9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

2014高考数学必考点解题方法秘籍 递推数列 理

2014 高考理科数学必考点解题方法秘籍:递推数列

1 一阶递推数列 我们首先回顾递推数列的定义,参见文献[1]。 定义 1 对于任意 n ? N , 由递推关系
?

an ? k ? f (an ? k ?1 , an ? k ? 2, ? an )

确定的数列

?an ?成为递推

数列(或递归数列) , k 为阶数。若 f 是线性的,则称此数列为线性递推数列,否则称为非线 性递推数列。 本节通过分析几种一阶递推数列类型,给出其的求通项公式方法,并分析两种常见方法的区 别和联系。 1.1 一阶线性递推数列 本节主要讨论下面两种一阶线性递推数列。等差数列、等比数列[2]作为最基本的一阶线性递 推数列由于篇幅所限,在这里不再赘述。 1.1.1

an ?1 ? an ? f (n) 类

这类递推数列的解题方法与等差数列求通项公式的方法一样,都是叠加法,下面就以高 考题为例来说明其解题方法和过程。 例(2007 北京高考理第 15 题) 数列

?an ? 中, a1 ? 2 , an?1 ? an ? cn ( c 是常数, ) ,且

a1,a2,a3 成公比不为 1 的等比数列.
(I)求 c 的值; (II)求

?an ? 的通项公式.
a1 ? 2 , a2 ? 2 ? c , a3 ? 2 ? 3c ,因为 a1 , a2 , a3 成等比数列,所以

解(I)由题知:

(2 ? c) 2 ? 2(2 ? 3c) ,
解得 c ? 0 或 c ? 2 . 当 c ? 0 时,

a1 ? a2 ? a3 ,不符合题意舍去,故 c ? 2 . a2 ? a1 ? c , a3 ? a2 ? 2c , ?? an ? an ?1 ? (n ? 1)c ,所以

(II)当 n ≥ 2 时,由于

an ? a1 ? [1 ? 2 ? ? ? (n ? 1)]c ?


n(n ? 1) c 2 .

a1 ? 2 , c ? 2 ,故

-1-

an ? 2 ? n(n ? 1) ? n 2 ? n ? 2(n ? 2, 3, ?) .
当 n ? 1 时,上式也成立,所以 1.1.2

an ? n 2 ? n ? 2(n ? 1, 2, ?) .

an ?1 ? pan ? q, ( pq ( p ? 1) ? 0) 类

此类递推数列是高考最常见的一种,可以用两种方法进行解答,下面我们先来解出他的 通项公式,然后通过典型例题运用两种方法来解析。 定理 1.1 已知递推数列

a1 ? a, an ?1 ? pan ? q, ( pq ( p ? 1) ? 0) , 则通项公式为

an ? ?ap n ? (a ? q ) p n?1 ? q ? ( p ? 1) .
证明:由

an?1 ? pan ? q (n ? 1)



an ? pan?1 ? q (n ? 2) .
从而

an?1 ? an ? p (an ? an?1 )(n ? 2) .
故而数列 ?an?1 ? an ?是首项为 ( p ? 1) a ? q 、 公比为

p 的等比数列, 由等比数列通项公式可证。

1.1.2.1 构造法 构造法是利用初等代数的思想,通过待定系数法构造一个新的等比数列并求出系数,从 而利用等比数列的性质求出原来递推数列的通项公式。 例 (2007 全国高考 ? 理第 22 题) 已知数列 求

?an ?中 a1 ? 2 , an?1 ? ( 2 ? 1)(an ? 2) ,

?an ?的通项公式

解:由题知:

an ?1 ? ( 2 ? 1)(an ? 2) ? ( 2 ? 1)(an ? 2) ? ( 2 ? 1)(2 ? 2)

? ( 2 ? 1)(an ? 2) ? 2 .


an ?1 ? 2 ? ( 2 ? 1)(an ? 2)
所以数列



?a

n

? 2

? 是首项为 2 ?

a 2, 公比为 2 ? 1 的等比数列. 故 n

? 2 ? 2( 2 ? 1) n



a 即 n 的通项公式为
n ? an ? 2 ? ?( 2 ? 1) ? 1? .

1.1.2.2 特征方程法(不动点法) 特征方程法是构造法的简化,省去了繁琐的推导计算过程,在节约宝贵的考试时间的同

-2-

时,也有效避免了在繁琐计算中出现错误的可能性。 定 理 1.2[3] 已知

a1 ? a, an?1 ? pan ? q,

其中

pq ( p ? 1) ? 0

,称方程

x ? px ? q 为数列 ?an ?的特征方程,设特征方程的根为 x? ( x? 称为不动点) ,则
(1)当 (2)当

x? ? a1 时,数列 ?an ?为常数列, an ? a1 ; x? ? a1 时,数列 ?an ? x??是公比为 p 的等比数列,
an ? ?ap n ? (a ? q ) p n?1 ? q ? ( p ? 1)

通项公式为:

证明:由构造法知:存在等比数列

?an ? x??,又比较系数得 x? ? px? ? q ,
x? ? q 1? p
,代入可证:



x? 是方程 x ? px ? q 的根.解得

(1)当 (2)当

x? ? a1 时,数列 {an } 为常数列, an ? a1 ;

x? ? a1 时,数列 ?an ? x??是公比为 p 的等比数列.

故得通项公式为:

an ? ?ap n ? (a ? q ) p n?1 ? q ? ( p ? 1) .

1.2 一阶非线性递推数列 一阶非线性递推数列主要有三种类型,下面我们通过典型题例对这三种类型进行解法说 明。 1.2.1

an ?1 ? f (n) ? an 类
a1 ? 1 2n ? 1 an ?1 ? an 3, 2n ? 1 (n ? 2) ,求 ?an ?的通项公式.

例 已知 解:由于

an ?1 an an ?1 a 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 3 3 3 ? ? ?? ? 2 ? ? ? ?? ? ? an an ?1 an ? 2 a1 2n ? 1 2n ? 3 2n ? 5 5 2n ? 1
an ? a1 ? 3 1 ? 2n ? 1 2n ? 1 .



1.2.2

an ?1 ? pan ? f (n) 且 p( p ? 1) ? 0, f (n) ? c 类

f (n) 有大概三种形式: kn ? b(k ? b ? 0), an 2 ? bn ? c(a ? 0), b n 。
例 已知

a1 ? 1, an ?1 ? 2an ? 3n ? 1

,求

?an ?的通项公式.
-3-

解: 构造等比数列

?an ? ?n ? ? ? ,使得
? ? ?3, ? ? ?2 .

an ?1 ? ? (n ? 1) ? ? ? 2(an ? ?n ? ? ) .
对应系数相等可解得: 故

an ? 5 ? 2 n ?1 ? 3n ? 2 .
例[4] 已知

a1 ? 2, an ?1 ? 3an ? 2n 2 ? n ,求 ?an ?的通项公式.

解: 构造等比数列

?a

n

? ?n 2 ? ?n ? ? ?,使得

an ?1 ? ? (n ? 1) 2 ? ? (n ? 1) ? ? ? 3(an ? ?n 2 ? ?n ? ? )

? ? ?1, ? ? ? , ? ?
对应系数相等可解得: 故

3 2

5 4.

an ?

13 n ?1 2 3 5 ?3 ? n ? n ? 4 2 4.
a1 ? 5, an ?1 ? 2an ? 3n ,求 ?an ?的通项公式.
n ?1

例 已知

解: 两边同除 3



an ?1 2 an 1 ? ? ? 3n ?1 3 3n 3
bn ? an 3n



可得

2 1 bn ?1 ? bn ? 3 3
由构造法可得

?2? bn ? ? ? ? 1 ?3?
代入

n

an ? 3n bn



a n ? 3n ? 2 n .

-4-

1.2.3

k an ?1 ? pan , p ? o, k ? (k ? 1) ? 0, a1 ? 0 类
3 a1 ? 1, an ?1 ? 4an ?a ? ,求 n 的通项公式.

例 已知

解:显然

an ? 0 ,两边同去对数得

lg an ?1 ? lg 4 ? 3 lg an


bn ? lg an ,则 bn ?1 ? lg 4 ? 3bn 转化为一阶线性递推数列.
n ?1

解得

an ? 2 3 ? 1 .
2 二阶递推数列 著名的斐波那契数列[5]就是二阶递推数列,常见的二阶递推数列往往也是线性递推数 列,非线性的可以参照一阶递推数列转化思想转化为二阶线性递推数列,从而求出通项公式。 本节分别用构造法和特征方程法求解斐波那契数列,分析两种方法的区别和联系。 斐波那契数列 2.1 构造法 二阶线性递推数列的构造法往往是构造等比数列 解答。 解 由 满足

a1 ? a2 ? 1, an ? 2 ? an ?1 ? an 。

?an?1 ? ? ? an ? ,通过等比数列的性质来

an ? 2 ? an ?1 ? an 可构造等比数列 ?an ?1 ? ? ? an ? ,

an ? 2 ? ? ? an ?1 ? ? (an ?1 ? ? ? an )

?? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ?1 . 对比系数可得 ?

??
解得 故

1? 5 1? 5 1? 5 1? 5 ,? ? ?? ,? ? 2 2 或 2 2 .

? 1? 5 1? 5 1 ? 5 n ?1 an ? an ?1 ? (a2 ? a1 )( ) ? ? 2 2 2 ? ?a ? 1 ? 5 a ? (a ? 1 ? 5 a )(1 ? 5 ) n ?1 n n ?1 2 1 ? 2 2 2 ?

a 约去 n ?1 从而可得

-5-

n n 5 ?? 1 ? 5 ? ? 1 ? 5 ? ? ? ?? ? ? ?? an ? ? ? 2 ? ? 5 ?? 2 ? ? ? ? ??

2.2 特征方程法 特征方程法在构造法的基础上省去了待定系数求解的过程,避免了繁琐的计算过程,节 约了考生宝贵的考试时间,解答更迅速、更准确。 定理 2.1[6] 二阶线性递推数列 证明 见构造法解题过程。

an ? 2 ? pan ?1 ? qan , pq ? 0 的特征方程为 x 2 ? px ? q 。
1? 5 1? 5 , x2 ? 2 2 .

解 设

an ? 2 ? an ?1 ? an 的特征方程为 x ? x ? 1 ,解得
2

x1 ?

n an ? C1 x1n ? C2 x2 a ? a2 ? 1, 带入可得 ,又 1

?C1 x1 ? C2 x2 ? 1 ? 2 2 ?C1 x1 ? C2 x2 ? 1 ,
解得 故
n n 5 ?? 1 ? 5 ? ? 1 ? 5 ? ? ? ?? ? ? ?? an ? ? ? 2 ? ? 5 ?? 2 ? ? ? ? ?? .

C1 ?

5 5 , C2 ? ? 5 5 .

2.3 区别和联系 构造法是高考考纲内解答递推数列基本方法,特征方程法是竞赛数学常见方法,通过以 上题例我们可以看出,特征方程法的特征方程正是构造法求对应系数计算简化后的结果,与 构造法相比,特征方程法更简便、直接,大量减少了计算过程,提高做题效率和准确率。 3 分式线性递推数列 本节通过分析基本的分式线性递推数列,初步探讨分式递推数列求通项公式的方法, 而分式非线性递推数列常出现在全国数学联赛中,方法灵活多变,受篇幅和能力所限,在这 里就不再赘述。 分式线性递推数列主要分两种类型,对应方法也不一样。

an ?1 ?
3.1

k ? an , p?k ?q ? 0 pan ? q 类

这类分式线性递推数列分式的分子不含有常数项,最体方法比较简单,下面就以高考题 为例来进行说明。

例(08 年陕西卷 22 题)已知数列 解 显然

?an ?的首项

a1 ?

3 a ? 3an n ?1 2an ? 1 , 求其通项公式. 5,

an ? 0, n ? N ? ,两边同去倒数可得
-6-

1 1 1 2 ? ? ? an ?1 3 an 3 .
bn ?
令 故

1 2 1 2 bn ? n ? 1 bn ?1 ? bn ? an 得 3 3 3 是一阶线性递推数列,从而解得 .

an ?

3n 3n ? 2

当 k ? p 时,可利用两边同取倒数的方法化为一阶线性递推数列,进而求出通项公式。

an ?1 ?
3.2

san ? t , s ?t ? p ? q ? 0 pan ? q 类

本节通过两种方法解决 Serge lang 的《Complex Anglysis》[7]一书中的习题来探讨这类分 式线性递推数列通项公式求法,分析两种方法区别和联系。

a1 ? 1, an ?1 ?
已知

an ? 2 an an ? 1 ,求 nlim ? ??

3.2.1 构造法 这类分式线性递推数列的构造法有两种构造方式,下面我们选用一种最常见的方法来进 行构造。

an ?1 ?
解:借鉴上一节解题方法,转化

an ? 2 a ?? an ?1 ? ? ? ? n an ? 1 为 an ? 1 的形式。

? ? ? ? ?1 ? ? ? ?? ? 2 ,解得 对比系数得 ?
? ?? 2 ?? ?? 2 ? ? ?? ? 1 ? 2 或 ?? ? 1 ? 2
当? ?

2 时,

an ?1 ? 2 ?

1 ? 2 an ? 2 1 ? 2 an ? 1 ,两边去倒数得

1 1? 2 1 1 ? ? an ?1 ? 2 1 ? 2 an ? 2 1 ? 2
从而解得

an ? 2

1? 2 1? cn c? 1? 2 1 ? c n ,其中

当 ? ? ? 2 时,易得结果同上。

-7-

3.2.2 特征方程法 分式线性递推数列的特征方程法简化了构造法求对应系数过程,并巧妙运用,大大简化 了计算过程。

an ?1 ?
定 理 2.2[8] 分 式 线 性 递 推 数 列

san ? t , s ?t ? p ? q ? 0 pan ? q 的特征方程为

x?

sx ? t px ? q 。 sx ? t px ? q 解得

证明 见构造法解题过程。

x?
解[9] 由

? x1 ? 2 ? x1 ? ? 2 ? ? ? x2 ? 1 ? 2 或 ? x2 ? 1 ? 2


? an ? 2 ?an ?1 ? 2 ? (1 ? 2 ) an ? 1 ? ? ?a ? 2 ? (1 ? 2 ) an ? 2 n ?1 ? an ? 1 ? ,
两式相除得

an ?1 ? 2 1 ? 2 an ? 2 ?? an ?1 ? 2 1 ? 2 an ? 2

? an ? 2 ? 1? 2 ? ? a ? 2? 即数列 ? n 为首项和公比都是 1 ? 2 的等比数列.
解得

an ? 2

1? 2 1? cn c? 1? 2 1 ? c n ,其中

从而 n ? ?? . 4 小结 通过对三大类递推数列详细分析和解题示例,在今后做题中可以快速准确将递推数列归类, 从而按照前面介绍过的方法解出其通项公式;通过对构造法和特征方程法的比较,我们可以 知道二者都是由待定系数方法得出的结论,针对不同类型我们可以选取最优的方法进行解答, 同时也可以用另一种方法对结果进行检查正误。

lim an ? 2

-8-



更多相关文章:
2014高考理科数学必考点解题方法秘籍数列求通项.doc
2014高考理科数学必考点解题方法秘籍数列求通项_高考_高中教育_教育专区。2014 高考理科数学必考点解题方法秘籍:数列求通项 高考中的递推数列求通项问题,情境新颖...
高考数学必考点解题方法秘籍 递推数列 .doc
高考数学必考点解题方法秘籍 递推数列 _数学_高中教育_教育专区。高考数学必考点解题方法秘籍 递推数列 2014 高考理科数学必考点解题方法秘籍:递推数列 1 一...
2014高考理科数学必考点解题方法秘籍涂色问题.doc
2014 高考理科数学必考点解题方法秘籍:涂色问题 与...说明:关于扇形区域区域涂色问题还可以用数列中的递推...仍应考虑利用加法原 分类、乘 法原理分步进行讨论...
2014高考数学必考点解题方法秘籍 概率与统计2 .pdf
2014高考数学必考点解题方法秘籍 概率与统计2 _高考_高中教育_教育专区。2014...构成以3为首项,12为公差的等差 数列,故可分别求出在001到300中有25人,在...
高考数学必考点解题方法秘籍 涂色问题 .doc
学习必备 欢迎下载 2014 高考理科数学必考点解题方法秘籍:涂色问题与涂色问题有关...学习必备 欢迎下载 说明:关于扇形区域区域涂色问题还可以用数列中的递推公来解决...
2014高考理科数学必考点解题方法秘籍概率与统计2.doc
2014 高考理科数学必考点解题方法秘籍:概率与统计 2...方法一:每箱的选中的概率为,总概率为;同, 方法...构成以 3 为首项,12 为公差的等差数列,故可分 ...
2014高考数学必考点解题方法秘籍向量与三角剖析.doc
2014高考数学必考点解题方法秘籍向量与三角剖析_中职中专_职业教育_教育专区
2014高考理科数学必考点解题方法秘籍二次函数1.doc
2014高考理科数学必考点解题方法秘籍二次函数1 - 2014 高考理科数学必考点解题方法秘籍:二次函数 1 对称轴 例 1.二次函数 y=(x+1)(x-3),则图象的对称轴...
2014高考理科数学必考点解题方法秘籍函数与导数2.doc
2014 高考理科数学必考点解题方法秘籍:函数与导数 2...的运用也贯穿高中学习的全过程,所当然是高考的重...数列、解析几何、立体几何等)运用函数观念和方法找出...
2014高考理科数学必考点解题方法秘籍二项式定理1.doc
2014高考理科数学必考点解题方法秘籍二项式定理1_高考_高中教育_教育专区。2014 高考理科数学必考点解题方法秘籍:二项式定理 1 1.二项式定理: (a ? b)n ? Cn0an...
高考数学必考点解题方法秘籍 不等式1 .doc
高考数学必考点解题方法秘籍 不等式1 2014 高考理科数学必考点解题方法秘籍:...通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析...
高考数学必考点解题方法秘籍 抽象函数 .doc
高考数学必考点解题方法秘籍 抽象函数 _数学_高中教育_教育专区。高考数学必考点解题方法秘籍 抽象函数 2014 高考理科数学必考点解题方法秘籍:抽象函数抽象函数...
高考数学必考点解题方法秘籍 二项式定理1 _图文.doc
高考数学必考点解题方法秘籍 二项式定理1 _数学_高中教育_教育专区。高考数学必考点解题方法秘籍 二项式定理1 2014 高考理科数学必考点解题方法秘籍:二项式定理 ...
...2014高考数学一轮复习 (基础知识+高频考点+解题训....doc
【三维设计】2014高考数学一轮复习 (基础知识+高频考点+解题训练)数列的概念...那么这个公式叫做 这个数列的通项公式. 2.数列递推公式 如果已知数列{an}的...
2014高考新课标数学考点总复习_考点5_掌握类型,巧妙构....doc
2014 高考新课标数学考点总复习 一.专题综述数列是新课程的必修内容,从课程定位...【解题技巧点睛】求数列的通项公式的方法: 1、利用转化,解决递推公式为 S n...
高考数学解题方法攻略数列不等式.doc
高考数学解题方法攻略数列不等式 - 一、通项公式 学校的训练较多这里不详细介绍
2014高考数学必考点解题方法秘籍 概率与统计2 .doc
2014高考数学必考点解题方法秘籍 概率与统计2 _数学_高中教育_教育专区。2014...构成以 3 为首项,12 为公差的等差数列,故可分别求出在 001 到 300 中有 ...
高中理科数学数列知识点和解题方法大全.doc
等比数列的定义与性质 3 二 解题方法 4 1 求数列通项公式的常用方法 4 (1)求差(商)法 4 (2)叠乘法 4 (3)等差型递推公式 4 (4)等比型递推公式 5 ...
2014高考数学()复习方案:第31讲 数列的综合问题_图文.ppt
2014高考数学()复习方案:第31讲 数列的综合问题_高考_高中教育_教育专区。...数列的综合问题 点面讲考点 归纳总结 等差数列与等比数列的综合题基本解题思 路...
「精品」高考数学二轮复习专题四数列4.2递推数列及数列....ppt
「精品」高考数学二轮复习专题四数列4.2递推数列及数列求和的综合问题课件 - 考点 1 错位相减法求和 错位相减法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法...

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图