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学案导学备课精选高中数学4.2导数在实际问题中的应用同步练习(含解析)北师大版选修11

§2 导数在实际问题中的应用 课时目标 1.理解实际问题中导数的意义.2.区分极值和最值.3.会求闭区间上函数的最 大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次). 1.中学物理中,速度可以看作______________的导数,线密度是__________________的 导数,功率是________________的导数. 2.函数的最大值点:函数 y=f(x)在区间上的最大值点 x0 指的是:函数在这个区间上所 有点的函数值都不超过 f(x0). 3.函数的最值 函数的最大值和最小值统称为________. 一、选择题 1.下列结论正确的是( ) A.若 f(x)在上有极大值,则极大值一定是上的最大值 B.若 f(x)在上有极小值,则极小值一定是上的最小值 C.若 f(x)在上有极大值,则极小值一定是 x=a 和 x=b 时取得 D.若 f(x)在上连续,则 f(x)在上存在最大值和最小值 2 2.函数 f(x)=x -4x+1 在上的最大值和最小值是( ) A.f(1),f(3) B.f(3),f(5) C.f(1),f(5) D.f(5),f(2) 3.函数 y= x在上的最大值是( ) e 1 2 A.当 x=1 时,y= B.当 x=2 时,y= 2 e e 1 1 C.当 x=0 时,y=0 D.当 x= ,y= 2 2 e 4.函数 y= x+ 1-x在(0,1)上的最大值为( ) A. 2 B.1 C.0 D.不存在 3 5.已知函数 f(x)=ax +c,且 f′(1)=6,函数在上的最大值为 20,则 c 的值为( ) A.1 B.4 C.-1 D.0 15 2 6.已知函数 y=-x -2x+3 在上的最大值为 ,则 a 等于( ) 4 3 1 A.- B. 2 2 1 1 3 C.- D.- 或- 2 2 2 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 7.函数 f(x)=ln x-x 在(0,e]上的最大值为________. 1 x ? π? 8.函数 f(x)= e (sin x+cos x)在区间?0, ?上的值域为____________. 2? 2 ? 9.氡气是一种由地表自然散发的无味的放射性气体,如果最初有 500 克氡气,那么七天 t 后氡气的剩余量为 A(t)=500×0.834 ,则 A′(7)约为________,它表示____. -1- x 三、解答题 10.求下列各函数的最值. 1 (1)f(x)= x+sin x,x∈; 2 3 2 (2)f(x)=x -3x +6x-2,x∈. 11.某单位用 2 160 万元购得一块空地,计划在该块地上建造一栋至少 10 层、每层 2 000 平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为 x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为 560 +48x(单位: 元). 为了使楼房每平方米的平均综合费用最少, 该楼房应建为多少层?(注: 购地总费用 平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用= ) 建筑总面积 能力提升 3 2 12.已知 f(x)=x -x -x+3,x∈,f(x)-m<0 恒成立,求实数 m 的取值范围. -2- 13.已知某商品生产成本 C 与产量 q 的函数关系式为 C=100+4q,价格 p 与产量 q 的函 1 数关系式为 p=25- q,求产量 q 为何值时,利润 L 最大. 8 1.求闭区间上函数的最值也可直接求出端点函数值和导数为零时 x 对应的函数值,通过 比较大小确定函数的最值. 2.在求解与最值有关的函数综合问题时,要发挥导数的解题功能,同时也要注意对字母 的分类讨论;而有关恒成立问题,一般是转化为求函数的最值问题. 3.可以利用导数的实际意义,建立函数模型,解决实际生活中的最大值、最小值问题. §2 导数在实际问题中的应用 知识梳理 1.路程关于时间 质量关于长度 功关于时间 3.最值 作业设计 1.D 上的极值不一定是最值,最值也不一定是极值,极值一定不会在端点处取得,而 在上一定存在最大值和最小值.] 2.D 3.A 4.A 2 3 5.B 时,f′(x)=6x >0,即 f(x)在上是增函数,∴f(x)max=f(2)=2×2 +c=20,∴c =4.] 15 1 3 2 6.C 上单调递减,最大值为 f(a)=-a -2a+3= ,解得 a=- 或 a=- (舍去).] 4 2 2 7.-1 1 1-x 解析 f′(x)= -1= ,令 f′(x)>0 得 0<x<1,令 f′(x)<0 得 x<0 或 x>1,∴f(x) x x 在(0,1]上是增函数,在(1,e]上是减函数. ∴当 x=1 时,f(x)有最大值 f(1)=-1. ? ? ? ? π? x 解析 ∵x∈?0, ?,∴f′(x)=e cos x≥0, 2? ? 8. ? , ?2 2 ?1 1 e ? 2 -3- 1 ? ?π ? 1 2 . ∴f(0)≤f(x)≤f? ?.即 ≤f(x)≤ 2 ?2? 2 9.-25.5 氡气在第 7 天时,以 25.5 克/天的速度减少 1 10.解 (1)f′(x)= +cos x. 2 2π 4π 令 f′(x)=0,又∵0≤x≤2π ,∴x= 或 x= . 3 3 3 3 ?2π ? π ?4π ? 2π ∴f? ?= + ,f? ?= - , 2 ? 3 ? 3 2 ? 3 ? 3 又∵f(0)=0,f(2π )=π . ∴当 x=0 时,f(x)有最小值 f(0)=0, 当 x=2π 时,f(x)有最大值 f(2π )=π . 2 2 (2)f′(x)=3x -6x+6=3(x -2x+2) 2 =3(x-1) +3, ∵f′(x)在内恒大于 0, ∴f(x)在上为增函数. 故 x=-1 时,f(x)最小值=-12; x=1 时,f(x)最大值=2. 即 f(x)在上的最小值为-12,最大值为


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