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2019_2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程章末复习课课件北师大版选修-PPT课件_图文

第二章 圆锥曲线与方程

章末复习课

学习目标
1.掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其应用,会用定义求标准

方程.
2.掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及其求法.

3.掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质,会利用几何性质解决
相关问题.

4.掌握简单的直线与圆锥曲线位置关系问题的解决方法.

内容索引

知识梳理

题型探究 当堂训练

知识梳理

知识点一

椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、简单性质

椭圆

双曲线

抛物线

平面内与两
的距离之和
x y y 2+ 2=1 或(大 2+ 等于常数 a b a x 1( a >2 b >0) 于 | F F |) 的点 2= 1 b
2 2 2 2

平面内到两定点
差的绝对值等于
x y y x 常数 = 1 或 2- 2 2- ( 2大于零且小 a b a b
2 2 2 2

个定点F1,F2 F1,F2的距离之 定义

平面内与一个
定点F和一条 定直线l(l不过

于 |F |)的点的 = 1(a >0 , b>0) 1F 2
集合

点F)距离相等
的点的集合

的集合

关系式

a2-b2=c2

a2+b2=c2 无限延展,但 无限延展,
b a y=± x 或 y=± x a b 有渐近线

图形

封闭图形
|x|≤a,

没有渐近线
x≥0或x≤0

变量范围

|y|≤b或

|y|≤a,
|x|≤b

|x|≥a或|y|≥a 或y≥0或 y≤0

顶点 离心率

四个
c ,且 e= a

两个
c ,且 e= a

一个 e=1

0<e<1

e>1

决定形状的 e决定扁平程 e决定开口 2p决定开口

因素



大小

大小

知识点二

椭圆的焦点三角形

x2 y2 设P为椭圆 2+ 2 =1(a>b>0)上任意一点(不在x轴上),F1,F2为焦点且 a b ∠F1PF2=α,则△PF1F2为焦点三角形(如图).

α (1)焦点三角形的面积 S=b tan . 2
2

(2)焦点三角形的周长 L=2a+2c.

知识点三

双曲线及渐近线的设法技巧

1.由双曲线标准方程求其渐近线方程时,最简单实用的办法是:把标准方 x2 y2 程中的 1 换成 0, 即可得到两条渐近线的方程.如双曲线 2- 2=1(a>0, b>0) a b b 2 2 x y y2 x2 ±x 的渐近线方程为 2- 2=0(a>0, b>0), 即 y= a ; 双曲线 2- 2=1(a>0, a b a b a 2 2 y x ±x b>0)的渐近线方程为 2- 2=0(a>0,b>0),即 y= b . a b x2 y2 x y 2- 2= a b 2.如果双曲线的渐近线为 ± =0 时,它的双曲线方程可设为_________ a b

λ(λ≠0) _______.

知识点四

求圆锥曲线方程的一般步骤

一般求已知曲线类型的曲线方程问题,可采用“先定形,后定式,再定
量”的步骤. (1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置. (2)定式——根据“形”设方程的形式,注意曲线系方程的应用,如当椭 圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时,可设方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0). (3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系,通过解 方程得到量的大小.

知识点五

三法求解离心率

1.定义法:由椭圆(双曲线)的标准方程可知,不论椭圆(双曲线)的焦点在x 轴上还是y轴上,都有关系式a2-b2=c2(a2+b2=c2)以及e= c ,已知其中的 a 任意两个参数,可以求其他的参数,这是基本且常用的方法. 2.方程法:建立参数a与c之间的齐次关系式,从而求出其离心率,这是求 离心率的十分重要的思路及方法.

3.几何法:求与过焦点的三角形有关的离心率问题,根据平面几何性质以
及椭圆(双曲线)的定义、几何性质,建立参数之间的关系,通过画出图形,

观察线段之间的关系,使问题更形象、直观.

知识点六

直线与圆锥曲线位置关系

1.直线与双曲线、直线与抛物线有一个公共点应有两种情况:一是相切; 二是直线与双曲线的渐近线平行、直线与抛物线的对称轴平行.

2.直线与圆锥曲线的位置关系,涉及函数、方程、不等式、平面几何等
诸多方面的知识,形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度

等多种问题.解决此类问题应注意数形结合,以形辅数的方法;还要多结
合圆锥曲线的定义,根与系数的关系以及“点差法”等.

题型探究

类型一

圆锥曲线定义的应用

x2 y2 例1 若F1,F2是双曲线 - =1的两个焦点,P是双曲线上的点,且 9 16 |PF1|· |PF2|=32,试求△F1PF2的面积. 解答

引申探究
将本例的条件|PF1|· |PF2|=32改为|PF1|∶|PF2|=1∶3,求△F1PF2的面积 . 解答
? ? ?|PF2|=3|PF1|, ?|PF1|=3, 由条件知? 所以? ? ? ?|PF2|-|PF1|=2a=6, ?|PF2|=9,

|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2 9+81-100 5 所以 cos ∠F1PF2= = =- . 27 2|PF1||PF2| 2×3×9
8 11 1 所以 sin ∠F1PF2= ,所以 S △ F1 PF2 = |PF1|· |PF2|· sin ∠F1PF2 27 2 1 8 11 = ×3×9× =4 11.即△F1PF2 的面积为 4 11. 2 27

反思与感悟

涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时,常用定义

结合解三角形的知识来解决.

跟踪训练 1

2 x2 x 2 2 已知椭圆 +y =1(m>1)和双曲线 -y =1(n>0)有相同的焦 m n

点 F1,F2,P 是它们的一个交点,则△F1PF2 的形状是 答案

解析

A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.随m,n变化而变化

类型二

圆锥曲线的性质及其应用

x2 y2 x2 例 2 (1)已知 a>b>0,椭圆 C1 的方程为 2+ 2=1,双曲线 C2 的方程为 2 a b a y2 3 - 2=1,C1 与 C2 的离心率之积为 ,则 C2 的渐近线方程为 答案 解析 2 b A.x± 2y=0 C.x± 2y=0 B. 2x± y=0 D.2x± y=0

2 x (2)已知抛物线y2=4x的准线与双曲线 2 -y2=1交于A,B两点,点F为抛物 a 6 线的焦点,若△FAB为直角三角形,则该双曲线的离心率是____.

答案

解析

抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,又△FAB为直角

三角形,则只有∠AFB=90°,如图,
则A(-1,2)应在双曲线上,
1 代入双曲线方程可得 a = , 5
2

于是 c= a +1=
2

c 6 . 故 e=a= 6. 5

反思与感悟

有关圆锥曲线的焦点、离心率、渐近线等问题是考试中常见的问题,
只要掌握基本公式和概念,并且充分理解题意,大都可以顺利解决.

x2 跟踪训练2 如图,F1,F2是椭圆C1: +y2=1 4 与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在

第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形,

则C2的离心率是 答案
A. 2 3 C. 2

解析

B. 3 6 D. 2

类型三
例3

直线与圆锥曲线的位置关系

x2 y2 已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上的点 P 到左,右两焦点 F1,F2 的距离之 a b

2 和为 2 2,离心率为 . 2

(1)求椭圆的标准方程; 解答
由题意知,|PF1|+|PF2|=2a=2 2,所以 a= 2. c 2 2 又因为 e= = ,所以 c= × 2=1, 2 a 2 x 所以 b =a -c =2-1=1,所以椭圆的标准方程为 +y2=1. 2
2 2 2 2

(2)过右焦点F2的直线l交椭圆于A,B两点,若y轴上一点M(0, 3 )满足 7 |MA|=|MB|,求直线l的斜率k的值. 解答

反思与感悟
解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似,一般有两种方法:

(1)函数法:用其他变量表示该参数,建立函数关系,利用求函数值域
的方法求解. (2)不等式法:根据题意建立含参数的不等关系式,通过解不等式求参 数范围.

跟踪训练 3

如图,焦距为 2 的椭圆 E 的两个顶点

→ 分别为 A,B,且AB与 n=( 2,-1)共线. 解答

(1)求椭圆E的标准方程;

因为2c=2,所以c=1.
→ → 又AB=(-a,b),且AB∥n,
所以 2b=a,所以 2b2=b2+1, 所以b2=1,a2=2.

x2 2 所以椭圆 E 的标准方程为 +y =1. 2

(2) 若直线 y = kx + m 与椭圆 E 有两个不同的交点 P 和 Q ,且原点 O 总在以
PQ为直径的圆的内部,求实数m的取值范围. 解答

当堂训练

2 y 2 1.双曲线 x - =1 的离心率大于 2的充要条件是 答案 m 1 A.m> B.m≥1 2

解析

C.m>1 √

D.m>2

2 y 双曲线 x2- =1 的离心率 e= 1+m. m

又因为 e> 2,所以 1+m> 2,所以 m>1.

1

2

3

4

5

2.中心在原点,焦点在x轴上,若长轴长为18,且两个焦点恰好将长轴三等 分,则此椭圆的方程是 答案
解析



x2 y2 A. + =1 81 72 x2 y2 C. + =1 81 25

x2 y2 B. + =1 81 9 x2 y2 D. + =1 81 36

∵两焦点恰好将长轴三等分,2a=18,
1 ∴2c= ×2a=6,∴c=3,又 b2=a2-c2=72, 3 x2 y2 故椭圆的方程为 + =1. 81 72
1 2 3 4 5

x2 y2 3.设椭圆 2+ 2=1 (m>0,n>0)的右焦点与抛物线 y2=8x 的焦点相同, m n 1 离心率为 ,则此椭圆的方程为 答案 2 x2 y2 A. + =1 12 16 x2 y2 C. + =1 48 64
解析



x2 y2 B. + =1 16 12 x2 y2 D. + =1 64 48

1

2

3

4

5

4.已知点 A (-2 , 3)在抛物线 C :y2=2px(p >0)的准线上,过点 A 的直线与 C 在第一象限相切于点 B,记 C 的焦点为 F,则直线 BF 的斜率为 1 A. 2 2 B. 3 3 C. 4



4 D. 3

答案

解析

1

2

3

4

5

5.点 P(8, 1)平分双曲线 x2-4y2=4的一条弦,则这条弦所在直线的方程

2x-y-15=0 答案 是_____________.

解析

设弦的两个端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),
2 2 2 则 x2 - 4 y = 4 , x - 4 y 1 1 2 2=4,

两式相减得,(x1+x2)(x1-x2)-4(y1+y2)(y1-y2)=0.

因为线段AB的中点为P(8,1),所以x1+x2=16,y1+y2=2.
y1-y2 x1+x2 所以 = =2. 所以直线AB的方程为y-1=2(x-8), x1-x2 4?y1+y2?

代入x2-4y2=4,满足Δ>0.即直线方程为2x-y-15=0.
1 2 3 4 5

规律与方法
在解决圆锥曲线问题时,待定系数法,“设而不求”思想,转化与化归 思想是最常用的几种思想方法,设而不求,在解决直线和圆锥曲线的位

置关系问题中匠心独具,很好地解决了计算的繁杂、琐碎问题.

本课结束



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