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江苏省2012届高考数学5月冲刺真题分类演练试题(教师版)苏教版


新梦想 心领航

2008-2011 高考真题演练
一、集合
2 1. (2008 江苏 4) A ? x ( x ? 1) ? 3 x ? 7 , 则 A ? Z 的元素个数为

?

?



【解析】 本小题考查集合的运算和解一元二次不等式。 由 ( x ? 1)2 ? 3x ? 7 得 x 2 ? 5 x ? 8 ? 0 因为 ? ? 0 ,所以 A ? ? ,因此 A ? Z ? ? ,元素的个数为 0。 答案 0

2.(2009 江苏卷)已知集合 A ? x log 2 x ? 2 , B ? (??, a ) ,若 A ? B 则实数 a 的取值范 围是 (c, ??) ,其中 c = . 【解析】 考查集合的子集的概念及利用对数的性质解不等式。 由 log2 x ? 2 得 0 ?

?

?

x ? 4 , A ? (0,4] ;由 A ? B 知 a ? 4 ,所以 c ? 4。
2

3.【2010?江苏卷】设集合 A={-1,1,3},B={a+2,a +4},A∩B={3},则实数 a=___________. 【答案】1 【解析】 考查集合的运算推理.3 ? B, a+2=3, a=1. 4.(2011 江苏 1)1、已知集合 A ? {?1,1, 2, 4}, B ? {?1,0, 2}, 则 A ? B ? _______, 答案: ?-, 1 2? 【解析】考察简单的集合运算,容易题 5.【2010?湖南文数】已知集合 A={1,2,3,},B={2,m,4},A∩B={2,3},则 m= 【答案】3 二、概率 1. (2008 江苏 2)2.一个骰子连续投 2 次,点数和为 4 的概率为 。 .

【解析】本小题考查古典概型。基本事件共 6 ? 6 个,点数和为 4 的有 (1,3) 、 (2, 2) 、 (3,1) 共 3 个,故 P ?

3 1 1 ? 。答案 6 ? 6 12 12

2. (2008 江苏 6)6.在平面直角坐标系 xoy 中,设 D 是横坐标与 纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构成的区域, E 是到原点的距离不 大于 1 的点构成的区域,向 D 中随意投一点,则落入 E 中的概率 为 。 【解析】本小题考查几何概型。如图:区域 D 表示边长为 4 的正 方形 ABCD 的内部(含边界) ,区域 E 表示单位圆及其内部,因此

P?

? ?12
4? 4

?

?
16

。答案

? 16

3.(2009 江苏卷)现有 5 根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为 2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,

用心

爱心

专心

1

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若从中一次随机抽取 2 根竹竿,则它们的长度恰好相差 0.3m 的概率为 【解析】 考查等可能事件的概率知识。

.

从 5 根竹竿中一次随机抽取 2 根的可能的事件总数为 10,它们的长度恰好相差 0.3m 的 事件数为 2,分别是:2.5 和 2.8,2.6 和 2.9,所求概率为 0.2。 4.【2010?江苏卷】盒子中有大小相同的 3 只白球,1 只黑球,若从中随机地摸出两只球, 两只球颜色不同的概率是_ __ 【答案】 .

1 2

【解析】考查古典概型知识. 5.(2011 江苏 5)5、从 1,2,3,4 这四个数中一次随机取两个数,则其中一个数是另一个 的两倍的概率是______ 答案:

1 3

【解析】 :简单考察古典概型的概率计算,容易题 6.(2009 安徽卷文)从长度分别为 2、3、4、5 的四条线段中任意取出三条,则以这三条线 段为边可以构成三角形的概率是________。 【解析】依据四条边长可得满足条件的三角形有三种情况: 2、3、4 或 3、4、5 或 2、4、5,故 P ?

3 3 ? =0.75. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3 C4 4

【答案】0.75 7.(2009 福建卷文)点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点,若在该圆周上随机取一点 B, 则劣弧 AB 的长度小于 1 的概率为 。

【解析】 :如图可设 AB ? 1 ,则 AB ? 1 ,根据几何概率可知其整体事件 是其周长 3 ,则其概率是

2 。 3
上随机取一个数 x, 则

8. (2010 湖南理数) 11. 在区间 的概率为 .

三、统计 1
用心 爱心 专心 2

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1(2009 江苏卷)某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1,2,3,4,5 的学生进行投篮练习, 每人投 10 次,投中的次数如下表: 学生 1号 2号 3号 4号 5号 甲班 乙班 6 6 7 7
2

7 6 .

8 7

7 9

则以上两组数据的方差中较小的一个为 s = 【解析】 考查统计中的平均值与方差的运算。

(6 ? 7)2 ? 02 ? 02 ? (8 ? 7) 2 ? 02 2 ? 甲班的方差较小,数据的平均值为 7,故方差 s ? 5 5
2

2.【2010?江苏卷】某棉纺厂为了了解一批棉花的质量,从中随机抽取了 100 根棉花纤维的 长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标) ,所得数据都在区间[5,40]中,其频率分布 直方图如图所示, 则其抽样的 100 根中, 有___ 根在棉花纤维的长度小于 20mm。 【答案】30 【 解 析 】 考 查 频 率 分 布 直 方 图 的 知 识 .100 ? (0.001+0.001+0.004)?5=30 _

3.(2011 江苏 6)6、某老师从星期一到星期五收到信件数分别是 10,6,8,5,6,则该组 数据的方差 s ? ___
2

答案:

16 5 16 ,容易题。 5

【解析】 :考察方差的计算,可以先把这组数都减去 6 再求方差,

4. (2009 重庆卷文) 从一堆苹果中任取 5 只, 称得它们的质量如下 (单位: 克) 125 124 121 123 127 则该样本标准差 s ? (克) (用数字作答) .

【答案】2 【解析】因为样本平均数 x?

1 (125 ? 124 ? 121 ? 123 ? 127) ? 124 , 则 样 本 方 差 5

1 2 2 2 s 2 ? ( 12 ? O 2? 3 ? 1? 3? ) 所以 4, s ? 2 5
四、复数

1? i 表示为 a ? bi (a, b ? R) ,则 a ? b = ▲ 。 1? i 1? i ? i,? a ? 0, b ? 1 ,因此 a ? b =1。答案 1 【解析】本小题考查复数的除法运算, ? 1? i
1.(2008 江苏 3)
用心 爱心 专心 3

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2.(2009 江苏卷)若复数 z1 ? 4 ? 29i, z2 ? 6 ? 9i, 其中 i 是虚数单位,则复数 ( z1 ? z2 )i 的实 部为 。 -20

【解析】考查复数的减法、乘法运算,以及实部的概念。

3. 【2010? 江苏卷】 设复数 z 满足 z(2-3i)=6+4i (其中 i 为虚数单位) , 则 z 的模为___________. 【答案】2 【解析】考查复数运算、模的性质.z(2-3i)=2(3+2i), 2-3i 与 3+2i 的模相等,z 的模为 2. 4. (2011 江苏 3) 设复数 i 满足 i( z ? 1) ? ?3 ? 2i(i 是虚数单位) , 则 z 的实部是_________ 答案:1 【解析】 :简单考察复数的运算和概念,容易题。 5. ( 2009 年上海卷理)若复数 z 满足 z (1+i) =1-i (I 是虚数单位 ) ,则其共轭复数

z =__________________ .
【答案】i w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】 设 z=a+bi, 则 (a+bi ) (1+i) =1-i, 即 a-b+ (a+b) i=1-i, 由? 解得 a=0,b=-1,所以 z=-i, z =i 6.(2009 福建卷文)复数 i ?1+i ? 的实部是 -1
2

?a ? b ? 1 , ?a ? b ? ?1



解析

i2 ?1+i ? =-1-I,所以实部是-1。
1 ?i ? 1? i


7.【2010?江苏南通市二模】 i 是虚数单位,

1 1 【答案】 ? i 2 2 1 1? i 1? i 【解析】 . ?i ? ?i ? 1? i 2 2
五、算法 1.(2009 江苏卷)上(右)图是一个算法的流程图,最后输出的

W?

.

【解析】 考查读懂算法的流程图的能力。

用心

爱心

专心

4

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2. 【2010?江苏卷】下图是一个算法的流程图,则输出 S 的值是_____________.

【答案】63 【解析】考查流程图理解. 1 ? 2 ? 22 ? ? ? 24 ? 31 ? 33, 输出 S ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 63 .
2 5

3. (2008 江苏)某地区为了解 70~80 岁老人的日平均睡眠时间(单位:h) ,现随机地选择 50 位老人做调查, 下表是 50 位老人日睡眠时间频率分布 开始 表: S?0 序号 分组 组中值 频数 频率 (i) 1 2 3 4 5 睡眠时间 [4,5) [5,6) [6,7) [7,8) [8,9] (Gi) 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 (人数) 6 10 20 10 4 (Fi) 0.12 0.20 0.40 0.20 0.08 i? i+1 N i?1 输入 Gi,Fi S? S+Gi?Fi i≥5 Y 输出 S 结束 Read a,b If a>b Then m ?a Else m ?b End If Print m

在上述统计数据的分析中,一部分计算见算法流程图, 则输出的 S 的值为 .6.42 4. (2011 江苏 4) 4、 根据如图所示的伪代码, 当输入 a , b 分别为 2,3 时,最后输出的 m 的值是________ 答案:3 【解析】考察算法的选择结构和伪代码,是容易题。

六、平面向量 1. ( 2008 江 苏 ) . a, b 的 夹 角 为 1200 , a ? 1, b ? 3 , 则

? ?

?

?

? ? 5a ? b ?
? ?





【解析】本小题考查向量的线形运算。 因为 a ? b ? 1? 3 ? (? ) ? ? 因此 5a ? b ? 7。 答案 7 数量积 a ? b =
用心 爱心 专心 5

?

?

1 2

? ?2 ? ?2 ?2 ?2 ? ? 3 ,所以 5a ? b ? (5a ? b ) ? 25a ? b ? 10a ? b =49。 2

2.(2009 江苏卷)已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30 , | a |? 2,| b |? 3 ,则向量 a 和向量 b 的
o

?

?

?

?

?

?

? ?

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【解析】 考查数量积的运算。
? ?

? ? 3 a ?b ? 2? 3 ? ?3 2
? ? ? ? ? ? 2 ? 的两个单位向量,a ? e1 ? 2 e2 , b ? k e1 ? e2 , 3

3. (2011 江苏 10) 10、 已知 e1 , e 2 是夹角为 若 a ? b ? 0 ,则 k 的值为 答案:
? ?



5 4
? ?

【解析】考察向量的数量积及其相关的运算,中档题。由 a ? b ? 0 得: k ?

5 4

4.【2010?江苏卷】在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(-1,-2)、B(2,3)、C(-2,-1)。 (1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长; (2)设实数 t 满足( AB ? t OC )? OC =0,求 t 的值。 【解析】本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积,考查运算求解能力。 解: (1)方法一:由题设知 AB ? (3,5), AC ? (?1,1) ,则

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AB ? AC ? (2,6), AB ? AC ? (4, 4).
所以 | AB ? AC |? 2 10,| AB ? AC |? 4 2. 故所求的两条对角线的长分别为 4 2 、 2 10 。 方法二:设该平行四边形的第四个顶点为 D,两条对角线的交点为 E,则: E 为 B、C 的中点,E(0,1) 又 E(0,1)为 A、D 的中点,所以 D(1,4) 故所求的两条对角线的长分别为 BC= 4 2 、AD= 2 10 ; (2)由题设知: OC =(-2,-1), AB ? tOC ? (3 ? 2t ,5 ? t ) 。 由( AB ? t OC )? OC =0,得: (3 ? 2t ,5 ? t ) ? (?2, ?1) ? 0 , 从而 5t ? ?11, 所以 t ? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

11 。 5
| OC | 5

??? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2 ??? AB ? OC 或者: AB· OC ? tOC , AB ? (3,5), t ? ???? 2 ? ? 11

七、不等式
用心 爱心 专心

6

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1.(2008 江苏 11). x, y, z ? R , x ? 2 y ? 3z ? 0,

?

y2 的最小值为 xz





y2 x ? 3z 【解析】本小题考查二元基本不等式的运用。由 x ? 2 y ? 3z ? 0 得 y ? ,代入 得 2 xz x 2 ? 9 z 2 ? 6 xz 6 xz ? 6 xz ? ? 3 ,当且仅当 x ? 3 z 时取“=” 。 4 xz 4 xz
答案 3 2.【2010?江苏卷】设实数 x,y 满足 3≤ xy 2 ≤8,4≤ 【答案】27 【解析】本题考查不等式的基本性质,等价转化思想.

x2 x3 ≤9,则 4 的最大值是 y y

.

? x2 ? ? y ?

3 ? ? x2 1 ?1 1 ? x ? ? ? ? ? 16 , 18 , ? , , ? 4 ? ? y xy 2 ? ?8 3? ? y ? ?

2

? 1 x3 ? ? ? ? ? 2 , 27 , 的最大值是 27. ? xy 2 y4 ?
.

2

3.【2010?浙江文数】若正实数 X,Y 满足 2X+Y+6=XY , 则 XY 的最小值是 【答案】18 4.【2010?山东文数】已知 x, y ? R? ,且满足 【答案】3 5.【2010?上海文数】不等式 【答案】 ?x | ?4 ? x ? 2? 【解析】考查分式不等式的解法 八、三角函数

x y ? ? 1 ,则 xy 的最大值为 3 4
.

.

2? x ? 0 的解集是 x?4

2? x ? 0 等价于(x-2)(x+4)<0,所以-4<x<2. x?4

? , 其中 w ? 0 , 则w? 6 5 2? ? ? ? w ? 10 。 【解析】本小题考查三角函数的周期公式。 T ? w 5
1.(2008 江苏) f ( x) ? cos( wx ?

?

) 的最小正周期为



答案 10 2.(2009 年上海卷理)函数 y ? 2cos x ? sin 2 x 的最小值是_____________________ .
2

【答案】 1 ? 2 【解析】 f ( x) ? cos 2 x ? sin 2 x ? 1 ?

2 sin(2 x ? ) ? 1 ,所以最小值为: 1 ? 2 4 3. (2009 江苏卷) 函数 y ? A sin(? x ? ? ) ( A, ? , ?

?

用心

爱心

专心

7

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为常数, A ? 0, ? ? 0 )在闭区间 [?? , 0] 上的图象如图所示,则 ? = 【解析】 考查三角函数的周期知识。

.

3 2 T ? ? , T ? ? ,所以 ? ? 3 , 2 3
4.(2009 辽宁卷文)已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0) 的图象如图所示, 则

? =

4π 【解析】由图象可得最小正周期为 3 2π 4π ∴T= = ω 3 ? ω=

5 【2010 浙江】 函数 f ( x) ? sin(2 x ? ) ? 2 2 sin x 的最小正周期是__________________ . . 4
2

?

3 2

【答案】

3 2

【答案】π

f ?x ? ?
【解析】

2 ? ?? sin? 2 x ? ? ? 2 2 4? ? 故最小正周期为π ,本题主要考察了三角恒等变换

及相关公式,属中档题 6. 【2010?山东文数】在 ? ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a ? 2 ,
b ? 2 , sin B ? cos B ? 2 ,则角 A 的大小为

.

答案: 7. 【2010?江苏卷】在锐角三角形 ABC,A、B、C 的对边分别为 a、b、c, 则

b a ? ? 6 cos C , a b

tan C tan C ? =________。 tan A tan B

【答案】4 【解析】考虑已知条件和所求结论对于角 A、B 和边 a、b 具有轮换性。 当 A=B 或 a=b 时满足题意,此时有: cos C ?

1 1 ? cos C 1 C 2 2 C ? ? , tan ? , tan , 3 2 1 ? cos C 2 2 2

用心

爱心

专心

8

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tan A ? tan B ?

1 tan C 2

? 2,

tan C tan C ? = 4。 tan A tan B

8.(2011 江苏 7)已知 tan( x ?

?
4

) ? 2, 则

tan x 的值为__________ tan 2 x

4 答案: 9
【解析】 :考察正切的和差角与倍角公式及其运用,中档题。

tan( x ? ) ? 1 1 tan x tan x ( 1- tan 2 x) 4 4 tan x=tan( x ? ? ) ? ? , = = ? ? 2 tan x 4 4 3 tan 2 x 2 9 tan( x ? ) ? 1 2 4 1- tan x

?

?

?

9.(2010 江苏 10)10、定义在区间 ? 0 ,

? ?

??

? 上的函数 y=6cosx 的图像与 y=5tanx 的图像的交 2?

点为 P,过点 P 作 PP1⊥x 轴于点 P1,直线 PP1 与 y=sinx 的图像交于点 P2,则线段 P1P2 的长为 _______▲_____。 【解析】 考查三角函数的图象、数形结合思想。线段 P1P2 的长即为 sinx 的值, 且其中的 x 满足 6cosx=5tanx,解得 sinx=

2 2 。线段 P1P2 的长为 3 3

10.(2011 江苏 9)函数 f ( x) ? A sin(wx ? ? ), ( A, w, ? 是常数, A ? 0, w ? 0) 的部分图象 如图所示,则 f (0) ? ____

答案: f (0) ?

6 2

【解析】 :考察三角函数的图像与性质以及诱导公式,中档 题。 由 图 可 知 :

A? 2

T 7 ? ? ? ? ?, ? ? ? 4 1

? 2 2 ? ? ? ? k? ,? ? k? ? ,? 23 3 3
由图知: f (0) ?

第9题图

2

4

,

,

2 6 f (0) ? 2 sin(k? ? ? ) ? ? 3 2

6 2

11.(2009 江苏卷) (本小题满分 14 分) 设向量 a ? (4cos ? ,sin ? ), b ? (sin ? , 4cos ? ), c ? (cos ? , ?4sin ? ) (1)若 a 与 b ? 2c 垂直,求 tan(? ? ? ) 的值; (2)求 | b ? c | 的最大值;

?

?

?

?

?

?

? ?

用心

爱心

专心

9

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(3)若 tan ? tan ? ? 16 ,求证: a ∥ b . 【解析】 本小题主要考查向量的基本概念,同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角 的正弦、两角和的正弦与余弦公式,考查运算和证明得基本能力。满分 14 分。

?

?

12.【2010 ?江苏卷】某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位:m) ,如示意图,垂直放置 的标杆 BC 的高度 h=4m,仰角∠ABE= ? ,∠ADE= ? 。 (1)该小组已经测得一组 ? 、 ? 的值,tan ? =1.24,tan ? =1.20,请据此算出 H 的值; (2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔 的距离 d(单位:m) ,使 ? 与 ? 之差较大,可以提高测量精确 度。若电视塔的实际高度为 125m,试问 d 为多少时, ? - ? 最 大? 解:本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。 (1)

H H H h ? tan ? ? AD ? ,同理: AB ? , BD ? 。 tan ? AD tan ? tan ?

AD—AB=DB,故得

H H h h tan ? 4 ?1.24 ? ? ? ? 124 。 ,解得: H ? tan ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? 1.24 ? 1.20

因此,算出的电视塔的高度 H 是 124m。 (2)由题设知 d ? AB ,得 tan ? ?

H H h H ?h , tan ? ? ? ? , d AD DB d H H ?h ? tan ? ? tan ? hd h d d tan(? ? ? ) ? ? ? 2 ? 1 ? tan ? ? tan ? 1 ? H ? H ? h d ? H ( H ? h) d ? H ( H ? h) d d d H ( H ? h) d? ? 2 H ( H ? h) , (当且仅当 d ? H (H ? h) ? 125 ?121 ? 55 5 时, 取等号) d

用心

爱心

专心

10

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故当 d ? 55 5 时, tan(? ? ? ) 最大。 因为 0 ? ? ? ? ?

?
2

,则 0 ? ? ? ? ?

?
2

,所以当 d ? 55 5 时, ? - ? 最大。

故所求的 d 是 55 5 m。 13(2011 江苏 15) (本小题满分 14 分)在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边为 a, b, c (1)若 sin( A ?

) ? 2 cos A, 求 A 的值; 6 1 (2)若 cos A ? , b ? 3c ,求 sin C 的值. 3
解析:考察三角函数基本关系式、和差角公式、正余弦定理及有关运算能力,容易题。 (1)? sin( A ?

?

?

6 3 1 2 2 2 2 (2)? cos A ? , b ? 3c,? a ? b ? c ? 2bc cos A ? 8c , a ? 2 2c 3
由正弦定理得:

) ? 2 cos A,? sin A ? 3 cos A,? A ?

?

1 2 2c c 2 2 2 ,而 sin A ? 1 ? cos A ? (也可以先 ? , ? sin C ? 。 3 sin A sin C 3

推出直角三角形) 14.【2010?浙江】在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,已知 cos 2C ? ? (I)求 sinC 的值; (Ⅱ)当 a=2, 2sinA=sinC 时,求 b 及 c 的长. 【解析】 本题主要考察三角变换、 正弦定理、 余弦定理等基础知识, 同事考查运算求解能力。 解: (Ⅰ)因为 cos2C=1-2sin C= ?
2

1 4

1 ,及 0<C<π 4

所以 sinC=

10 . 4
a c ? ,得 sin A sin C

(Ⅱ)当 a=2,2sinA=sinC 时,由正弦定理 c=4 由 cos2C=2cos C-1= ?
2

1 ,J 及 0<C<π 得 4

cosC=±

6 4
2 2 2

由余弦定理 c =a +b -2abcosC,得 b ± 6 b-12=0
2

用心

爱心

专心

11

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解得 所以

b= 6 或 2 6 b= 6 c=4 或 b= 6 c=4

15.(2009 年广东卷文)(本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (sin ? ,?2) 与 b ? (1, cos? ) 互相垂直,其中 ? ? (0, (1)求 sin ? 和 cos ? 的值 (2)若 5 cos(? ? ? ) ? 3 5 cos? , 0 ? ? ?

?
2

)

? ,求 cos ? 的值 2

【解析】 (1) Q a ? b ,? a g b ? sin ? ? 2cos? ? 0 ,即 sin ? ? 2 cos ? 又∵ sin ? ? cos ? ? 1 ,
2 2 2 ∴ 4cos ? ? cos ? ? 1,即 cos ?
2

v

v

v v

1 4 2 ,∴ sin ? ? 5 5



? 2 5 5 , cos ? ? ? ? (0, ) ? sin ? ?
2 5 5

(2) ∵ 5cos(? ? ? ) ? 5(cos ? cos ? ? sin ? sin ? ) ? 5 cos ? ? 2 5 sin ? ? 3 5 cos ?

?cos ? ? sin ? ,?cos2 ? ? sin 2 ? ? 1 ? cos2 ? ,即 cos 2 ? ?
又 0 ?? ?

1 2

? 2 , ∴ cos ? ? w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2 2

16.(山东 17)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 3 sin( ? x ? ? ) ? cos( ? x ? ? )( 0 ? ? ? π , ? ? 0 )为偶函数,且函数

y ? f ( x) 图象的两相邻对称轴间的距离为
(Ⅰ)求 f ?

π . 2

?π? ? 的值; ?8?
π 个单位后, 得到函数 y ? g ( x) 的图象, 求 g ( x) 的 6

(Ⅱ) 将函数 y ? f ( x) 的图象向右平移 单调递减区间.

解: (Ⅰ) f ( x) ? 3sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? )

? 3 ? 1 ? 2 ? sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? ) ? 2 ? 2 ?

用心

爱心

专心

12

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π? ? ? 2sin ? ? x ? ? ? ? . 6? ?
因为 f ( x ) 为偶函数, 所以对 x ? R , f (? x) ? f ( x) 恒成立, 因此 sin(?? x ? ? ? ) ? sin ? ? x ? ? ?

π 6

? ?

π? ?. 6?

即 ? sin ? x cos ? ? ?

? ?

π? π? π? π? ? ? ? ? ? cos ? x sin ? ? ? ? ? sin ? x cos ? ? ? ? ? cos ? x sin ? ? ? ? , 6? 6? 6? 6? ? ? ? π? ? ? 0. 6?

整理得 sin ? x cos ? ? ?

? ?

因为 ? ? 0 ,且 x ? R , 所以 cos ? ? ?

? ?

π? ? ? 0. 6?

又因为 0 ? ? ? π , 故? ?

π π ? . 6 2

所以 f ( x) ? 2sin ? ? x ? 由题意得

? ?

π? ? ? 2cos ? x . 2?



π ? 2? ,所以 ? ? 2 . ? 2

故 f ( x) ? 2cos 2 x . 因此 f ?

π ?π? ? ? 2cos ? 2 . 4 ?8?
π 个单位后,得到 6

(Ⅱ)将 f ( x ) 的图象向右平移

π? ? f ? x ? ? 的图象, 6? ?

所以 g ( x) ? f ? x ? 当 2kπ ≤ 2 x ?

? ?

π? ? ? π ?? π? ? ? ? 2cos ?2 ? x ? ?? ? 2cos ? 2 x ? ? . 6? 6 ?? 3? ? ? ?

π ≤ 2kπ ? π ( k ? Z ) , 3 π 2π 即 kπ ? ≤ x ≤ kπ ? ( k ? Z )时, g ( x) 单调递减, 6 3
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因此 g ( x) 的单调递减区间为 ? kπ ?

? ?

π 2π ? ,kπ ? ? ( k ? Z ). 6 3?

17.(2009 山东卷理)(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=cos(2x+ (1) 求函数 f(x)的最大值和最小正周期. (2) 设 A,B,C 为 ? ABC 的三个内角,若 cosB= 解 f(x)=cos(2x+ : (

? 2 )+sin x. 3

1 c 1 , f ( ) ? ? ,且 C 为锐角,求 sinA. 3 2 4
1 )

? ? ? 1 ? cos 2 x 1 3 2 )+sin x.= cos 2 x cos ? sin 2 x sin ? ? ? sin 2 x 3 3 3 2 2 2
1? 3 ,最小正周期 ? . 2
所以 sinC ?

所以函数 f(x)的最大值为

(2) f ( ) =

c 2

1 1 3 ? sin C = - , 4 2 2

3 , 2

因为 C 为锐角 ,

所以

C?

?
3

, cosB=

又因为在 ? ABC 中,

1 , 3

所以

sin B ?

2 3, 3

所以

sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ?

2 1 1 3 2 2? 3 2? ? ? ? . 3 2 3 2 6

【命题立意】:本题主要考查三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式、三角函数的 性质以及三角形中的三角关系.

九、立体几何 1.(2009 江苏卷)在平面上,若两个正三角形的边长的比为 1:2,则它们的面积比为 1:4, 类似地,在空间内,若两个正四面体的棱长的比为 1:2,则它们的体积比为 【解析】 考查类比的方法。体积比为 1:8 2(2009 江苏卷)设 ? 和 ? 为不重合的两个平面,给出下列命题: (1)若 ? 内的两条相交直线分别平行于 ? 内的两条直线,则 ? 平行于 ? ; (2)若 ? 外一条直线 l 与 ? 内的一条直线平行,则 l 和 ? 平行; (3)设 ? 和 ? 相交于直线 l ,若 ? 内有一条直线垂直于 l ,则 ? 和 ? 垂直; (4)直线 l 与 ? 垂直的充分必要条件是 l 与 ? 内的两条直线垂直。 上面命题中,真命题 的序号 ... 真命题 的序号是(1)(2) ...
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.

(写出所有真命题的序号).

【解析】 考查立体几何中的直线、平面的垂直与平行判定的相关定理。

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3. (2008 江苏 16) (14 分) 在四面体 ABCD 中, CB ? CD, AD ? BD ,且 E、F 分别是 AB、BD 的中点, 求证: (1)直线 EF//面 ACD (2)面 EFC⊥面 BCD 【解析】 :本小题考查空间直线于平面、平面与平面的位置关系的判定, 考查空间想象能力、推理论证能力。 (1)∵E、F 分别是 AB、BD 的中点 ∴EF 是△ABD 的中位线∴EF//AD 又∵ EF ? 面 ACD,AD ? 面 ACD∴直线 EF//面 ACD B (2)

EF // AD ? ? ? EF ? BD AD ? BD ? CB ? CD ? ? ? CF ? BD F为BD中点?

F E D

? BD ? 面CEF ? ? ? 面EFC ? 面BCD BD ? 面BCD ? CF ? EF ? F
4.(2009 江苏卷) (本小题满分 14 分)

C

A

E、 F 分别是 A1B 、 如图, 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,
D 在 B1C1 上, A1D ? B1C AC 1 的中点,点 。
求证: (1)EF∥平面 ABC;

? 平面 BB1C1C . (2)平面 A 1FD
【解析】 本小题主要考查直线与平面、平面与平面得位 置关系,考查空间想象能力、推理论证能力。满分 14 分。

5. 【2010 江苏卷】如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥ DC,∠BCD=90 . (1)求证:PC⊥BC; (2)求点 A 到平面 PBC 的距离. [解析] 本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系,考查几 何体的体积,考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力.满 分 14 分. 解: (1)证明:因为 PD⊥平面 ABCD,BC ? 平面 ABCD,所以 PD
0

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15

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⊥BC. 由∠BCD=90 ,得 CD⊥BC, 又 PD ? DC=D,PD、DC ? 平面 PCD, 所以 BC⊥平面 PCD. 因为 PC ? 平面 PCD,故 PC⊥BC. (2) (方法一)分别取 AB、PC 的中点 E、F,连 DE、DF,则: 易证 DE∥CB,DE∥平面 PBC,点 D、E 到平面 PBC 的距离相等. 又点 A 到平面 PBC 的距离等于 E 到平面 PBC 的距离的 2 倍. 由(1)知:BC⊥平面 PCD,所以平面 PBC⊥平面 PCD 于 PC, 因为 PD=DC,PF=FC,所以 DF⊥PC,所以 DF⊥平面 PBC 于 F. 易知 DF=
0

2 ,故点 A 到平面 PBC 的距离等于 2 . 2
0 0

(方法二)体积法:连结 AC.设点 A 到平面 PBC 的距离为 h. 因为 AB∥DC,∠BCD=90 ,所以∠ABC=90 . 从而 AB=2,BC=1,得 ?ABC 的面积 S?ABC ? 1. 由 PD⊥平面 ABCD 及 PD=1,得三棱锥 P-ABC 的体积 V ? 因为 PD⊥平面 ABCD,DC ? 平面 ABCD,所以 PD⊥DC. 又 PD=DC=1,所以 PC ?

1 1 S ?ABC ? PD ? . 3 3

PD2 ? DC2 ? 2 .
2 . 2

由 PC⊥BC,BC=1,得 ?PBC 的面积 S?PBC ? 由 VA? PBC ? VP? ABC , S? PBC ? h ? V ? 故点 A 到平面 PBC 的距离等于 2 .

1 3

1 ,得 h ? 2 , 3

6. (2011 江苏 16) (本小题满分 14 分) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 平面 PAD⊥平面 ABCD, AB=AD,∠BAD=60°,E、F 分别是 AP、AD 的中点 求证: (1)直线 EF‖平面 PCD; (2)平面 BEF⊥平面 PAD 解析:简单考察空间想象能力和推理论证能力、线面平行和垂直的判定与性质,容易题。 (1)因为 E、F 分别是 AP、AD 的中点,

? EF ? PD, 又? P, D ? 面PCD, E ? 面PCD

? 直线 EF‖平面 PCD
? (2)? AB=AD,?BAD=60 , F 是 AD 的中点,? BF ? AD,

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(第16题图)

16

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又平面 PAD⊥平面 ABCD, 面PAD ? 面ABCD=AD, ? BF ? 面PAD, 所以,平面 BEF⊥平面 PAD。 十、函数、导数 1.(2008 江苏 13)若 AB ? 2, AC ? 2BC ,则 S?ABC 的最大值 ▲ 。

【解析】本小题考查三角形面积公式及函数思想。 因为 AB=2(定长) ,可以以 AB 所在的直线为 x 轴,其中垂线为 y 轴建立直角坐标系,则

A(?1, 0), B(1, 0) ,设 C ( x, y) ,由 AC ? 2BC 可得 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 2 ( x ? 1) 2 ? y 2 ,
化 简 得 ( x ? 3)2 ? y 2 ? 8 , 即 C 在 以 ( 3 , 0 ) 为 圆 心 , 2 2 为 半 径 的 圆 上 运 动 。 又

S?ABC ?

1 ? AB ? yc ? yc ? 2 2 。 2

答案 2 2 2. ( 2008 江苏 8 ) 8. 直线 y ? ▲ 。

1 x ? b 是曲线 y ? ln x( x ? 0) 的一条切线,则实数 b ? 2 1 1 1 ,令 ? 得 x ? 2 ,故切点为 x x 2

【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法。 y ? ?

1 (2,ln 2) ,代入直线方程,得 ln 2 ? ? 2 ? b ,所以 b ? ln 2 ? 1 。 2 答案 b ? ln 2 ? 1 3.(2009 江苏卷)函数 f ( x) ? x3 ?15x2 ? 33x ? 6 的单调减区间为
【解析】 考查利用导数判断函数的单调性。

.

f ?( x) ? 3x2 ? 30 x ? 33 ? 3( x ? 11)( x ? 1) ,
由 ( x ? 11)( x ? 1) ? 0 得单调减区间为 (?1,11) 。亦可填写闭区间或半开半闭区间。 4.(2009 江苏卷)在平面直角坐标系 xoy 中,点 P 在曲线 C : y ? x3 ?10x ? 3 上,且在第二 象限内,已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2,则点 P 的坐标为 【解析】 考查导数的几何意义和计算能力。 .

y? ? 3x2 ?10 ? 2 ? x ? ?2 ,又点 P 在第二象限内,? x ? ?2 点 P 的坐标为(-2,15)
5(2009 江苏卷)已知 a ?

5 ?1 x ,函数 f ( x) ? a ,若实数 m 、 n 满足 f (m) ? f (n) ,则 2
.

m 、 n 的大小关系为

【解析】考查指数函数的单调性。

a?

5 ?1 ? (0,1) ,函数 f ( x) ? a x 在 R 上递减。由 f (m) ? f (n) 得:m<n 2
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6.【2010?江苏卷】设函数 f(x)=x(e +ae )(x ? R)是偶函数,则实数 a=________________.
x -x

【答案】-1 【解析】考查函数的奇偶性的知识。g(x)=e +ae 为奇函数,由 g(0)=0,得 a=-1.
? 2 7.【2010?江苏卷】已知函数 f ( x) ? ? x ? 1, x ? 0 ,则满足不等式 f (1 ? x2 ) ? f (2 x) 的 x 的范 x?0 ?1,
x -x

围是__

___.

【答案】 ? 1 ,2 ? 1

?

?
?1 ? x ? 0 ?

2 ?1 ? x ? 2 x 【解析】考查分段函数的单调性。 ? ? x ? (?1, 2 ? 1) ? 2

8(2011 江苏 8)8、在平面直角坐标系 xOy 中,过坐标原点的一条直线与函数 f ( x) ? 图象交于 P、Q 两点,则线段 PQ 长的最小值是________ 答案:4

2 的 x

解析:考察函数与方程,两点间距离公式以及基本不等式,中档题。设交点为 ( x, ) ,

2 x

2 4 ( ? x, ? ) ,则 PQ ? (2 x)2 ? ( )2 ? 4 x x
9.(2011 江苏 2) 、函数 f ( x) ? log5 (2 x ? 1) 的单调增区间是__________

(- , +? ) 答案:
解析:考察函数性质,容易题。 10. (2011 江苏 11) 已知实数 a ? 0 , 函数 f ( x) ? ? 则 a 的值为________ 答案: a ? ?

1 2

?2 x ? a, x ? 1 , 若 f (1 ? a) ? f (1 ? a) , ?? x ? 2a, x ? 1

3 4 3 , 2

解析:考察函数性质,含参的分类讨论,中档题。 a ? 0, 2 ? 2a ? a ? ?1 ? a ? 2a, a ? ? 不符合; a ? 0, ?1 ? a ? 2a ? 2 ? 2a ? a, a ? ?
3

3 4

11 . ( 2008 江苏 14 ) 14. f ( x) ? ax ? 3x ? 1 对于 x ?? ?1,1 ? 总有 f ( x ) ? 0 成立,则 a = ▲ 。 【解析】本小题考查函数单调性及恒成立问题的综合运用,体现了分类讨论的数学思想。 要使 f ( x) ? 0 恒成立,只要 f ( x)min ? 0 在 x ?? ?1,1? 上恒成立。
用心 爱心 专心 18

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f ?( x) ? 3ax2 ? 3 ? 3(ax2 ?1)
10 当 a ? 0 时, f ( x) ? ?3x ? 1 ,所以 f ( x)min ? ?2 ? 0 ,不符合题意,舍去。 20 当 a ? 0 时 f ?( x) ? 3ax2 ? 3 ? 3(ax2 ?1) ? 0 , 即 f ( x) 单 调 递 减 ,

f ( x)min ? f (1) ? a ? 2 ? 0 ? a ? 2 ,舍去。
30 当 a ? 0 时 f ?( x) ? 0 ? x ? ?

1 a

① 若

? ? 1 ? 1 1? ? 1 ? a ? 1 时 f ( x) 在 ? ?1, ? ? 和 ? ,1? 上单调递增, a? a ? ? a ? 1 1? , ? 上单调递减。 a a? ?

在??

? ? ?

所以 f ( x) min

? f (?1) ? ?a ? 4 ? 0 ? ? 1 ? ? ? ? min ? f (?1), f ( ) ? ? 0 ? ? ?a?4 1 1 a ? ?0 ? ? ? ? f ( ) ? 1? 2 a a ?

② 当

1 ? 1 ? a ? 1 时 f ( x) 在 x ???1,1? 上单调递减, a

f ( x)min ? f (1) ? a ? 2 ? 0 ? a ? 2 ,不符合题意,舍去。综上可知 a=4.
答案 4。 12.(2011 江苏 12) 、在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 P 是函数 f ( x) ? e ( x ? 0) 的图象
x

上的动点,该图象在 P 处的切线 l 交 y 轴于点 M,过点 P 作 l 的垂线交 y 轴于点 N,设线段 MN 的中点的纵坐标为 t,则 t 的最大值是_____________ 答案: tmax ?

1 1 (e ? ) 2 e

解析:综合考察指数函数、导数的几何意义、导数的应用、直线方程及其斜率、直线的位置 关系,难题。 设 P( x0 , e 0 ), 则 l : y ? e 0 ? e 0 ( x ? x0 ),? M (0,(1 ? x0 )e 0 ) ,过点 P 作 l 的垂线
x x x x

y ? ex0 ? ?e? x0 ( x ? x0 ), N (0, ex0 ? x0e? x0 )



1 1 t ? [(1 ? x0 )e x0 ? e x0 ? x0e ? x0 ] ? e x0 ? x0 (e ? x0 ? e x0 ) 2 2 1 1 1 t ' ? (e x0 ? e ? x0 )(1 ? x0 ) , 所以, t 在 (0,1) 上单调增, 在 (1, ??) 单调减,tmax ? (e ? ) 9. 2 2 e

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19

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13. (2008 安徽 13)函数 f ( x) ?

x ? 2 ?1 log 2 ( x ? 1)
x

的定义域为

. [3, ??)

14.(2009 山东卷理)若函数 f(x)=a -x-a(a>0 且 a ? 1)有两个零点,则实数 a 的取值范围 是 .
x

【解析】 : 设函数 y ? a x (a ? 0, 且 a ? 1} 和函数 y ? x ? a , 则函数 f(x)=a -x-a(a>0 且 a ? 1) 有两个零点 , 就是函数 y ? a x (a ? 0, 且 a ? 1} 与函数 y ? x ? a 有两个交点 ,由图象 可知当 0 ? a ? 1 时两函数只有一个交点,不符合,当 a ? 1 时,因为函数 y ? a x (a ? 1) 的图象 过点(0,1),而直线 y ? x ? a 所过的点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点 .所以实 数 a 的取值范围是 a ? 1 答案: a ? 1 【命题立意】 :本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考 查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象解答. 十一、直线与圆 1.【2010?江苏卷】在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x 2 ? y 2 ? 4 上有且仅有四个点到直 线 12x-5y+c=0 的距离为 1,则实数 c 的取值范围是________ 【答案】 (-13,13) 【解析】 圆半径为 2,圆心(0,0)到直线 12x-5y+c=0 的距离小于 1,

|c| ? 1 , c 的取 13

值范围是(-13,13) 。
2 2 2. 【 2010 ? 四 川 文 数 】 直 线 x ? 2 y ? 5 ? 0 与 圆 x ? y ? 8 相 交 于 A 、 B 两 点 , 则

?AB ??
【答案】2 3

.

【解析】方法一、圆心为(0,0),半径为 2 2 圆心到直线 x ? 2 y ? 5 ? 0 的距离为 d=

| 0?0?5| 12 ? (?2)2

? 5

故?

| AB | ? ? ? ? ??? ? ?? 2 ?? ?
2 2

得|AB|=2 3 3. 【2010?上海文数】圆 C : x ? y ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 的圆心到直线 3x ? 4 y ? 4 ? 0 的距离

d?
【答案】3



用心

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20

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3 ?1 ? 4 ? 2 ? 4
【解析】圆心(1,2)到直线 3x ? 4 y ? 4 ? 0 距离为

5

?3

4.【2010?山东文数】已知圆 C 过点(1,0) ,且圆心在 x 轴的正半轴上,直线 l: y ? x ? 1 被该圆所截得的弦长为 2 2 ,则圆 C 的标准方程为 【答案】 5. (2008 江苏 18) (16 分) 设平面直角坐标系 xoy 中,设二次函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? b( x ? R) 的图像与两坐标轴有 三个交点,经过这三个交点的圆记为 C。求: (1)求实数 b 的取值范围 (2)求圆 C 的方程 (3)问圆 C 是否经过某定点(其坐标与 b 无关)?请证明你的结论。 【解析】 :本小题考查二次函数图像和性质、圆的方程的求法。 (1)令 x=0,得抛物线于 y 轴的交点是(0,b) 2 令 f(x)=0,得 x +2x+b=0,由题意 b≠0 且△>0,解得 b<1 且 b≠0 2 2 (2)设所求圆的一般方程为 x + y +Dx+Ey+F=0 2 2 令 y=0,得 x +Dx+F=0,这与 x +2x+b=0 是同一个方程,故 D=2,F=b 2 令 x=0,得 y + Ey+b=0,此方程有一个根为 b,代入得 E=-b-1 2 2 所以圆 C 的方程为 x + y +2x -(b+1)y+b=0 (3)圆 C 必过定点(0,1) , (-2,1) 2 2 证明如下:将(0,1)代入圆 C 的方程,得左边= 0 + 1 +2?0-(b+1)?1+b=0,右边 =0 所以圆 C 必过定点(0,1) ; 同理可证圆 C 必过定点(-2,1) 。 6.(2009 江苏 18) . (本小题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,已知圆 C1 : ( x ? 3)2 ? ( y ?1)2 ? 4 和圆 C2 : ( x ? 4)2 ? ( y ? 5)2 ? 4 . (1)若直线 l 过点 A(4, 0) ,且被圆 C1 截得的弦长为 2 3 ,求直线 l 的方程; (2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1 和 l2 ,它们分别 与圆 C1 和圆 C2 相交,且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等,试 求所有满足条件的点 P 的坐标。 【解析】 本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公 式,考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力。满分 16 分。 (1)设直线 l 的方程为: y ? k ( x ? 4) ,即 kx ? y ? 4k ? 0 由垂径定理,得:圆心 C1 到直线 l 的距离 d ? 42 ? ( .

2 3 2 ) ? 1, 2

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结合点到直线距离公式,得:

| ?3k ? 1 ? 4k | k 2 ?1
7 24

? 1, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

化简得: 24k ? 7k ? 0, k ? 0, or , k ? ?
2

求直线 l 的方程为: y ? 0 或 y ? ?

7 ( x ? 4) ,即 y ? 0 或 7 x ? 24 y ? 28 ? 0 24

(2) 设点 P 坐标为 (m, n) ,直线 l1 、 l2 的方程分别为:

1 1 1 y ? n ? k ( x ? m), y ? n ? ? ( x ? m) ,即: kx ? y ? n ? km ? 0, ? x ? y ? n ? m ? 0 k k k
因为直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等,两圆半径相等。由垂径 定理,得: :圆心 C1 到直线 l1 与 C2 直线 l2 的距离相等。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 故有: | ?3k ? 1 ? n ? km |

k 2 ?1

4 1 | ? ?5? n? m| k , ? k 1 ?1 k2

化简得: (2 ? m ? n)k ? m ? n ? 3, 或(m ? n ? 8)k ? m ? n ? 5 关于 k 的方程有无穷多解,有: ?

?2 ? m ? n ? 0 ?m-n+8=0 ,或 ? ?m ? n ? 3 ? 0 ?m+n-5=0

十二、数列 1. (2008 江苏 10)将全体正整数排成一个三角形数阵: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 。 。 。 。 。

n2 ? n ? 6 按照以上排列的规律,第 n 行( n ? 3 )从左向右的第 3 个数为 2 2.(2009 江苏卷)设 ?an ? 是公比为 q 的等比数列, | q |? 1 ,令 bn ? an ? 1(n ? 1, 2,?) ,若
数列 ?bn ? 有连续四项在集合 ??53, ?23,19,37,82? 中,则 6q = 【解析】 考查等价转化能力和分析问题的能力。等比数列的通项。 .

?an ? 有连续四项在集合 ??54, ?24,18,36,81? ,四项 ?24, 36,? 54,81成等比数列,公比为
3 q ? ? , 6q = -9 2
3.【2010?江苏卷) 】 函数 y=x (x>0)的图像在点(ak,ak )处的切线与 x 轴交点的横坐标为 ak+1,k 为正整数,a1=16,则 a1+a3+a5=_________
2

2

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22

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【答案】21 【解析】考查函数的切线方程、数列的通项。 在点(ak,ak )处的切线方程为: y ? ak 2 ? 2ak ( x ? ak ), 当 y ? 0 时,解得 x ?
2

ak , 2

所以 ak ?1 ?

ak , a1 ? a3 ? a5 ? 16 ? 4 ? 1 ? 21 。 2

4.(2011 江苏 13)设 1 ? a1 ? a2 ? ? ? a7 ,其中 a1 , a3 , a5 , a7 成公比为 q 的等比数列,

a2 , a4 , a6 成公差为 1 的等差数列,则 q 的最小值是________
答案:?qmin ? 3 3 解析:考察综合运用等差、等比的概念及通项公式,不等式的性质解决问题的能力,难题。 由 题 意 :

1 ? a1 ? a2 ? a1q ? a2 ?1 ? a1q2 ? a2 ? 2 ? a1q3



?a2 ? q ? a2 ? 1, a2 ? 1 ? q2 ? a2 ? 2
而? a2 ? 1 , a1 ?1 , ? a,2 a2 ? 1 , a2 2 ? q3 ? a2 ? 2 ? 3 , 5.(2009 浙江文)设等比数列 {an } 的公比 q ? 的最小值分别为 1, 2, 3; ?qmin ? 3 3 .

1 S ,前 n 项和为 Sn ,则 4 ? 2 a4

【命题意图】 此题主要考查了数列中的等比数列的通项和求和公式, 通过对数列知识点的考 查充分体现了通项公式和前 n 项和的知识联系.

a1 (1 ? q 4 ) s4 1 ? q4 3 【解析】对于 s4 ? , a4 ? a1q ,? ? 3 ? 15 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 1? q a4 q (1 ? q)
6(2009 山东卷文)在等差数列 {an } 中, a3 ? 7, a5 ? a2 ? 6 ,则 a6 ? __________ __ . 【解析】:设等差数列 {an } 的公差为 d ,则由已知得 ? 以 a6 ? a1 ? 5d ? 13 . 答案:13. 【命题立意】:本题考查等差数列的通项公式以及基本计算. 7(2009 江苏 17) (本小题满分 14 分) 设 ?an ? 是公差不为零的等差数列, Sn 为其前 n 项和,满足 a2 ? a3 ? a4 ? a5 , S7 ? 7 。
2 2 2 2

?

a1 ? 2d ? 7

?a1 ? 4d ? a1 ? d ? 6

解得 ?

? a1 ? 3 ,所 ?d ? 2

(1)求数列 ?an ? 的通项公式及前 n 项和 Sn ;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (2)试求所有的正整数 m ,使得

am am ?1 为数列 ?an ? 中的项。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m am ? 2
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用心

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【解析】 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识,考查运算和求解的能力。满 分 14 分。 (1)设公差为 d ,则 a2 为d 解
2 2 2 2 ,由性质得 ?3d (a4 ? a3 ) ? d (a4 ? a3 ) ,因 ? a5 ? a4 ? a3

? 0 ,所以 a4 ? a3 ? 0 ,即 2a1 ? 5d ? 0 ,又由 S7 ? 7 得 7a1 ?


7?6 d ?7, 2


a1 ? ?5

d ? 2,
(2) (方法一) 则

am am ?1 (2m ? 7)(2m ? 5) = ,设 2m ? 3 ? t ,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2m ? 3 am ? 2
所以 t 为 8 的约数

8 am am ?1 (t ? 4)(t ? 2) ? t ? ? 6, = t t am ? 2

(方法二)因为

am am?1 (am? 2 ? 4)(am? 2 ? 2) 8 为数列 ?an ? 中的项, ? ? am? 2 ? 6 ? am? 2 am? 2 am? 2



8 a m+2

为整数,又由(1)知: am?2 为奇数,所以 am?2 ? 2m ? 3 ? ?1,即m ? 1, 2

十三、圆锥曲线 1. (2008 江苏 12)在平面直角坐标系中,椭圆 圆心,a 为半径的圆,过点 ( c
a2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 2,以 O 为 a 2 b2


,0) 作圆的两切线互相垂直,则离心率 e =

【解析】本小题考查椭圆的基本量和直线与圆相切的位置关系。如图,切线 PA, PB 互相垂 直,又 OA ? PA ,所以 ?OAP 是等腰直角三角形,故

a2 c 2 ? 2a ,解得 e ? ? 。 c a 2

答案

2 2
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2. ( 2009 江 苏 卷 ) 如 图 , 在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中 , A1 , A2 , B1 , B为 2 椭 圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的四个顶点, F 为其右焦点,直线 A1B2 与直线 B1F 相交于点 T,线 a 2 b2 段 OT 与椭圆的交点 M 恰为线段 OT 的中点,则该椭圆的离心率为 .
【解析】 考查椭圆的基本性质,如顶点、焦点坐标,离心率的计算等。以及直线的方程。 直线 A1B2 的方程为: 直线 B1F 的方程为: 则M(

x y ? ? 1; ?a b x y 2ac b(a ? c ) ? ? 1 。二者联立解得: T ( , ), c ?b a?c a?c

x2 y 2 ac b(a ? c) , ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上, a b a ? c 2(a ? c)

c2 (a ? c) 2 ? ? 1, c 2 ? 10ac ? 3a 2 ? 0, e2 ? 10e ? 3 ? 0 , 2 2 (a ? c) 4(a ? c)
解得: e ? 2 7 ? 5 3.【2010?广东文数】若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的 离心率是 【答案】

3 5

4. 【2010?江苏卷】在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 标是 3,则 M 到双曲线右焦点的距离是__________ 【答案】4

x2 y2 ? ? 1 上一点 M,点 M 的横坐 4 12

MF 4 【解析】 考查双曲线的定义。 MF=4。 ? e ? ? 2 ,d 为点 M 到右准线 x ? 1 的距离,d =2, d 2
5. 【2010 ?江苏卷】在平面直角坐标系 xoy 中,如图,已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左、右顶 9 5

点为 A、B,右焦点为 F。设过点 T( t , m )的直线 TA、TB 与椭圆分别交于点 M ( x1 , y1 ) 、

N ( x2 , y 2 ) ,其中 m>0, y1 ? 0, y 2 ? 0 。
(1)设动点 P 满足 PF ? PB ? 4 ,求点 P 的轨迹;
2 2

(2)设 x1 ? 2, x 2 ?

1 ,求点 T 的坐标; 3

(3)设 t ? 9 ,求证:直线 MN 必过 x 轴上的一定点(其坐标

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与 m 无关) 。 【解析】 本小题主要考查求简单曲线的方程,考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查 运算求解能力和探究问题的能力。 解: (1)设点 P(x,y) ,则:F(2,0) 、B(3,0) 、A(-3,0) 。 由 PF ? PB ? 4 ,得 ( x ? 2)2 ? y 2 ? [( x ? 3)2 ? y 2 ] ? 4, 化简得 x ?
2 2

9 。 2

故所求点 P 的轨迹为直线 x ? (2) 将 x1 ? 2, x 2 ?

9 。 2

1 5 1 20 分别代入椭圆方程, 以及 y1 ? 0, y 2 ? 0 得: M (2, ) 、 N ( ,? ) 3 3 3 9 1 y ?0 x?3 直线 MTA 方程为: ,即 y ? x ? 1 , ? 5 3 ?0 2?3 3 5 5 y ?0 x ?3 直线 NTB 方程为: ,即 y ? x ? 。 ? 20 1 6 2 ? ?0 ?3 9 3

?x ? 7 ? 联立方程组,解得: ? 10 , y? ? 3 ?
所以点 T 的坐标为 (7,

10 )。 3

(3)点 T 的坐标为 (9, m)

y?0 x?3 m ? ( x ? 3) , ,即 y ? m?0 9?3 12 y ?0 x?3 m ? 直线 NTB 方程为: ,即 y ? ( x ? 3) 。 m?0 9?3 6
直线 MTA 方程为: 分别与椭圆

x2 y2 ? ? 1 联立方程组,同时考虑到 x1 ? ?3, x2 ? 3 , 9 5

3(80 ? m2 ) 40m 3(m2 ? 20) 20m , ) 、 N( ,? )。 解得: M ( 2 2 2 80 ? m 80 ? m 20 ? m 20 ? m2

20m 3(m2 ? 20) x ? 20 ? m2 20 ? m2 (方法一)当 x1 ? x2 时,直线 MN 方程为: ? 40m 20m 3(80 ? m2 ) 3(m2 ? 20) ? ? 80 ? m2 20 ? m2 80 ? m2 20 ? m2 y?
令 y ? 0 ,解得: x ? 1 。此时必过点 D(1,0) ; 当 x1 ? x2 时,直线 MN 方程为: x ? 1 ,与 x 轴交点为 D(1,0) 。
用心 爱心 专心 26

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所以直线 MN 必过 x 轴上的一定点 D(1,0) 。 (方法二)若 x1 ? x2 ,则由

240 ? 3m2 3m2 ? 60 ? 及 m ? 0 ,得 m ? 2 10 , 80 ? m2 20 ? m2

此时直线 MN 的方程为 x ? 1 ,过点 D(1,0) 。

若 x1 ? x2 ,则 m ? 2 10 ,直线 MD 的斜率 kMD

40m 2 10m , ? 80 ? m2 ? 240 ? 3m 40 ? m2 ?1 80 ? m2

直线 ND 的斜率 k ND

?20m ? m2 ? 10m ,得 k ? k ,所以直线 MN 过 D 点。 ? 20 MD ND 2 3m ? 60 40 ? m2 ?1 20 ? m2

因此,直线 MN 必过 x 轴上的点(1,0) 。 6(2011 江苏 18) (本小题满分 16 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,M、N 分别是椭圆

x2 y2 ? ? 1 的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于 P、A 两点,其中 P 在第一象限,过 P 作 4 2
x 轴的垂线,垂足为 C,连接 AC,并延长交椭圆于点 B,设直线 PA 的斜率为 k y (1)当直线 PA 平分线段 MN 时,求 k 的值; (2)当 k=2 时,求点 P 到直线 AB 的距离 d; (3)对任意 k>0,求证:PA⊥PB 解析: (1) (2)两题主要考察直线的斜率及其方程、点到直线距离公式、M 解方程组,是容易题; (3)是考察学生灵活运用共线问题、点在曲线上、 A 直线斜率、两条直线位置关系的判断、运算能力,是难题。

P B C x

N

2 2 (1)M(-2,0),N(0, ? 2 ),M、N 的中点坐标为(-1, ? ),所以 k ? 2 2

(第18题图)

(2)由

?
2 3

2 y ?2 x x? 2 4 2 4 2 y 3 即: ? x2 ? 2 y 2 ? 4 得 P( , ), A(? , ? ) , C ( , 0) ,AC 方程: 4 2 2 3 3 3 3 3 ? ? ? 3 3 3

y ? x?

2 4 2 ? ? 3 3 3 2 2 ? 所以点 P 到直线 AB 的距离 d ? 3 2
(3)法一:由题意设 P( x0 , y0 ), A(? x0 , ? y0 ), B( x1 , y1 ), 则C ( x0 ,0) ,

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? A、C、B 三点共线,?

y y ?y y1 ? 0 ? 1 0 , 又因为点 P、B 在椭圆上, x1 ? x0 2 x0 x1 ? x0

?

x0 2 y0 2 x ?x x2 y2 ? ? 1, 1 ? 1 ? 1 ,两式相减得: k PB ? ? 0 1 4 2 4 2 2( y0 ? y1 )

? kPAkPB ?
? PA ? PB

y0 x ?x ( y ? y )( x ? x ) [? 0 1 ] ? ? 1 0 0 1 ? ?1 x0 2( y0 ? y1 ) ( x1 ? x0 )( y0 ? y1 )

法二:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), A,B中点N(x 0 ,y0 ),则P(-x1, ? y1 ),C(-x1,0) ,

? A、C、B 三点共线,?

y2 y ?y y ? 2 1 ? 1 ? k AB , 又因为点 A、B 在椭圆上, x2 ? x1 x2 ? x1 2 x1

?

y x2 2 y2 2 x2 y2 1 ? ? 1, 1 ? 1 ? 1 ,两式相减得: 0 ? ? , 4 2 4 2 x0 2k AB y0 y1 1 ?? ? 2k AB ? ?1 ,? ON ? PB,? PA ? PB x0 x1 2k AB

? kON kPA ?

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