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(江苏专用)2018版高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.1导数的概念及运算课件_图文

第1讲 导数的概念及运算 考试要求 1.导数的概念及其实际背景,A 级要求;2.导数的几何意 1 义,B 级要求;3.根据导数定义求函数 y=c,y=x,y=x ,y=x2, y=x3,y= x的导数,A 级要求;4.利用基本初等函数的导数公式和 导数的四则运算法则求简单函数的导数,B 级要求. 知 识 梳 理 1.导数的概念 设函数 y=f(x)在区间(a,b)上有定义,且 x0∈(a,b),若 Δx 无限 Δy f?x0+Δx?-f?x0? 趋近于 0 时, 比值Δx= 无限趋近于一个常数 A, 则 Δx 称 f(x)在 x=x0 处可导,并称该常数 A 为函数 f(x)在 x=x0 处的导 数,记作 f′(x0). 若函数 y=f(x)在区间(a, b)内任意一点都可导, 则 f(x)在各点的导 数也随着 x 的变化而变化,因而是自变量 x 的函数,该函数称作 f(x)的导函数,记作 f′(x) . 2.导数的几何意义 函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x) 在点P(x0,f(x0))处的切线的 斜率 ,过点P的切线方程为y -y0=f′(x0)(x-x0). 3.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)=C(C为常数) f′(x)= 0 f(x)=xα(α∈Q*) f(x)=sin x f(x)=cos x f(x)=ex f′(x)=αxα-1 f′(x)= cos x f′(x)=-sin x f′(x)= ex f(x)=ax(a>0) f(x)=ln x f(x)=logax (a>0,且 a≠1) f′(x)=axln a 1 f′(x)= x 1 f′(x)= xln a 4.导数的运算法则 若 f′(x),g′(x)存在,则有: (1)[f(x)± g(x)]′= f′(x)±g′(x) ; ; (2)[f(x)· g(x)]′= f′(x)g(x)+f(x)g′(x) ? f?x? ? ? (3)? ?g?x??′= ? ? f′?x?g?x?-f?x?g′?x? (g(x)≠0). 2 [g?x?] 诊断自测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同. ( ) (2)求f′(x0)时,可先求f(x0),再求f′(x0). (3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点. (4)若f(x)=a3+2ax+x2,则f′(x)=3a2+2x. ( ( ( ) ) ) 解析 (1)f′(x0) 表示函数 f(x) 的导数在 x0 处的值,而f((x0))′ 表示 函数值f(x0)的导数,其意义不同,(1)错. (2)求f′(x0)时,应先求f′(x),再代入求值,(2)错. (4)f(x)=a3+2ax+x2=x2+2ax+a3,∴f′(x)=2x+2a,(4)错. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× 2. (选修 1-1P57 例 4 改编)函数 f(x)=-2x+10 在区间[-3,-1]内 的平均变化率为________. f(-1)-f(-3) 解析 平均变化率为 = -1-(-3) -2×(-1)+10-[-2×(-3)+10] =-2. 2 答案 -2 3.(2016·天津卷)已知函数f(x)=(2x+1)ex,f′(x)为f(x)的导函 数,则f′(0)的值为________. 解析 因为f(x)=(2x+1)ex, 所以f′(x)=2ex+(2x+1)ex=(2x+3)ex, 所以f′(0)=3e0=3. 答案 3 4. (2017· 镇江期末 ) 曲线y =- 5ex+3 在点 (0,- 2) 处的切线 方程为________. 解析 ∵y′=-5ex,∴所求曲线的切线斜率k=y′|x=0=- 5e0=-5,∴切线方程为y-(-2)=-5(x-0),即5x+y+ 2=0. 答案 5x+y+2=0 5.(2015·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1, f(1))处的切线过点(2,7),则a=________. 解析 由题意可得f′(x)=3ax2+1,则f′(1)=3a+1, 又f(1)=a+2, ∴切线方程为y-(a+2)=(3a+1)(x-1). ∵切线过点(2,7), ∴7-(a+2)=3a+1,解得a=1. 答案 1 考点一 导数的计算 【例 1】 求下列函数的导数: (1)y=exln x; ? 1 1? 2 (2)y=x?x +x +x3?; ? ? x x (3)y=x-sin cos ; 2 2 cos x (4)y= x . e 解 (1)y′=(e )′ln x+e (ln x)′=e ln x+e 3 x x x x1 ? ?ln = x ? 1? x x+ x?e . ? 1 (2)因为 y=x +1+x2, 所以 y′=(x 3 ?1? 2 2 ? ? )′+(1)′+ x2 ′=3x -x3. ? ? 1 (3)因为 y=x-2sin x, 所以 ? ? ?1 ? 1 1 y′=?x-2sin x?′=x′-?2sin x?′=1- cos 2 ? ? ? ? x. ?cos x? ?cos ? ? (4)y′= ex ′= ? ? x?′ex-cos x?ex?′ sin x+cos x =- . ex ?ex?2 规律方法 (1)熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导 数计算的前提,求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形 对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量提高运算 速度,减少差错. (2)如函数为根式形式,可先化为分数指数幂,再求导. 【训练1】 (1)f(x)=x(2 017+ln x),若f′(x0)=2 018,则x0= ________. (2)(2015·天津卷)已知函数f(x


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