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知识总结椭圆最值问题

专 题:椭 圆 最 值 椭
焦点三角形角度最值-------最大角法(求离心率问题) -------最大角法 类型 1:焦点三角形角度最值-------最大角法(求离心率问题) 2 2 x y 1. 已知椭圆 C: 2 + 2 = 1( a > b > 0) 两个焦点为 F1 , F2 ,如果曲线 C 上存在一点 Q,使 F1Q ⊥ F2Q ,求椭 a b 圆离心率的最小值。 2. F1、F2 为椭圆 {

2 } 2

x2 y2 + = 1(a > b > 0 ) 的左、右焦点,如果椭圆上存在点 P ,使 ∠F1 PF2 = 90° a 2 b2 ? 2 ? 求离心率 e 的取值范围。 (思考:将角度改成 150) {? ,} 1? 2 ? ? ? 2 2 x y 0 3. 若 A, B 为椭圆 2 + 2 = 1( a > b > 0) 的长轴两端点,Q 为椭圆上一点,使 ∠AQB = 120 ,求此椭圆 a b 6 离心率的最小值。 { ≤ e < 1} 3

类型 2:一动点两定点最值 ① | MP | +

1 | MF | :最小值为 M 到对应准线的距离-----运用第二定义,转点距到线距突破 到对应准线的距离-----运用第二定义, -----运用第二定义 e

︱:最大值 2a+︱ 2a– ---运用第一定义 运用第一定义, ②︱MP︱+︱MF2︱:最大值 2a+︱PF1︱,最小值 2a–︱PF1︱---运用第一定义,变加为减突破 MP︱

x2
1. 若椭圆

4

+

y2 3

= 1 内有一点 P (1,1) , F 为右焦点,椭圆上的点 M 使得 | MP | +2 | MF | 的值最小,
(思考 思考:将题中的 2 去掉会怎样呢?) 思考

则点 M 的坐标为 2. 已知 A( ?2, 3) , F是 时点 M 的坐标。

(

2 6 3

,1)

x2 y2 + = 1 的右焦点,点 M 为椭圆的动点,求 MA + 2 MF 的最小值,并求出此 16 12

x2 y2 5 + = 1 的上一点, F1 、 F2 为左右焦点;且 A(1,2) 求 | MA | + | MF1 | 的最小值 3 点 M 为椭圆 25 16 3
(提升: | MA | + 1 | MF |=| MA | + | MM ' |=| AM ' | 第二定义 提升: 第二定义) 提升 1

e

4. 定点 A(2, 1) , F1 为椭圆 C : 5. P(-2, 3 ),F2 为椭圆

x y + = 1 的左焦点,点 P 为 C 上,则 3 | PA | +5 | PF1 | 的最小值 25 16

2

2

x2 y2 + = 1 的右焦点,点 M 在椭圆上移动,求︱MP︱+︱MF2︱的最值 25 16
( 第一定义法 )

(提示: 2a- | PF1 |≤| MP | + | MF2 |= 2a + | MP | ? | MF1 |≤ 2a + | PF1 | 提示: 提示
2 2

最大值 12,最小值 8

6. P(-2,6),F2 为椭圆

x y + = 1 的右焦点,点 M 在椭圆上,求︱MP︱+︱MF2︱最值。 25 16 最大值 10+ 37 ,最小值 61

7.

是双曲线

=1 的左、右焦点,M(6,6)为双曲线内部的一点,P 为双曲线右支上的一

点,求:(1)

的最小值;(2)

的最小值。

(1)8(2)11/2

点到线最值-----------------参数法 类型 3:点到线最值---------参数法 1、求椭圆

x2 + y 2 = 1 上点 M(x,y)到直线 l:x+2y=4 的距离的最值。 4 2 2 2. 椭圆 7 x + 4 y = 28 上的点到直线 l : 3 x ? 2 y ? 16 = 0 的距离最短.

{ 4 5 + 2 10 , 4 5 ? 2 10 }
5 24 10 13 10 (?2 2 ,? 2 )

5

3. 椭圆

x2 y 2 + = 1 上的点到直线 x + 2 y ? 2 = 0 的最大距离及相应坐标. 16 4

面积最值(组合式)---------参 类型 4:面积最值(组合式)---------参数法 1. 椭圆

x2 + y 2 = 1 的内接矩形面积的最大值. 2 2 2 x2 y 2 2. 点 P 在椭圆 + = 1 上运动,则 x ? y 的最大值。 10 25 16 x2 y2 3. 椭圆 2 + 2 = 1 与 x 轴、y 轴正方向相交于 A、B 两点,在椭圆的劣弧 AB(第一象限内)上取一点 C, a b
使四边形 OACB 的面积最大,求最大面积。 4.设 P ( x, y ) 是椭圆 小值是 。

x2 y 2 + = 1 上一点,那么 2 x ? 2 y 的最大值是 64 36

. x 2 + y 2 的最大值是 20, 36, 64



分式最值-----------------斜率法 类型 5:分式最值---------斜率法

y ?1 最大值为_____ _,最小值为___ __. 2 + 13 , 2 ? 13 x?2 3 3 x2 y2 y + = 1 上,求 最大值为_____ _,最小值为___ __. 0 2、若点 ( x, y ) 在椭圆 4 1 x ?3
1、 若点 ( x, y ) 在椭圆 4 x 2 + y 2 = 4 上,求 点到点最值-----------------二次函数法 类型 6:点到点最值---------二次函数法 1、求定点 A(2,0)到椭圆

x2 y2 + = 1 )上的点之间的最短距离。 16 9

2

种雨辛

赶明亮

最值问题: :距离最值(点到点,点到线) : 最值问题: 1:距离最值(点到点,点到线) 2:离心率最值 3:斜率最值 3:面积最值 : :

7
2 2 ? 2b2 ? 14、 定长为 d ? d ≥ ? 的线段 AB 的两个端点分别在椭圆 x2 + y2 = 1 (a > b > 0) 上 a ? ? a b 移动,求 AB 的中点 M 到右准线 l 的最短距离。

专题:椭圆最值问题 专题 椭圆最值问题
x
1、若椭圆
2

4

+

y

2

3

= 1 内有一点 P (1,1) , F 为右焦点,椭圆上的点 M 使得 | MP | +2 | MF | 的值最小,
(思考:将题中的 2 去掉会怎样呢?)

则点 M 的坐标为 2. 已知 A( ?2, 3) , F是 此时点 M 的坐标。 3 已知点 M 为椭圆 求 | MA | +
2 2

x y + = 1 的右焦点,点 M 为椭圆的动点,求 MA + 2 MF 的最小值,并求出 16 12

x2 y2 + = 1 的上任意一点, F1 、 F2 分别为左右焦点;且 A(1,2) 25 16

5 1 | MF1 | 的最小值 (提升: | MA | + | MF |=| MA | + | MM ' |=| AM ' | 第二定义 提升: 第二定义) 提升 1 3 e x2 y2 4、 P(-2, 3 ),F2 为椭圆 + = 1 的右焦点,点 M 在椭圆上移动,求︱MP︱+︱MF2︱的最值 25 16
(提示: 2a- | PF1 |≤| MP | + | MF2 |= 2a + | MP | ? | MF1 |≤ 2a + | PF1 | 提示:
2 2

第一定义法 )

{12, 8}

x y + = 1 的右焦点,点 M 在椭圆上移动,求︱MP︱+︱MF2︱的最值。 25 16 x2 y2 6、求定点 A(2,0)到椭圆 + = 1 )上的点之间的最短距离。 16 9
5、P(-2,6),F2 为椭圆 7. 是双曲线 =1 的左、右焦点,M(6,6)为双曲线内部的一点,P 为双曲线右支上的一

点,求:(1)
2

的最小值;(2)

的最小值。答案: (1)8(2)11/2
5 + 2 10 , 4 5 ? 2 10 } 5 5 (点到直线最值问题----平移法) 点到直线最值问题 平移法) 平移法

8、求椭圆

x + y 2 = 1 上点 M(x,y)到直线 l:x+2y=4 的距离的最值。{ 4 4

9、若点 ( x, y ) 在椭圆 4 x 2 + y 2 = 4 上,求 10、已知椭圆 C:

y ?1 最大值为_____ _,最小值为___ __.(分式最值类 斜率法 分式最值类---斜率法 分式最值类 斜率法) x?2

x2 y 2 + = 1( a > b > 0) 两个焦点为 F1 , F2 ,如果曲线 C 上存在一点 Q,使 F1Q ⊥ F2Q ,求 a2 b2

椭圆离心率的最小值。{

2 } 2

x2 y2 + = 1(a > b > 0 ) 的左、右焦点,如果椭圆上存在点 P ,使 ∠F1 PF2 = 90° a 2 b2 ? 2 ? 求离心率 e 的取值范围。{ ? (焦点三角形问题) 焦点三角形问题) ,} 1? 2 ? ? ? x2 y2 12、若 A, B 为椭圆 2 + 2 = 1( a > b > 0) 的长轴两端点, Q 为椭圆上一点,使 ∠AQB = 120 0 ,求此椭 a b 6 圆离心率的最小值。{ ≤ e < 1} 3 x2 y2 13、在直线 l : x ? y + 9 = 0 上任意取一点 M ,经过 M 点且以椭圆 + = 1 的焦点为焦点作椭圆,问 12 3 当 M 在何处时,所作椭圆的长轴最短,并求出最短长轴为多少?(平移法) 平移法)
11、 F1、F2 为椭圆
2 2 2b2 ? ? 的线段 AB 的两个端点分别在椭圆 x2 + y2 = 1 (a > b > 0) 上 a ? a b 移动,求 AB 的中点 M 到右准线 l 的最短距离。 x2 y 2 + = 1 上运动,则 x ? y 的最大值是 。(参数法) -(参数法) 15. 点 P 在椭圆 25 16

14、 定长为 d ? d ≥

? ?

y ?1 最大值为_____ _,最小值为___ __(.斜率法) 斜率法) x?2 17.在椭圆 7 x 2 + 4 y 2 = 28 8 上求一点,使它到直线 l : 3 x ? 2 y ? 16 = 0 的距离最短的点的坐标,并求此最短距
2 2 16. 16.若点 ( x, y ) 在椭圆 4 x + y = 4 上,求

离. (平移法) 平移法) 18.椭圆

x2 y 2 + = 1 上的点到直线 x + 2 y ? 2 = 0 的距离最大的点的坐标是____最大距离是____. 平移法) (平移法) 16 4 x2 y2 19.椭圆 2 + 2 = 1 与 x 轴、y 轴正方向相交于 A、B 两点,在椭圆的劣弧 AB(即第一象限内)上取一点 a b
C,使四边形 OACB 的面积最大,求最大面积。 (面积最值问题 参数法) 面积最值问题---参数法

最值问题: :距离最值(点到点,点到线) : 最值问题: 1:距离最值(点到点,点到线) 2:离心率最值 3:斜率最值 3:面积最值 : :

钟雨辛 张文号

韦凯译

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梁智奇



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