三角函数的应用

5 三角函数的应用

1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角 函数在解决问题过程中的应用. 2.能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器 进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明.

温故知新
直角三角形的边角关系

直角三角形三边的关系: 勾股定理

a2+b2=c2.

直角三角形两锐角的关系:两锐角互余 ∠A+∠B=90°. 直角三角形边与角之间的关系:锐角三角函数 B

a tan A ? , b

a b sin A ? cos B ? , cos A ? sin B ? , c c
A

c a b ┌ C

特殊角：30°,45°,60°角的三角函数值.

探究一
1.审题，画图.
（参考数据： sin55?≈0.819,cos55? ≈ 0.574,tan55? ≈ 1.428, sin25? ≈ 0.423,cos25? ≈ 0.906,tan25? ≈ 0.466)
北

观测点 A
25? 55°

被观测点

C 20 D B 大海中有一个小岛A,该岛四周10海里内有暗礁.今有货船由 东向西航行,开始在A岛南偏东55°的B处,往西行驶20海里后 到达该岛南偏东25°的C处之后,货船继续向西航行. 你认为货船继续向西航行途中会有触礁的危险吗?

2.确定已知和未知. 3.设适当的未知数，列方程 A x 4.解方程，结论.

A
55?

x D A x
25?

BD tan 55? ? x

B
tan 25 ? ? CD x

C 20 D B 解：根据题意可知，∠BAD=55°， C D ∠CAD=25°，BC= 20海里. 20 20 ? ?x ? 设AD=x，则 tan 55? ? tan 25? 1.428 ? 0.466 BD tan 25? ? CD ， tan 55 ? ? ; ? 20.79 ? 海里 ? ? 10( 海里) x x ? BD ? x tan55?，CD ? x tan 25 ? 答:货轮继续向西航行途中没

? x tan 55 ? ? x tan 25 ? ? 20 . 有触礁的危险.

探究二
如图,小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰
角为30°,再往塔的方向前进50 m至B处,测得仰角为60°, 那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计,结果精确到1m). 现在你能完成这个任务吗? 要解决这个问题,我们仍需将其数学化.
请与同伴交流你是怎么想 的，准备怎么去做.

解:如图,根据题意可知,∠A=30°,∠DBC=60°, AB=50 m.设CD=x m,则∠ADC=60°,∠BDC=30°,

? AC ? x tan 60 ?, BC ? x tan 30 ?.
? x tan 60 ? ? x tan 30 ? ? 50.
?x ? 50 ? tan 60? ? tan 30? 50 3? 3 3

AC BC ? tan ?ADC ? ?, tan ?BDC ? , x x

? 25 3 ? 43 ? m ? .

D

答:该塔约有43 m高.

30° A 50 m B

60°

┌ C

探究三
某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由原来 的40°减至35°,已知原楼梯的长度为4 m,调整后的楼梯 会加长多少?楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.01m). 现在你能完成这个题目吗?

请与同伴交流你是怎么想的， B 准备怎么去做.
┌ C

A

D

解:(1)如图,根据题意可知,∠A=35°, ∠BDC=40°,DB=4m.

B

BC ? sin 40? ? , BD 4m ? BC ? BD sin 40 ?. 35° 40° ┌ A D C BC ? sin 35? ? , AB BC BD sin 40? 4 ? 0.642 8 ? AB ? ? ? ? 4.48 ? m ? . sin 35? sin 35? 0.573 6

? AB ? BD ? 4 .48 ? 4 ? 0 .48?m ?.
答:调整后的楼梯会加长约0.48m.

(2)如图,根据题意可知,∠A=35°,∠BDC=40°,DB=4m.
BC ? tan 40? ? , DC BC ? tan 35? ? , AC
BC ? DC ? . tan 40?

? AC ?

BC . tan 35?
4m 35° 40°

B

? AD ? AC ? DC
1 1 ? BC ( ? ) tan 35? tan 40?
1 1 ? BD sin 40?( ? ) tan 35? tan 40?

┌

A

D

C

? 0.61?m ?.

答:楼梯多占约0.61m长的一段地面.

探究四
如图,一灯柱AB被一钢缆CD固定.CD与地面成40°夹角,且

DB=5m.现再在C点上方2m处加固另一条钢缆ED,那么,钢缆
ED的长度为多少?(结果精确到0.01m).

解:如图,根据题意可知,∠CDB=40°,EC=2m, DB=5m. BC ? tan 40? ? , ? BC ? BD tan 40 ?. BD

E
2 m

? BE ? BC ? 2 ? BD tan 40 ? ? 2.
? tan ? BDE ? BE 5 tan 40? ? 2 ? ? 1.24. BD 5

C

∴∠BDE≈51.12°. DB ? cos?51.12? ? , 40° DE D DB 5 ? DE ? ? ? 7.97 ? m ? . cos?51.12? 0.6277 答:钢缆ED的长度约为7.97m.

5 m

B

探究五
如图,水库大坝的截面是梯形ABCD,其中AD∥BC,坝顶 AD=6 m,坡长CD=8 m.坡底BC=30m,∠ADC=135°. (1)求∠ABC的大小（精确到1°）; (2)如果坝长100 m,那么修建这个大坝共需多少土石料

(结果精确到0.01m3 ).
A B D C

解：（1）过点D作DE⊥BC于点E,过点A作AF⊥BC于点F.

则EC ? DE ? DCcos 45? ? 4 2,
? AF ? DE ? 4 2, BF ? 24 ? 4 2.

AF 4 2 ? tan ?ABC ? ? ? 0.308 4. BF 24 ? 4 2
∴∠ABC≈17°. 答:∠ABC约为17°. B A
┌

6m

D
┐ 8m

135°

F 30m E

C

（2） 先算面 积!
由梯形面积公式 S ?

? AD ? BC ? AF 得 ,
2

3 ? V ? 100S ? 100 ? 72 2 ? 10182.34 ? m ? ?.

36 ? 4 2 S? ? 72 2 . 2

答:修建这个大坝共需土石料约1 0182.34 m3. 再求体 积!

1.（株洲·中考）如图，孔明同学背着一桶水，从山脚A 出发，沿与地面成30°角的山坡向上走，送水到山上因今 年春季受旱缺水的王奶奶家（B处），AB=80米，则孔明从 A到B上升的高度BC是 米．

30°

【解析】依题意得，∠ACB=90°.所以sin A =sin 30°= BC ? BC ? 1 ，所以BC=40（米）. 答案：40
AB 80 2

2.（衡阳·中考）为申办冬奥会，需改变哈尔滨市的交

通状况.在大直街拓宽工程中，要伐掉一棵树AB，在地
面上事先划定以B为圆心，半径与AB等长的圆形危险区， 现在某工人站在离B点3米远的D处，从C点测得树的顶端

A点的仰角为60°，树的底部B点的俯角为30°.
问：距离B点8米远的保护物是否在危险区内？

A

C D

60?
30?

B

BD 3 ? 【解析】在Rt△BDC中，BC= =2 3， cos 30? 3 2
在Rt△ABC中，AB=2BC=4

3 ＜8，

所以离B点8米远的保护物不在危险区内.

3.（湘潭·中考）如图，我护航军舰在某海域航行到

B处时，灯塔A在我军舰的北偏东60o的方向；我军舰
从B处向正东方向行驶1 800米到达C处，此时灯塔A在 我军舰的正北方向．求C处与灯塔A的距离（结果精确 到（1米））． A

北 60o
B 东 C

【解析】在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1 800，∠ABC=30°，
AC AC 3 tan 30 ? ? ， 从而 AC ? 1800 ? =600 3≈1 039（米）. 3 BC 1800
0

答：C处与灯塔A的距离约为1 039米．
A 北 60o B 东 C

4.（鄂州·中考）如图，一艘舰艇在海面下500米A点处测 得俯角为30°前下方的海底C处有黑匣子信号发出，继续 在同一深度直线航行4 000米后再次在B点处测得俯角为

60°前下方的海底C处有黑匣子信号发出，求海底黑匣子C
点距离海面的深度（结果保留根号）．

【解析】作CF垂直于AB延长线 于点F，则
CF CF ? tan?30 ? , tan?60 ? ， AF BF
?

D A
30°

E B
60°

F

C

∴

AF ?

CF CF 3 ? 3 CF , BF ? ? CF tan 30 ? tan 60 ? 3

∵ AF ? BF ? AB ? 4 000，
∴ ∴ CF ? 2?000 3(米). ∴海底黑匣子C点距离海面的深度为 (500 ? 2000 3)米.
3CF ? 3 CF ? 4 000. 3

5．（贵阳·中考）某商场为缓解我市“停车难”问题，拟建造 地下停车库，如图是该地下停车库坡道入口的设计示意图，其 中， AB⊥BD，∠BAD＝18°，点C在BD上，BC＝0.5 m．根据规 定，地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志，以便告知驾驶 员所驾车辆能否安全驶入．小明认为CD的长就是所限制的高度，

而小亮认为应该以CE的长作为限制的高度．小明和小亮谁说的
对？请你判断并计算出正确的结果.（结果精确到0.1m）

【解析】小亮说的对，在△ABD中，∠ABD＝90°， ∠BAD＝18 °， BA＝10 m，
BD ， ∴tan∠BAD＝ BA

∴BD＝10×tan 18°，
―0.5， ∴CD＝BD―BC＝10×tan 18°
?

在Rt△CDE中，∠CDE＝90 °―∠BAD＝72°， CE ， ∵CE⊥ED∴sin∠CDE＝ CD ∴CE＝CD×sin∠CDE
＝sin72 °×（10×tan 18° ―0.5）≈2.6（m） 即限制高度为2.6 m.

【规律方法】根据题意画出几何图形，构造直角三角形，
灵活运用三角函数的定义结合勾股定理的有关知识是进 行解题的关键.

解有关实际意义的应用题的一般步骤： 1.审题，画图.

2.确定已知和未知.
3.设适当的未知数，列方程. 4.解方程，结论.