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2016年高考数学文试题分类汇编:三角函数


2016 年高考数学文试题分类汇编 三角函数
一、选择题 1、 (2016 年山东高考)△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知 b = c, a2 = 2b2 (1- sin A) , 则 A= (A) 【答案】C 2、(2016 年上海高考)设 a ? R , b ? [0, 2 π] .若对任意实数 x 都有 sin(3 x 条件的有序实数对(a,b)的对数为( (A)1 【答案】B 3、(2016 年四川高考) 为了得到函数 y=sin ( x ? 点 (B)2 (C)3 ) (D)4
π )=sin( ax + b) ,则满足 3

3π π π π (B) (C) (D) 3 4 6 4

?
3

) 的图象,只需把函数 y=sinx 的图象上所有的

? 个单位长度 3 ? (C) 向上平行移动 个单位长度 3
(A)向左平行移动 【答案】A

(B) 向右平行移动

? 个单位长度 3 ? (D) 向下平行移动 个单位长度 3

4、(2016 年天津高考)已知函数 f ( x) ? sin

2

?x

1 1 ? sin ?x ? (? ? 0) , x ? R .若 f ( x) 在区间 2 2 2
) (C) ( 0, ]

(? ,2? ) 内没有零点,则 ? 的取值范围是(
(A) ( 0, ] 【答案】D

1 8

(B) (0, ] ? [ ,1)

1 4

5 8

5 8

(D) (0, ] ? [ , ]

1 8

1 5 4 8

5、(2016 年全国 I 卷高考)△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 a ? 5 , c ? 2 ,

cos A ?
(A)

2 ,则 b= 3

2 (B) 3 (C)2(D)3

【答案】D

π 1 6、(2016 年全国 I 卷高考)将函数 y=2sin (2x+ )的图像向右平移 个周期后,所得图像对应的函数 6 4 为 π π π π (A)y=2sin(2x+ ) (B)y=2sin(2x+ ) (C)y=2sin(2x– ) (D)y=2sin(2x– ) 4 3 4 3 【答案】D 7、(2016 年全国 II 卷高考)函数 y =A sin(? x ? ?) 的部分图像如图所示,则( )

? (A) y ? 2sin(2 x ? ) 6 ? (C) y ? 2sin(2 x+ ) 6

? (B) y ? 2sin(2 x ? ) 3 ? (D) y ? 2sin(2 x+ ) 3

【答案】A 8、(2016 年全国 II 卷高考)函数 f ( x) ? cos 2 x ? 6 cos( (A)4 【答案】B 9、(2016 年全国 III 卷高考)若 tan ? ? (B)5

π ? x) 的最大值为( 2



(C)6

(D)7

1 ,则 cos 2? ? ( 3



4 (A) 5 ?
【答案】D

1 (B) 5 ?

1 (C) 5

4 (D) 5

10、(2016 年全国 III 卷高考)在 △ABC 中, B = (A) 【答案】D 11、(2016 年浙江高考)函数 y=sinx2 的图象是(

π 1 ,BC 边上的高等于 BC ,则 sin A = 4 3
5 5

3 10

(B)

10 10

(C)

(D)

3 10 10



【答案】D 二、填空题 1、(2016 年北京高考)在△ ABC 中, ?A ? 【答案】1 2、(2016 年江苏省高考)在锐角三角形 ABC 中,若 sinA=2sinBsinC,则 tanAtanBtanC 的最小值是 ▲ .

b 2? ,a= 3 c,则 =_________. c 3

【答案】8. 3、(2016 年上海高考)若函数 f ( x) ? 4sin x ? a cos x 的最大值为 5,则常数 a ? ______. 【答案】 ? 3 4、(2016 年上海高考)方程 3sin x ? 1 ? cos 2 x 在区间 ?0,2? ? 上的解为___________ 【答案】

? 5? 或 6 6


5、(2016 年四川高考)sin 750 0 = 【答案】

1 2
π 3 π )= ,则 tan(θ– )= 4 5 4
.

6、(2016 年全国 I 卷高考)已知 θ 是第四象限角,且 sin(θ+ 【答案】 ?

4 3
4 5 cos C ? , , 5 13

7、 (2016 年全国 II 卷高考) △ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 若 cos A ? a=1,则 b=____________. 【答案】
[

21 13

8、(2016 年全国 III 卷高考)函数 y ? sin x ? 3 cos x 的图像可由函数 y ? 2sin x 的图像至少向 右平移_____________个单位长度 得到. 【答案】

? 3

2 9、(2016 年浙江高考)已知 2cos x ? sin 2 x ? A sin(? x ? ? ) ? b( A ? 0) ,则 A ? ______.

【答案】 2 ;1.

10、 (2016 年上海高考) 已知 ?ABC 的三边长分别为 3,5,7, 则该三角形的外接圆半径等于_________ 【答案】

7 3 3

三、解答题 1、(2016 年北京高考)已知函数 f(x)=2sin ωx cos ωx+ cos 2ωx(ω>0)的最小正周期为 π. (Ⅰ)求 ω 的值; (Ⅱ)求 f(x)的单调递增区间. 解:(I)因为 f ? x ? ? 2sin ? x cos ? x ? cos2? x

? sin 2? x ? cos 2? x

?? ? ? 2 sin ? 2? x ? ? , 4? ?
所以 f ? x ? 的最小正周期 ? ? 依题意,

? ? ? ,解得 ? ? 1 . ?

2? ? ? . 2? ?

(II)由(I)知 f ? x ? ?

?? ? 2 sin ? 2 x ? ? . 4? ?
? ?

函数 y ? sin x 的单调递增区间为 ? 2k? ? 由 2 k? ? 得 k? ?

?
2

, 2k? ?

??
2? ?

( k ? ? ).

?
2

? 2x ?

?
4

? 2 k? ?

?
2



3? ? ? x ? k? ? . 8 8

所以 f ? x ? 的单调递增区间为 ? k? ?

? ?

3? ?? , k? ? ? ( k ? ? ). 8 8?

2、(2016 年江苏省高考)在 △ABC 中,AC=6, cos B = (1)求 AB 的长; (2)求 cos( A π )的值. 6

4 π ,C = . 5 4

解(1)因为 cos B ? ,0 ? B ? ? , 所以 sin B ? 1 ? cos 2 B ? 1 ? ( ) 2 ? ,

4 5

4 5

3 5

由正弦定理知

AC AB AC ? sin C ,所以 AB ? ? ? sin B sin C sin B

6? 3 5

2 2 ? 5 2.

(2)在三角形 ABC 中 A ? B ? C ? ? ,所以 A ? ? ? ( B ? C ). 于是 cosA ? ? cos(B? C) ? ? cos( B ?

, 4 4 4 4 3 4 2 3 2 2 又 cos B ? ,sin B ? , ,故 cos A ? ? ? ? ? ?? 5 5 5 2 5 2 10 7 2 因为 0 ? A ? ? ,所以 sin A ? 1 ? cos 2 A ? 10 ? ? ? 2 3 7 2 1 7 2? 6 因此 cos( A ? ) ? cos A cos ? sin A sin ? ? ? ? ? ? . 6 6 6 10 2 10 2 20
3、(2016 年山东高考)设 f ( x) ? 2 3sin(π ? x)sin x ? (sin x ? cos x)2 . (I)求 f ( x ) 得单调递增区间; (II)把 y ? f ( x) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再把得到的图象向 左平移

?

) ? ? cos B cos

?

? sin B sin

?

π π 个单位,得到函数 y ? g ( x) 的图象,求 g ( ) 的值. 3 6
2

解析:( ? )由 f ? x ? ? 2 3 sin ?? ? x ? sin x ? ? sin x ? cos x ?

? 2 3 sin 2 x ? ?1 ? 2sin x cos x ? ? 3 ?1 ? cos 2 x ? ? sin 2 x ? 1
? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 3 ?1

?? ? ? 2sin ? 2 x ? ? ? 3 ? 1, 3? ?
由 2 k? ?

?
2

? 2x ?

?
3

? 2 k? ?

?
2

? k ? Z ? , 得 k? ?
?
12

?
12

? x ? k? ?

5? ?k ? Z ?, 12

所以, f ? x ? 的单调递增区间是 ? k? ? (或 ( k? ?

? ?

, k? ?

5? ? ?k ? Z ?, 12 ? ?

?
12

, k? ?

5? ) ?k ? Z ? ) 12

( ? )由( ? )知 f ? x ? ? 2sin ? 2 x ?

? ?

??

? ? 3 ? 1, 3?

把 y ? f ? x ? 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变), 得到 y ? ? 2sin ? x ?

? ?

??

? ? 3 ? 1 的图象, 3?

再把得到的图象向左平移

? 个单位,得到 y ? 2sin x ? 3 ?1 的图象, 3

即 g ? x ? ? 2sin x ? 3 ? 1. 所以

? ?? ? g ? ? ? 2sin ? 3 ? 1 ? 3. 6 ?6?
c o s A c o s B s in C ? ? 。 a b c

4、 (2016 年四川高考) 在△ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c, 且 (I)证明:sinAsinB=sinC; (II)若 b ? c ? a ?
2 2 2

6 bc ,求 tanB。 5

解析:(Ⅰ)根据正弦定理,可设 则 a=ksin A,b=ksin B,c=ksinC. 代入

a b c ? ? ? k (k ? 0) sin A sin B sin C

cos A cos B sin C ? ? 中,有 a b c

cos A cos B sin C ? ? ,可变形得 k sin A k sin B k sin A
sin A sin B=sin Acos B=sin (A+B). 在△ABC 中,由 A+B+C=π,有 sin (A+B)=sin (π–C)=sin C, 所以 sin A sin B=sin C. (Ⅱ)由已知,b2+c2–a2=

6 bc,根据余弦定理,有 5

cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 3 ? . 2bc 5

所以 sin A= 1 ? cos 2 A ?

4 . 5

由(Ⅰ),sin Asin B=sin Acos B +cos Asin B, 所以

4 4 3 sin B= cos B+ sin B, 5 5 5

故 tan B=

sin B =4. cos B

5、 (2016 年天津高考) 在 ?ABC 中, 内角 A, B, C 所对应的边分别为 a,b,c, 已知 a sin 2B ? 3b sin A . (Ⅰ)求 B;

1 ,求 sinC 的值. 3 a b ? 解析: (Ⅰ) 解: 在 ?ABC 中, 由 , 可得 a sin B ? b sin A , 又由 a sin 2B ? 3b sin A sin A sin B
(Ⅱ)若 cos A ? 得 2a sin B cos B ? 3b sin A ? 3a sin B ,所以 cos B ?

? 3 ,得 B ? ; 6 2

(Ⅱ)解:由 cos A ?

1 2 2 得 sin A ? ,则 sin C ? sin[? ? ( A ? B)] ? sin( A ? B) ,所以 3 3

sin C ? sin( A ?

?
6

)?

3 1 2 6 ?1 sin A ? cos A ? 2 2 6

6、(2016 年浙江高考)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 b+c=2acos B. (Ⅰ)证明:A=2B; (Ⅱ)若 cos B=

2 ,求 cos C 的值. 3

解析:(1)由正弦定理得 sin B ? sin C ? 2sin A cos B , 故 2sin A cos B ? sin B ? sin( A ? B) ? sin B ? sin A cos B ? cos A sin B , 于是, sin B ? sin( A ? B) , 又 A, B ? (0, ? ) ,故 0 ? A ? B ? ? ,所以 B ? ? ? ( A ? B) 或 B ? A ? B , 因此, A ? ? (舍去)或 A ? 2 B , 所以, A ? 2 B . (2)由 cos B ?

2 1 5 2 ,得 sin B ? , cos 2 B ? 2 cos B ? 1 ? ? , 3 9 3

故 cos A ? ?

1 4 5 , sin A ? , 9 9

cos C ? ? cos( A ? B) ? ? cos A cos B ? sin A sin B ?

22 . 27



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