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高中数学解答题训练之数列(一)含答案


限时规范训练四





(建议用时 45 分钟) 解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 1.全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标.根据 相关报道提供的全网传播 2015 年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合 指数的数据,对名列前 20 名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计, 结果如下表所示. 组号 1 2 3 4 分组 [4,5) [5,6) [6,7) [7,8] 频数 2 8 7 3

(1)现从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取 2 家进行调 研,求至少有 1 家的融合指数在[7,8]内的概率; (2)根据分组统计表求这 20 家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数. 解: (1)融合指数在[7,8]内的“省级卫视新闻台”记为 A1, A2, A3; 融合指数在[4,5) 内的“省级卫视新闻台”记为 B1,B2,从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视 新闻台”中随机抽取 2 家的所有基本事件是: {A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},{A3, B1},{A3,B2},{B1,B2},共 10 个. 其中,至少有 1 家融合指数在[7,8]内的基本事件是:{A1,A2},{A1,A3},{A2, A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},共 9 个. 9 所以所求的概率 P=10. (2)这 20 家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于 2 8 7 3 4.5×20+5.5×20+6.5×20+7.5×20=6.05. 2.小昆和小明相约玩一种“造数”游戏,游戏规划如下:同时抛掷一枚均匀的 硬币和一枚均匀的骰子,硬币的正、反面分别表示“新数”的符号(约定硬币正 面向上记为“+”号,反面向上记为“-”号),与骰子投出面朝上的数字组合

成一个“新数”;如抛掷结果为硬币反面向上,骰子面朝上的数字是“4”,记为 “-4”. (1)利用树状图或列表的方法(只选其中一种)表示出游戏可能出现的所有结果; (2)写出组合成的所有“新数”; (3)若约定投掷一次的结果所组合的“新数”是 3 的倍数,则小昆获胜;若是 4 或 5 的倍数,则小明获胜.你觉得他们的约定公平吗?为什么? 解:(1)根据题意画树状图如下:

(2)组成的新数为 1,2,3,4,5,6,-1,-2,-3,-4,-5,-6. (3)所有的组合成的新数中是 3 的倍数的有 3,6,-3,-6 这四个,因此 P(3 的倍 4 1 数)=12=3,是 4 或 5 的倍数的有 4,5,-4,-5 这四个,因此 P(4 或 5 的倍数) 4 1 =12=3所以他们的约定公平. 3.(2016· 贵州贵阳市测试)据报道,全国很多省市将英语考试作为高考改革的重 点, 一时间“英语考试该如何改”引起广泛关注. 为了解某地区学生和包括老师、 家长在内的社会人士对高考英语改革的看法,某媒体在该地区选择了 3 600 人进 行调查,就“是否取消英语听力”问题进行了问卷调查统计,结果如下表: 态度 调查人群 在校学生 社会人士 应该取消 2 100 人 600 人 应该保留 120 人 x人 无所谓 y人 z人

已知在全体样本中随机抽取 1 人,抽到持“应该保留”态度的人的概率为 0.05. (1)现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取 360 人进行问卷访谈,问应

在持“无所谓”态度的人中抽取多少人? (2)已知 y≥657, z≥55, 若所选择的在校学生的人数低于被调查人群总数的 80%, 则认为本次调查“失效”,求本次调查“失效”的概率. 120+x 解:(1)因为抽到持“应该保留”态度的人的概率为 0.05,所以 3 600 =0.05,解 得 x=60. 所以持“无所谓”态度的人数共有 3 600-2 100-120-600-60=720, 360 所以应在持“无所谓”态度的人中抽取 720×3 600=72 人. (2)因为 y+z=720, y≥657, z≥55, 所以满足条件的(y, z)有: (657,63), (658,62), (659,61),(660,60),(661,59),(662,58),(663,57),(664,56),(665,55),共 9 种. 记本次调查“失效”为事件 A, 若调查“失效”,则 2 100+120+y<3 600×0.8,解得 y<660. 所以事件 A 包含:(657,63),(658,62),(659,61),共 3 种. 3 1 所以 P(A)=9=3. 4.为了吸引更多的优季学子,全国重点大学每年都会开展“夏令营活动”,据 悉甲、乙两所高校共收 1 000 名学生,分三个批次开展“夏令营活动”,每名学 生只能参加其中一校“夏令营活动”的某一个批次,时间先后安排在暑假、国庆 节、寒假期间,参加两校“夏令营活动”的学生人数如表所示: 第一批次 甲 乙 200 150 第二批次 x 160 第三批次 y z

已知在参加两校“夏令营活动”的 1 000 名学生中随机抽取 1 人,第二批次参加 甲大学“夏令营活动”的频率是 0.21. (1)现按批次用分层抽样的方法在所有学生中抽取 50 人,求应在第三批次参加 “夏令营活动”的学生中抽取的人数; (2)已知 135≤y≤150, 求第三批次参加“夏令营活动”的学生中参加甲大学“夏 令营活动”的人数比参加乙大学“夏令营活动”的人数多的概率. x 解:(1)由题意知1 000=0.21,解得 x=210,

第三批次参加“夏令营活动”的人数为 y+z=1 000-(150+200+160+210)= 280. 现用分层抽样的方法在所有学生中抽取 50 名,应在第三批次参加 “夏令营活 50 动”的学生中抽取的人数为1 000×280=14. (2)第三批次参加“夏令营活动”的学生中参加甲大学“夏令营活动”的人数和 参加乙大学“夏令营活动”的人数记为(y,z), 由(1)知 y+z=280,且 y,z∈N*, 则总的基本事件有(135,145), (136,144), (137,143), (138,142), (139,141), (140,140), (141,139),(142,138),(143,137),(144,136),(145,135),(146,134),(147,133), (148,132),(149,131),(150,130),共 16 个. 设“第三批次参加‘夏令营活动’的学生中参加甲大学‘夏令营活动’的人数 比参加乙大学“夏令营活动”的人数多为事件 A,则事件 A 包含的基本事件有 (141,139),(142,138),(143,137),(144,136),(145,135),(146,134),(147,133), (148,132),(149,131),(150,130),共 10 个, 10 5 所以 P(A)=16=8.


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