 分的概率为 0.48+0.24=0.72. 由此看来该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率大. 本小题主要考查古典概型及其概率计算,考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列和均值的概念, 通过设置密切贴近现实生活的情境,考查概率思想的应用意识和创新意识.体现数学的科学价值.

点评:

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