9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

1高中数学必修5第一章_解三角形全章教案(整理)

课题: §1.1.1 正弦定理 如图 1.1-1,固定 ? ABC 的边 CB 及 ? B,使边 AC 绕着顶点 C 转动。 思考: ? C 的大小与它的对边 AB 的长度之间有怎样的数量关系? 在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中, 角与边的等式关系。

从而在直角三角形 ABC 中,

a
sin A

?

b
sin B

?

c
sin C

思考:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立? 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况: 如图 1 . 1-3 ,当 ? ABC 是锐角三角形时,设边 AB 上的高是 CD ,根据任意角三角函数的定义,有 CD= a sin B ? b sin A ,则 同理可得 从而

a
sin A


?

b
sin B

, b A

C a c B

c
sinC ?

?

b
sin B ?

a
sin A

b
sin B

c
sin C

从上面的研探过程,可得以下定理 正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即

a
sin A

?

b
sin B

?

c
sin C

[理解定理] ( 1 )正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即存在正数 k 使 a ? k sin A , b ? k sin B , c ? k sinC ; (2)

a
sin A

?

b
sin B

?

c
sin C

等价于

a
sin A

?

b
sin B



c
sinC

?

b
sin B



a
sin A

?

c
sinC

从而知正弦定理的基本作用为: ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如 a ?

b sin A ; sin B

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如 sin A ? sin B 。 一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作解三角形。 例 1.在 ?ABC 中,已知 A ? 450 , B ? 750 , a ? 40 cm,解三角形。

a b

例 2.在 ?ABC 中,已知 a ? 20 cm, b ? 20 2 cm, A ? 450 ,解三角形。

练习:已知 ? ABC 中, sin A:sin B :sinC ? 1:2:3 ,求 a :b :c
1

练习:1.在 ?ABC 中,已知 A ? 450 , C ? 300 , c ?10 cm,解三角形。 2.在 ?ABC 中,已知 A ? 600 , B ? 450 , c ? 20 cm,解三角形。 3.在 ?ABC 中,已知 a ? 20 cm, b ?10 2 cm, B ? 300 ,解三角形。 4.在 ?ABC 中,已知 c ?10 2 cm, b ? 20 cm, B ? 450 ,解三角形。

补充:请试着推理出三角形面积公式(利用正弦)

课题: §1.1.2 余弦定理 如图 1.1-4,在 ? ABC 中,设 BC=a,AC=b,AB=c, 已知 a,b 和 ? C,求边 c 联系已经学过的知识和方法,可用什么途径来解决这个问题? 用正弦定理试求,发现因 A、B 均未知,所以较难求边 c。 由于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来研究这个问题。 ??? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ? 如图 1.1-5,设 CB ? a , CA ? b , AB ? c ,那么 c ? a ? b ,则

A

? b

? c

c ? c ?c ? a ? b a ? b ? ? ? ? ? ? ?a b ? b ?? 2a?? b ??2a ? ? 2 ? a ? b ? 2a ? b
从而 同理可证

?2

? ?

?

?

? ?

??

?

?
C

? a

B

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC

(图 1.1-5)

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A
b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B

于是得到以下定理 余弦定理: 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。 即

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A
b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC

思考:这个式子中有几个量?从方程的角度看已知其中三个量,可以求出第四个量,能否由三边求出一角? 从余弦定理,又可得到以下推论:

cos A? cos B ? cosC ?

b2 ? c 2 ? a 2 2bc a 2 ? c 2 ? b2 2ac b2 ? a 2 ? c 2 2ba
2

[理解定理] 从而知余弦定理及其推论的基本作用为: ①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边; ②已知三角形的三条边就可以求出其它角。 思考:勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系,余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间 的关系,如何看这两个定理之间的关系? 若 ? ABC 中,C= 90 0 ,则 cosC ? 0 ,这时 c 2 ? a 2 ? b2 由此可知余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例。 例 1.在 ? ABC 中,已知 a ? 2 3 , c ? 6 , B ? 450 ,求 b 及 A

练习:在 ? ABC 中,若 a 2 ? b 2 ? c 2 ? bc ,求角 A。

b ,A ,讨论三角形解的情况 例 1.在 ? ABC 中,已知 a ,
分析:先由 sin B ? 则 C ? 1800 ?(A ? B ) 从而 c ?

b sin A 可进一步求出 B; a

a sinC A

1.当 A 为钝角或直角时,必须 a ? b 才能有且只有一解;否则无解。 2.当 A 为锐角时, 如果 a ≥ b ,那么只有一解; 如果 a ? b ,那么可以分下面三种情况来讨论: (1)若 a ? b sin A ,则有两解; (2)若 a ? b sin A ,则只有一解; (3)若 a ? b sin A ,则无解。 (以上解答过程详见课本第 9 ? 10 页) 评述:注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,只有当 A 为锐角且 b sin A ? a ? b 时,有两解;其它情况时则只有一解或无解。 练习:(1)在 ? ABC 中,已知 a ? 80 , b ? 100 , ?A ? 450 ,试判断此三角形的解的情况。 (2)在 ? ABC 中,若 a ? 1 , c ?

1 , ?C ? 400 ,则符合题意的 b 的值有_____个。 2

(3)在 ? ABC 中, a ? xcm , b ? 2 cm , ?B ? 450 ,如果利用正弦定理解三角形有两解,求 x 的取值范围。

例 2.在 ? ABC 中,已知 a ? 7 , b ? 5 , c ? 3 ,判断 ? ABC 的类型。

3

练习:(1)在 ? ABC 中,已知 sin A:sin B :sinC ? 1:2:3 ,判断 ? ABC 的类型。 (2)已知 ? ABC 满足条件 a cosA ? b cosB ,判断 ? ABC 的类型。

例 3.在 ? ABC 中, A ? 600 , b ? 1 ,面积为

3 a ? b ?c ,求 的值 2 sin A ? sin B ? sinC

练习:(1)在 ? ABC 中,若 a ? 55 , b ? 16 ,且此三角形的面积 S ? 220 3 ,求角 C (2)在 ? ABC 中,其三边分别为 a、b、c,且三角形的面积 S ?

a 2 ? b 2 ?c 2
4

,求角 C

作业 (1)在 ? ABC 中,已知 b ? 4 , c ? 10 , B ? 300 ,试判断此三角形的解的情况。

(2)设 x、x+1、x+2 是钝角三角形的三边长,求实数 x 的取值范围。

(3)在 ? ABC 中, A ? 600 , a ? 1 , b ?c ? 2 ,判断 ? ABC 的形状。

(4)三角形的两边分别为 3cm,5cm,它们所夹的角的余弦为方程 5x 2 ? 7x ? 6 ? 0 的根,求这个三角形的面积。

§2.2 解三角形应用举例 (2)例 1、如图,设 A、B 两点在河的两岸,要测量两点之间的距离,测量者在 A 的同侧,在所在的河岸边 选定一点 C,测出 AC 的距离是 55m, ? BAC= 51 ? , ? ACB= 75 ? 。求 A、B 两点的距离(精确到 0.1m)

4

变式练习:两灯塔 A、B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 30 ? ,灯塔 B 在观察站 C 南偏东 60 ? ,则 A、B 之间的距离为多少?

例 3、AB 是底部 B 不可到达的一个建筑物,A 为建筑物的最高点,设计一种测量建筑物高度 AB 的方法。

例 4、如图,在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角 ? =54 ? 40? ,在塔底 C 处测得 A 处的俯角 ? =50 ? 1? 。已 知铁塔 BC 部分的高为 27.3 m,求出山高 CD(精确到 1 m)

例 3、在 ? ABC 中,求证: (1)

a 2 ? b 2 sin 2 A ? sin 2 B ? ; c2 sin 2 C

(2) a 2 + b 2 + c 2 =2(bccosA+cacosB+abcosC)

变式练习 1:已知在 ? ABC 中, ? B=30 ? ,b=6,c=6 3 ,求 a 及 ? ABC 的面积 S

5

变式练习 2:判断满足下列条件的三角形形状, (1) acosA = bcosB (2) sinC =

sin A ? sin B cos A ? cos B

附加例题: 例 1.在 ?ABC 中,已知 B ? 45? , C ? 60? , c ? 1 。试求最长边的长度。 例 2.在 ?ABC 中,已知 a : b : c ? 3: 7 : 2 ,试判断此角形的形状并求出最大角与最小角的和。

解三角形归纳提高 一、知识点梳理: 1、正弦定理:在△ABC 中,

a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C

注:①R 表示△ABC 外接圆的半径 ②正弦定理可以变形成各种形式来使用 2、余弦定理:在△ABC 中,

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A
也可以写成第二种形式:

b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC

b2 ? c2 ? a2 a2 ? c2 ? b2 a2 ? b2 ? c2 cos A ? , cos B ? , cosC ? 2bc 2ac 2ab
3、△ABC 的面积公式, S ? 二、题组训练: 1、在△ABC 中, a=12,A= 60 ,要使三角形有两解,则对应 b 的取值范围为 2、判定下列三角形的形状 在△ABC 中,已知 a ? 3, b ? 4, c ? 38 ,请判断△ABC 的形状。
0

1 1 1 ab sin C ? bc sin A ? ac sin B 2 2 2

在△ABC 中,已知 sin A ? sin B ? sin C ,请判断△ABC 的形状。
2 2 2

在△ABC 中,已知 cos A ?

1 2 , a ? bc ,请判断△ABC 的形状。 2

在△ABC 中,已知 b sin C ? c sin B ? 2bc cos B cosC ,请判断△ABC 的形状。
2 2 2 2

6

在△ABC 中, (sin A ? sin B ? sin C )(sin B ? sin C ? sin A) ? 3 sin B sin C, 请判断△ABC 的形状。

3、在△ABC 中,已知 a ? 5, b ? 4, A ? 300 ,求△ABC 的面积。

4、在△ABC 中,若△ABC 的面积为 S,且 2S ? (a ? b) 2 ? c 2 ,求 tanC 的值。

5、在△ABC 中,已知 b ? bc ? 2c ? 0, a ?
2 2

6 , cos A ?

7 ,求△ABC 的面积。 8

6、在△ABC 中,已知 ab ? 60 3, sin B ? sin C, △ABC 的面积为 15 3 ,求边 b 的长。

7、在△ABC 中,求证:

cos 2 A cos 2 B 1 1 ? ? 2 ? 2 2 2 a b a b

2、在 △ ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c ,已知 c ? 2 , C ? (Ⅰ)若 △ ABC 的面积等于 3 ,求 a, b ; (Ⅱ)若 sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,求 △ ABC 的面积.

? . 3

3、设 △ ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c ,且 a cos B ? 3 , b sin A ? 4 . (Ⅰ)求边长 a ; (Ⅱ)若 △ ABC 的面积 S ? 10 ,求 △ ABC 的周长 l .

2、在 △ ABC 中, cos B ? ?

5 4 , cos C ? . 13 5 33 ,求 BC 的长. 2

(Ⅰ)求 sin A 的值;(Ⅱ)设 △ ABC 的面积 S△ ABC ?

7



更多相关文章:
1高中数学必修5第一章_解三角形全章教案(整理).doc
1高中数学必修5第一章_解三角形全章教案(整理) - 课题: §1.1.1 正弦
高中数学必修5第一章-解三角形全章教案(整理).doc
高中数学必修5第一章-解三角形全章教案(整理) - 数学 5 第一章 解三角形
必修5第一章解三角形全章教案_图文.doc
必修5第一章解三角形全章教案 - 新课件网 www.xinkejian.com 高中数学新课标必修 5 第一章 解三角形 数学 5 第一章 解三角形 课题: §1.1.1 正弦...
最新人教版高中数学必修5第一章解三角形》教学设计.doc
最新人教版高中数学必修5第一章解三角形》教学设计 - 教学设计 本章复习? 从
必修5第一章解三角形全章教案.doc
必修5第一章解三角形全章教案 - 高中数学新课标必修 5 第一章 数学 5 第一章 解三角形 章节总体设计 (一)课标要求 本章的中心内容是如何解三角形,...
高中数学必修5第一章解三角形内容讲解.doc
高中数学必修5第一章解三角形内容讲解 - 欢迎您选择新活力教育 用心学习 教案 学生: 高中数学必修 5 第一章解三角形内容讲解 考点 1:正弦定理 正弦定理:在一...
...高中数学必修5第一章解三角形应用举例》教案(1).doc
最新人教版高中数学必修5第一章解三角形应用举例》教案(1) - 《解三角形应用举例》教案(1) 教学目标 1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关...
新课标人教A版必修5第一章解三角形全章教案.pdf
新课标人教A版必修5第一章解三角形全章教案新课标人教A版必修5第一章解三角形全章教案隐藏>> 高中数学新课标必修 5 第一章 高中数学新课标必修 5 ...
高中数学必修5教学案:第一章解三角形小结与复习.doc
高中数学必修5教学案:第一章解三角形小结与复习 - 第一章 解三角形小结与复习(学案) 【知识归类】 1.正弦定理:在△ABC 中, a b c ? ? ? 2R sin ...
人教课标版高中数学必修5第一章 解三角形应用举例教案1....doc
人教课标版高中数学必修5第一章 解三角形应用举例教案1 - 解三角形应用举例(高度测量问题) 教学设计 一、教学内容解析: 本节课的内容是《解三角形1.2《应用...
高中数学必修5第一章解三角形教案、学案 正弦和余弦定....doc
高中数学必修5第一章解三角形教案、学案 正弦和余弦定理设计 - 金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 第一章 解三角形 本章概览 三维目标 1.掌握正、余弦定理,能...
高中数学必修5(必修五)课件第一章:解三角形_图文.ppt
高中数学必修5(必修五)课件第一章:解三角形 - 第一章 解三角形 ?1.1 正弦定理和余弦定理 ?1.1.1 正弦定理 自主学习 新知突破 ? 1.了解正弦定理的推导...
必修五第一章解三角形教案)-高一数学必修五1.2余弦定....doc
必修五第一章解三角形教案)-高一数学必修五1.2余弦定理》教案 - (一)教学目标 1.知识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及证明 余弦定理的向量方法,并会运用...
人教课标版高中数学必修5第一章 解三角形应用举例教案2.doc
人教课标版高中数学必修5第一章 解三角形应用举例教案2 - 一、教学目标 1、知
必修5第一章解三角形全章教案.doc
新人教高中数学必修5教案全... 63页 免费 必修5第一章解三角形章末总... ...(二)编写意图与特色 1.数学思想方法的重要性 数学思想方法的教学是中学数学教学...
高中数学必修5教学案:第一章解三角形检测题.doc
高中数学必修5教学案:第一章解三角形检测题 - 第一章 解三角形检测题(学案) 一、选择题(每题 5 分,共 60 分) 1. 在 ?ABC 中,已知 ? b ? c ?...
高中数学必修5第一章_解三角形复习课课件___人教版A.ppt
高中数学必修5第一章_解三角形复习课课件___人教版A - C b 一、正弦定理
高中数学必修5教学案:第一章解三角形小结与复习.doc
高中数学必修5教学案:第一章解三角形小结与复习 - 第一章 【知识归类】 1.正弦定理:在△ABC 中, 解三角形小结与复习(学案) a b c ? ? ? 2R sin ...
高一数学必修5第一章解三角形1.1.1《正弦定理》课件_图文.ppt
高一数学必修5第一章解三角形1.1.1《正弦定理》课件_高一数学_数学_高中教育_教育专区。第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理 本节...
高中数学必修5第一章解三角形单元测试题 (2).doc
高中数学必修5第一章解三角形单元测试题 (2) - 解三角形 一 选择题: 1.已知△ABC 中, A ? 30? , C ? 105? , b ? 8 ,则等于 A 4 ( D ) B...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图