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【三维设计】高考数学 第二章第二节函数的定义域和值域复习课件 文 新人教A版_图文

函数的定义域和值域 1. 了解定义域、值域是构成函数的要素. 2.会求一些简单函数的定义域和值域,掌握 一些基本的求定义域和值域的方法. [理 要 点] 一、求函数定义域的主要依据是: 1.分式的分母不得为 零 ; 2.偶次方根的被开方数 不小于零 ; 3.对数函数的真数必须 大于零 ; 4.指数函数和对数函数的底数必须 大于零且不等于1 ; π 5.三角函数中的正切函数 y=tanx (x∈R,且 x≠kπ+ , 2 k∈Z) . 二、函数的值域 1.在函数概念的三要素中,值域是由 定义域和 对应关系 所 确定的,因此,在研究函数值域时,既要重视对应关系的 作用,又要特别注意定义域对值域的制约作用. 2.基本初等函数的值域 (1)y=kx+b(k≠0)的值域是 4ac-b2 {y|y≥ } 4a .R 4ac-b2 {y|y≥ } 4a (2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域是:当a>0时,值域为 ;当a<0时,值域为 . k (3)y=x(k≠0)的值域是 {y|y≠0} . (4)y=ax(a>0 且 a≠1)的值域为 {y|y>0} . (5)y=logax(a>0 且 a≠1)的值域是 R . (6)y=sinx,y=cosx 的值域是 [-1,1] . (7)y=tanx 的值域是 R . [究 疑 点] 函数的最值与值域有何联系? 提示:函数的最值与函数的值域是关联的,求出了函数 的值域也就能确定函数的最值情况,但只确定了函数的 最大(小)值,未必能求出函数的值域. [题组自测] 1.函数 y= x?x-1?+ x的定义域为 A.{x|x≥0} C.{x|x≥1}∪{0} ? ?x?x-1?≥0 解析:? ? ?x≥0 ( ) B.{x|x≥1} D.{x|0≤x≤1} ?x≥1 或 x=0. 答案:C 2x-x2 2.求函数 y= 的定义域. ln?2x-1? ?2x-x2≥0, ? 解:由?ln?2x-1?≠0, ?2x-1>0, ? ? ?0≤x≤2, ?x≠1, 得? ? 1 x> . ? ? 2 1 ∴函数的定义域为( ,1)∪(1,2]. 2 1 3.(1)求函数 f(x)= + x2-1+(x-4)0 的定义域. 2-|x| (2) 若函数 y = f(x) 的定义域是 [0,4],求函数 g(x) = 1 f? x? 2 的定义域. x- 1 解:(1)要使 f(x)有意义, ?2-|x|≠0, ? 2 则只需?x -1≥0, ?x-4≠0, ? 2, ?x≠± ? 即?x≥1或x≤-1, ?x≠4, ? ∴x≥1 且 x≠2 且 x≠4 或 x≤-1 且 x≠-2. 故函数的定义域为{x|x<-2 或-2<x≤-1 或 1≤x<2 或 2<x<4 或 x>4}. 1 ? ? ?0≤ x≤4, ?0≤x≤8, 2 (2)由? 得? ∴0≤x≤8 且 x≠1. ? ?x≠1, ? x - 1 ≠ 0 , ? 故定义域为[0,1)∪(1,8]. ?2x+4?0 求函数 f(x)= 的定义域. |x|-3 解:由(2x+4)0知2x+4≠0,即x≠-2, 又由|x|-3≠0知x≠±3. 所以函数定义域为{x|x∈R且x≠-2, x≠±3}. [归纳领悟] 1.函数有解析式时,其定义域是使解析式有意义的自变 量的取值构成的集合. 2.实际问题的函数定义域不仅要考虑解析式的意义,还 要看其实际意义. 3.抽象函数的定义域要弄清所给函数间有何关系,进而 求解. 如:已知函数y=f(x)的定义域为[a,b],求y=f(x+2)的 定义域,其实质是求a≤x+2≤b中x的范围,即其定义域为 [a-2,b-2];反之,若y=f(x+2)的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域,则应求x+2的范围,即a≤x≤b,a+2≤x+ 2≤b+2,则f(x)的定义域为[a+2,b+2],即f(x)与f(x+2) 中的x含义不同. [题组自测] 1 1.函数 y= 2 的值域为 x +2 A.R 1 C.{y|y≤ } 2 2 ( 1 B.{y|y≥ } 2 1 D.{y|0<y≤ } 2 ) 1 1 1 解析:∵x +2≥2,∴0< 2 ≤ ,∴0<y≤ . 2 x +2 2 答案:D 2.下列四个函数: ? ?3x ①y=3x;②y= ? ? ?2x ?x≥0?, ③y=-4x+5(x∈Z); ?x<0?; ④y=x2-6x+7. 其中值域相同的是 A.①② C.②③ B.①③ D.②④ ( ) 解析:∵y=3x的值域为R, y= ? ?3x ? ? ?2x ?x≥0? ?x<0? 的值域为R,y=-4x+5(x∈Z)的值域为 一些整数构成的集合,y=x2-6x+7的值域为[-2,+ ∞),∴值域相同的是①②. 答案:A 3.求下列函数的值域,并指出函数有无最值. 1-x2 (1)y= ; 1+x2 4 (2)y=x+x(x<0). 1-x2 2 2 2 解:(1)y= = -1,∵1+x ≥1,∴0< ≤2, 1+x2 1+x2 1+x2 2 ∴-1< -1≤1,即y∈(-1,1]. 1+x2 ∴函数有最大值为1,无最小值. 4 4 (2)∵x<0,∴x+x=-(-x-x)≤-4, 当且仅当x=-2时“=”成立. ∴y∈(-∞,-4]. ∴函数有最大值-4,无最小值. 4.求下列函数的值域: 1 (1)f(x)= ; 2+x-x2 (2)f(x)=x- 1-2x; (3)f(x)=log3x+logx3-1. 12 9 9 解:(1)(配方法)由于2+x-x =-(x- ) + ≤ ,此时 2 4 4 2 12 9 有三种情况,若-(x- ) + <0,则y<0; 2 4 12 9 若-(x- ) + =0,则y无意义; 2 4 12 9 9 若0<-(x- )


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