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广东省2012届高三全真模拟卷数学理19.


广东省 2012 届高三全真模拟卷数学理科 19
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.

z?2 1.已知 z 是纯虚数, 1 ? i 是实数(其中为虚数单位) ,则 z ?
A. 2 i B. C. ? i D. ?2 i

2.对命题 p : A ? ? ? ? ,命题 q : A ? ? ? A ,下列说法正确的是 A. p ? q 为真 B. p ? q 为假 C. ?p 为假 D. ?p 为真

3. 1 是根据某班学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图, 图 若 80 分以上为优秀,根据图形信息可知:这次考试的优秀率为 A. 25% B. 30% C. 35% D. 40%

4 . 若 直 线

ax ? 2by ? 2 ? 0(a ? 0, b ? 0) 始 终 平 分 圆

1 2 ? x ? y ? 4 x ? 2 y ? 8 ? 0 的周长,则 a b 的最小值为
2 2

A.

B. 3 ? 2 2

C. 5

D. 4 2

5.某器物的三视图如图 2 所示,根据图中数据可知该器物的表面积为 A. 4? B. 5? C. 8? D. 9?

6.在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线中心在原点,焦点在 y 轴上,一条 渐近线方程为 x ? 2 y ? 0 ,则它的离心率为

A. 5

5 B. 2

C. 3

D. 2

2 x 的不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? a ? 4a 有实数解,则实数 a 的取值范围为 7.若关于

A. (??,1) U (3, ??) 8.若

B. (1,3) C. (??, ?3) U ( ?1, ??) ,定义一种向量积:

D. (?3, ?1) ,

? ? a ? (a1 , a2 ), b ? (b1 , b2 )

? ? a ? b ? (a1b1 , a2b2 )

?? 1 ? ? m ? (2, ), n ? ( , 0) 2 3 已知 ,且点 P ( x, y ) 在函数 y ? sin x 的图象上运动,点 Q 在函数
???? ?? ??? ? ? y ? f ( x) 的图象上运动,且点 P 和点 Q 满足: OQ ? m ? OP ? n (其中 O 为坐标原点) ,
则函数 y ? f ( x) 的最大值 A 及最小正周期 T 分别为

A. 2, ?

B. 2, 4?

1 ,? C. 2

1 , 4? D. 2

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题)

1 (2 x ? ) n x 的展开式中,若第 5 项是常数项,则 n ? _______. 9.在二项式
(用数字作答)

?a ? 有 10. 已知等差数列 n 中,

a11 ? a12 ? ? ? a20 a1 ? a2 ? ? ? a30 ? 10 30 成立.

b 类似地,在等比数列 ? n ? 中有_____________________成立.
11.按如图 3 所示的程序框图运行程序后,输出的结果是 63 , 则判断框中的整数 H ? _________.

? x 2 x ? [0,1] ? f ( x) ? ? 1 e ? x x ? (1, e] ?0 f ( x)dx ? _____. ? 12.设 ,则
13.在 ?ABC 中, a、b、c 分别为内角 A、B、C 所对的边,且 A ? 30 . 现给出三个条件:①a ? 2 ; ②B ? 45? ;③c ?
?

3b .试从中选出两个

可以确定 ?ABC 的条件,并以此为依据求 ?ABC 的面积.(只需写出一个 选定方案即可)你选择的条件是 (用序号填写);由此得到的

?ABC 的面积为



(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题)

14. (几何证明选讲选做题)如图 4, PT 为圆 O 的切线,T 为切点, 面积为 2? ,则 PA ? .

?ATM ?

?
3 ,圆 O 的

15. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线 ? ? 3 截直线 的弦长为 . 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、 证明过程和演算步骤.

? ? cos(? ? ) ? 1
4
所得

16. (本小题满分 12 分)已知平面上三点 A(2,0) , B (0,2) , C (cos ? , sin ? ) .

??? ???? ? (OA ? OC ) 2 ? 7 (O 为坐标原点) (1)若 ,求向量 OB 与 OC 夹角的大小;
(2)若 AC ? BC ,求 sin 2? 的值. 17. (本小题满分 12 分)第 16 届亚运会将于 2010 年 11 月在广州市举行,射击队运动员

1 们正在积极备战. 若某运动员每次射击成绩为 10 环的概率为 3 . 求该运动员在 5 次射击中,
(1)恰有 3 次射击成绩为 10 环的概率; (2)至少有 3 次射击成绩为 10 环的概率; (3)记“射击成绩为 10 环的次数”为 ? ,求 E? .(结果用分数表示) 18. (本小题满分 14 分)如图 5,已知 AB ? 平面 ACD , DE ? 平面 ACD , △ ACD 为等边三角形, AD ? DE ? 2 AB , F 为 CD 的中点. (1)求证: AF // 平面 BCE ; (2)求证:平面 BCE ? 平面 CDE ; (3)求直线 BF 和平面 BCE 所成角的正弦值. 19. (本小题满分 14 分)过点 过

P0 (1, 0) P 1

Q 作曲线 C : y ? x ( x ? (0, ??)) 的切线,切点为 1 ,
3

Q1

作 x 轴的垂线交 x 轴于点

,又过

P 1

作曲线 C 的,切点为

Q2

,过

Q2

作 x 轴的垂线交

x 轴于点 P2 ,?,依次下去得到一系列点 Q1 , Q2 , Q3 ,?,设点 Qn 的横坐标为 an . (1)求
数列

?an ? 的通项公式;

(2)求和

?a
i ?1

n

i

i

n an ? 1 ? (n ? 2, n ? N ? ) 2 ; (3)求证: .
2 2 2

20. (本小题满分 14 分) 已知圆 M :( x ? m) ? ( y ? n) ? r 及定点 N (1, 0) , P 是圆 M 点 上的动点,点 Q 在 NP 上,点 G 在 MP 上,

???? ???? ??? ??? ? ? NP =2 NQ , GQ · = 0 . NP 且满足
(1)若 m ? ?1, n ? 0, r ? 4 ,求点 G 的轨迹 C 的方程; (2)若动圆 M 和(1)中所求轨迹 C 相交于不同两点 A, B ,是否存在一组正实数 m, n, r , 使得直线 MN 垂直平分线段 AB ,若存在,求出这组正实数;若不存在,说明理由.

f ( x) ?
21. (本小题满分 14 分)己知函数

1 ( x ? 1) ln( x ? 1) .

(1) 求函数 f ( x) 的定义域;(2) 求函数 f ( x) 的增区间; (3) 是否存在实数 m ,使不等式 2
1 x ?1

? ( x ? 1) m 在 ?1 ? x ? 0 时恒成立?若存在,求出实数

m 的取值范围;若不存在,请说明理由.
参考答案 选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共 8 小题,每小题 5 分, 满分 40 分. 题号 答案 1.选 D.提示: 1 D 2 C 3 B 4 B 5 D 6 A 7 A 8 D

设z ? bi (b ? 0) .

2.选 C.提示:由已知 p 为真,q 为假. 3.选 B.提示: 0.025 ? 10 ? 0.005 ? 10 ? 0.3 . 4.选 B.提示:

直线过圆心(2,, 所以a ? b ? 1, . 1 )

1 2 1 2 b 2a ? ? ? (a ? b)( ? ) ? 3 ? ? ? 3? 2 2 a b a b a b
5.选 D.提示:圆锥上面有一球,半径为 1,

1 ? S ? 4? 12 ? ? 12 ? 2? ? 4 ? 9? 2 .
?
6.选 A.提示: 7.选 A.提示:

b ? 2, a 2 ? b 2 ? c 2 ,? 5a 2 ? c 2 ,? e 2 ? 5, e ? 5 a .
.

? 3 ? x ? 1 ? x ? 2 ? a 2 ? 4a,? a 2 ? 4a ? 3 ? 0

OQ ? (2 x ?
8.选 D.提示:

? 1

, sin x), 3 2

? f (2 x ?

?

1 1 1 ? ) ? sin x,? f ( x) ? sin( x ? ) 3 2 2 2 6

二.填空题:本大题查基本知识和基本运算,体现选择性.共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 9. 8 ;
10

10.

b11b12 ? b20 ? 30 b1b2 ?b30



11. 5 ;

4 12. 3 ;
14. 3 2 ;

13.①②, 3 ? 1 (或①③, 3 ) ; 15. 4 2 .

1 4 4 T5 ? C n (2 x) 4 (? ) n ?4 ? C n 2 4 (?1) n ?4 x 8?n ,? 8 ? n ? 0, n ? 8 x 9.8.提示: .
10

10.

b11b12 ? b20 ? 30 b1b2 ?b30

.提示:算术平均数类比几何平均数.

? 11.5.提示: S ? 63时A ? 6, 不满足条件时输出S, H ? 5 .
1 e1 1 1 4 4 e 原式 ? ? x 2 dx ? ? dx ? x 3 |1 ? ln x |1 ? ? 1 ? 0 0 1 x 3 3 3. 12. 3 .提示:

13.①②, 3 ? 1 (或①③, 3 ).提示:由正弦定理求出 b,

S?
再根据

1 ab sin C 2 .

14. 3 2 .提示: 连接OT,PO ? 2 2 , PA ? PO ? OA ? 3 2 .

15. 4 2 .提示: 转化为直角坐标系求解 三.解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明.证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)

??? ???? ? OA ? OC ? ( 2 ? cos ? , sin ? ) , (OA ? OC ) 2 ? 7 , 解: (1)∵
∴ ( 2 ? cos ? ) ? sin ? ? 7 ,
2 2

??????? 2 分

cos ? ?


1 2.

??????? 4 分

又 B (0,2) , C (cos ? , sin ? ) ,设 OB 与 OC 的夹角为 ? ,则:

cos? ?

OB ? OC OB OC

?

2 sin ? 3 ? sin ? ? ? 2 2



? 5 ??? ???? ? ? ∴ OB 与 OC 的夹角为 6 或 6 .

????? 7 分

???? ? AC ? (cos ? ? 2,sin ? ) , BC ? (cos ? , sin ? ? 2) ,? 9 分 (2) ???? ??? ? ???? ??? ? AC ? BC , AC ? BC ? 0 , 由 ∴

cos ? ? sin ? ?
可得

1 2 ,①??????? 11 分 1 4,

(cos ? ? sin ? ) 2 ?


2 sin ? cos ? ? ?


3 3 sin 2? ? ? 4, 4 . ???????12 分

17. (本小题满分 12 分)

1 X ~ B(5, ) 3 .?2 分 解:设随机变量 X 为射击成绩为 10 环的次数,则
(1)在 5 次射击中,恰有 3 次射击成绩为 10 环的概率为:

?1? ? 1? P( x ? 3) ? C ? ? ? ? ?1 ? ? ?3? ? 3?
3 5

3

2

? 10 ?

1 4 40 ? ? 27 9 243 ???4 分

(2)在 5 次射击中,至少有 3 次射击成绩为 10 环的概率为:

P( X ? 3) ? P( X ? 3) ? P( X ? 4) ? P ( X ? 5)
3 2 4 3 5

????6 分
5 0

?1? ? 1? ?1? ? 1? ? 1? 5 ?1? ? C ? ? ? ? ?1 ? ? ? C54 ? ? ? ? ? 1 ? ? ? C5 ? ? ? ? ? 1 ? ? ?3? ? 3? ? 3? ? 3? ? 3? ? 3?
? 40 10 1 17 ? ? ? 243 243 243 81 .

????8 分

(3)方法一:随机变量 X 的分布列为:

X P

0

1

2

3

4

5

32 243

80 243

80 243

40 243

10 243

1 243

E( X ) ? 0 ?


32 32 32 32 32 32 5 ? 1? ? 2? ? 3? ? 4? ? 5? ? 243 243 243 243 243 243 3 ?12 分

1 5 X ~ B(5, ) E( X ) ? 3 ,所以 3 . ????12 分 方法二:因为
18. (本小题满分 14 分) 解法一:(1) 证:取 CE 的中点 G , 连结 FG、BG . ∵ F 为 CD 的中点,∴ GF // DE

GF ?


1 DE 2 .

∵ AB ? 平面 ACD ,

DE ? 平面 ACD ,
∴ AB // DE , ∴ GF // AB .

AB ?


1 DE 2 ,

∴ GF ? AB . ∴四边形 GFAB 为平行四边形, 则 AF // BG . ∵ AF ? 平面 BCE , BG ? 平面 BCE , ∴ AF // 平面 BCE . ???? 4 分

(2) 证:∵ ?ACD 为等边三角形, F 为 CD 的中点, ∴ AF ? CD ∵ DE ? 平面 ACD , AF ? 平面 ACD , ∴ DE ? AF . 又 CD ? DE ? D , 故 AF ? 平面 CDE . ∵ BG // AF , ∴ BG ? 平面 CDE . ∵ BG ? 平面 BCE , ∴平面 BCE ? 平面 CDE . ????8 分]

(3) 解:在平面 CDE 内,过 F 作 FH ? CE 于 H ,连 BH . ∵平面 BCE ? 平面 CDE , ∴ FH ? 平面 BCE . ∴ ?FBH 为 BF 和平面 BCE 所成的角. ????10 分

设 AD ? DE ? 2 AB ? 2a ,

FH ? CF sin 45? ?


2 a 2 ,

BF ? AB 2 ? AF 2 ? a 2 ? ( 3a ) 2 ? 2a ,
sin ?FBH ? FH 2 ? BF 4 .????13 分

在 R t△ FHB 中,

2 ∴直线 BF 和平面 BCE 所成角的正弦值为 4 ???14 分
解法二:设 AD ? DE ? 2 AB ? 2a , 建立如图所示的坐标系 A ? xyz , 则 A(a, 0, 0) B (0, 0, a ) C (2a, 0, 0)

D(a, 3a, 0) E (a, 3a, 2a )

?3 ? 3 F ? a, a, 0 ? ?2 ? 2 ?. ∵ F 为 CD 的中点,∴ ? ??? ? 3 ? ? ??? ? ? ??? 3 AF ? ? a, a, 0 ? , BE ? a, 3a, a , BC ? ? 2a, 0, ?a ? ?2 ? 2 ? ? (1) 证: ,

?

?

??? 1 ??? ??? ? ? ? AF ? BE ? BC 2 ∵ , AF ? 平面 BCE ,

?

?

∴ AF // 平面 BCE .

????4 分

??? ? 3 ? ? ??? ? ? ??? 3 AF ? ? a, a, 0 ? , CD ? ?a, 3a, 0 , ED ? ? 0, 0, ?2a ? ?2 ? 2 ? ? (2) 证:∵ , ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ∴ AF ? CD ? 0, AF ? ED ? 0 ,

?

?

??? ??? ??? ??? ? ? ? ? AF ? CD, AF ? ED . ∴

??? ? AF ? 平面 CDE ,又 AF // 平面 BCE , ∴

∴平面 BCE ? 平面 CDE .

????8 分

(3) 解:设平面 BCE 的法向量为

? n ? ? x, y , z ?



? ??? ? ? ??? ? n ? BE ? 0, n ? BC ? 0 可得: 由 x ? 3 y ? z ? 0, 2 x ? z ? 0 ,


? n ? 1, ? 3, 2

?

?.

????10 分

??? ? 3 ? ? 3 BF ? ? a, a, ? a ? ?2 ? 2 ? ?, 又
设 BF 和平面 BCE 所成的角为 ? ,

sin ? ?


| BF ? n | | BF | ? | n |

?

2a 2 ? 4 2a ? 2 2 . ????13 分

2 ∴直线 BF 和平面 BCE 所成角的正弦值为 4 .
19. (本小题满分 14 分)

???14 分

? 解: (1)∵ y ? x ,∴ y ? 3 x .
3 2

若切点是

3 Qn (an , an ) , 3 2 y ? an ? 3an ( x ? an ) .

则切线方程为

???????1 分

当 n ? 1 时,切线过点 即:

P0 (1, 0) ,

0 ? a13 ? 3a12 (1 ? a1 ) ,

依题意

a1 ? 0

.所以

a1 ?

3 2.


???????2 分

当 n ? 1 时,切线过点 即:

Pn ?1 (an ?1 , 0)


3 2 0 ? an ? 3an (an ?1 ? an )

依题意

an ? 0 ,所以

an ?

3 an ?1 (n ? 1) 2 . ??????3 分
n

?3? 3 3 an ? ? ? ?a ? ? 2 ? . ????4 分 所以数列 n 是首项为 2 ,公比为 2 的等比数列.所以

Sn ?
(2)记

1 2 n ?1 n ? ?? ? ? a1 a2 an ?1 an ,

1 2 1 ? ? an 3 an ?1 , 因为 2 1 2 n ?1 n Sn ? ? ? ? ? ? 3 a2 a3 an an ?1 . 所以
两式相减,

???????5 分

1 1 1 1 n Sn ? ? ? ? ? ? 3 a1 a2 an an ?1 得:

2 ?2? ?2? ?2? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? n ? ? 3 ?3? ?3? ?3?

2

n

n ?1

n 2? ?2? ? ?1 ? ? ? ? n ?1 3? ?3? ? ? ? ? n? 2 ? ? ? ? 2 ?3? 1? 3
n ?1 ? ? 2 ?n ? ?2? ? 2 ?1 ? ? ? ? ? n ? ? ?3? ? ?3? ? ? ? .

???????7 分



Sn ? ?
i ?1

n

i ai

n ?1 ? ? 2 ?n ? ?2? ? 6 ?1 ? ? ? ? ? 3n ? ? ?3? ? ?3? ? ? ?

?2? ? 6 ? 2(n ? 3) ? ? ?3? .

n

???????9 分

? 1? an ? ?1 ? ? ? 2? (3)证法 1:
2 0 n 1 n

n

1 2?1? n?1? ? C ? C ? ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? ? 2 ?2? ?2?
n 0 1?1? ? Cn ? Cn ? ? ? 1 ? (n ? 2) 2 ?2? .
???????14 分

n

证法 2:当 n ? 2 时,

9 5 2 ?3? a2 ? ? ? ? ? 1 ? ? 1 ? 4 4 2 .???????10 分 ?2?
假设 n ? k 时,结论成立,

2



ak ? 1 ?

k 2,

ak ?1 ?


3 3? k ? 1 3 k 1 k k ?1 ak ? ?1 ? ? ? 1 ? ? ? ? 1 ? ? ? 1 ? 2 2? 2? 2 2 2 2 2 2 .]

即 n ? k ? 1 时.

ak ?1 ? 1 ?

k ?1 2 . n 2

???????13 分

综上,

an ? 1 ?

对 n ? 2, n ? N 都成立. 20. (本小题满分 14 分)

?

???????14 分

??? ? ???? ? NP ? 2 NQ,? 解: (1)

∴点 Q 为 PN 的中点,

???? ??? ? ? GQ ? NP ? 0 , 又

? GQ ? PN 或 G 点与 Q 点重合.
∴ | PG |?| GN | . ????2 分

又 | GM | ? | GN |?| GM | ? | GP |?| PM |? 4. ∴点 G 的轨迹是以 M , N 为焦点的椭圆, 且 a ? 2, c ? 1 , ∴b ?

a 2 ? c 2 ? 3,? G

x2 y 2 ? ? 1. 3 ∴G 的轨迹方程是 4
(2)解:不存在这样一组正实数, 下面证明: 由题意,若存在这样的一组正实数,

????6 分

????7 分

当直线 MN 的斜率存在时,设之为 k ,

A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , AB 中点 D( x0 , y0 ) , 故直线 MN 的方程为: y ? k ( x ? 1) ,设
? x12 y12 ? ?1 ? ? 4 3 ? 2 2 ? x2 ? y2 ? 1 ? 3 则? 4 ,两式相减得:

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? ?0 4 3 .????9 分

y1 ? y2 1 ?? x ? x2 k, 注意到 1

x1 ? x2 ? ? x0 ? 2 ? ? 3 x0 1 ? y ? y1 ? y2 ? 0 ? ? 2 ,则 4 y0 k , 且
又点 D 在直线 MN 上,



? y0 ? k ( x0 ? 1) ,
代入②式得:

x0 ? 4 .

因为弦 AB 的中点 D 在⑴所给椭圆 C 内, 故

?2 ? x0 ? 2 ,这与 x0 ? 4 矛盾,
????13 分

所以所求这组正实数不存在. 当直线 MN 的斜率不存在时, 直线 MN 的方程为 x ? 1 , 则此时

y1 ? y2 , x1 ? x2 ? 2 , x1 ? x2 ? 0 ,
????14 分

代入①式得

这与 A, B 是不同两点矛盾.综上,所求的这组正实数不存在. 21. (本小题满分 14 分)

?x ?1 ? 0 , ? x ?1 ? 1 解:(1)根据函数解析式得 ?
解得 x ? ?1 且 x ? 0 .

x x ? R, x ? ?1且x ? 0? . ? 函数 f ( x) 的定义域是 ? ????3 分

? f ( x) ?
(2)

1 , ( x ? 1) ln( x ? 1)

? f ?( x) ? ?

ln( x ? 1) ? 1 ( x ? 1) 2 ln 2 ( x ? 1) ????????5 分

? 由 f ( x) ? 0 得 ln( x ? 1) ? 1 ? 0.
??1 ? x ? e ?1 ? 1.
?1 ? 函数 f ( x) 的增区间为 (?1, e ? 1) .

??????????8 分

(3)? e ? 1 ? x ? 0,

?1

? e ?1 ? x ? 1 ? 1. ??1 ? ln( x ? 1) ? 0. ? ln( x ? 1) ? 1 ? 0
?1 ? 当 e ? 1 ? x ? 0 时,

f ?( x) ? ?

ln( x ? 1) ? 1 ? 0. ( x ? 1) 2 ln 2 ( x ? 1)

? 在区间 ? ?1, 0 ? 上,
?1 当 x ? e ? 1 时, f ( x) 取得最大值.

?? f ( x) ?最大 ? f (e ?1 ? 1) ? ?e
1

.???????????10 分

? 2 x ?1 ? ( x ? 1) m 在 ?1 ? x ? 0 时恒成立.
? 1 ln 2 ? m ln( x ? 1) x ?1 在 ?1 ? x ? 0 时恒成立.

?m ?

ln 2 ( x ? 1) ln( x ? 1) 在 ?1 ? x ? 0 时恒成立.

?

ln 2 ( x ? 1) ln( x ? 1) 在 ?1 ? x ? 0 时的最大值等于 ?e ln 2 .
1

? m ? ?e ln 2.
m x ?1 ? 当 m ? ?e ln 2 时,不等式 2 ? ( x ? 1) 在 ?1 ? x ? 0

时恒成立.??? 14 分



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