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2019-2020年北师大版高中数学必修一第三章《指数函数的概念及图像和性质》word教案

2019-2020 年北师大版高中数学必修一第三章《指数函数的概念及图像和性质》word 教案 一. 教学目标:
1.知识与技能 (1)理解指数 函数的概念和意义;
(2) y ? 2x 与 y ? ( 1 )x 的图象和性质; 2
(3)理解和掌握指数函数的图象和性质; (4)指数函数底数 a 对图象的影响; (5)底数 a 对指数函数单调性的影响,并利用它熟练比较几个指数幂的大小 (6)体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想;
2.情感、态度、价值观 (1)让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理. (2)培养学生观察问题,分析问题的能力. 二.重、难点 重点: (1)指数函数的概念和性质及其应用. (2)指数函数底数 a 对图象的影响; (3)利用指数函数单调性熟练比较几个指数幂的大小 难点: (1)利用函数单调性比较指数幂的大小 (2)指数函数性质的归纳,概括及其应用. 三、教法与教具: ①学法:观察法、讲授法及讨论法. ②教具:多媒体. 四、教学过程
第一课时 讲授新课 指数函数的定义

一般地,函数 y ? ax ( a >0 且 a ≠1)叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数的定义

域为 R. 提问:在下列的关系式中,哪些不是指数函数,为什么?

(1) y ? 2x?2

(2) y ? (?2)x

(3) y ? ?2x

(4) y ? ? x

(5) y ? x2

(6) y ? 4x2

(7) y ? xx

(8) y ? (a ?1)x ( a >1,且 a ? 2)

小结:根据指数函数的定义来判断说明:因为 a >0, x 是任意一个实数时, a x 是一个

确定的实数,所以函数的定义域为实数集 R.

若a

?

0,

??当x ???当x

? ?

0时,a 0时,a

x等于0 x无意义



a

<0,如

y

?

(?2)x

,

先时,对于x=

1 6

,

x

?

1 8

等等,在实数范围内的函数值不存在.

若 a =1, y ? 1x ? 1, 是一个常量,没有研究的意义,只有满足 y ? ax (a ? 0, 且a ? 1) 的

1
形式才能称为指数函数, a为常数,象y=2-3x,y=2x , y ? xx , y ? 3x?5, y ? 3x ?1等等,不符

合 y ? ax (a ? 0且a ? 1)的形式,所以不是指数函数
我们在学习函数的单调性的时候,主要是根据函数的图象,即用数形结合的方法来研
究. 先来研究 a >1 的情况 下面我们通过用计算机完成以下表格,并且用计算机画出函数 y ? 2x 的图象

x ?3.00 ?2.00 ?1.00 0.00 1.00 2.00

y ? 2x 1/8

1

4

1

1

2

4

2

y=2x y

-
-
-

-
-
-

-

-

-

-

-

0

x

-

-

再研究,0< a <1 的情况,用计算机完成以下表格并绘出函数 y ? ( 1 )x 的图象. 2

x

?2.00 ?1.00 0.00 1.00 2.00

y ? (1)x x

4

2

1 1/2 1/4

2

y

?

? ??

1 2

? ??

x

y

-

-

-

-

-

-

-

0

x

-

-
从图中我们看出 y ? 2x与y ? (1)x的图象有什么关系? 2

通 过 图 象 看 出 y ? 2x与y ? (1 x的) 图象关于y轴对称, 实 质 是 y ? 2x 上 的 2

点( -x

,

y与) y=

(1 2

x上) 点(

-x

,

关y) 于

轴对y 称.

讨论: y ? 2x 与y ? (1)x 的图象关于 y 轴对称,所以这两个函数是偶函数,对吗? 2

y

?

? ??

1 5

?x ??

y

?

? ??

1 3

x
? ??

②利用电脑软件画出 y ? 5x , y ? 3x , y ? (1)x , y ? (1)x 的函数图象.

y ? 5x

3

5

8

y ? 3x

6

4

2

-10

-5

0 -2

-4

-6

-8

5

10

练习 p71 1,2 作业 p76 习题 3-3 A 组 2 课后反思:

第二课时 问题:1:从画出的图象中,你能发现函数的图象与底数间有什么样的规律.
从 图 上 看 y ? ax ( a > 1 ) 与 y ? ax ( 0 < a < 1 ) 两 函 数 图 象 的 特 征 .

8

y ? ax (0 ? a ? 1)

6

y ? ax (a ? 1)

4

2

-1 0

-5

0

-2

5

10

-4

-6

-8
问题 2:根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、 奇偶性.

问题 3:指数函数 y ? ax ( a >0 且 a ≠1),当底数越大时,函数图象间有什么样的关系.

图象特征

a >1

0< a <1

向 x 轴正负方向无限延伸

图象关于原点和 y 轴不对称

函数图象都在 x 轴上方

函数性质

a >1

0< a <1

函数的定义域为 R

非奇非偶函数

函数的值域为 R+

函数图象都过定点(0,1)

a0 =1

自左向右, 图象逐渐上升

自左向右, 图象逐渐下降

增函数

在第一象限内的图 象纵坐标都大于 1

在第一象限内的图 象纵坐标都小于 1

x >0, a x >1

在第二象限内的图 象纵坐标都小于 1

在第二象限内的图 象纵坐标都大于 1

x <0, a x <1

5.利用函数的单调性,结合图象还可以看出:

减函数
x >0, a x <1 x <0, a x >1

(1)在[a,b]上, f(x)=a x ( a >0 且 a ≠1)值域是[ f (a), f (b)]或[ f (b), f (a)];

(2)若 x ? 0, 则f(x)? 1; f(x)取遍所有正数当且仅当x ?R;

(3)对于指数函数 f (x) ? ax ( a >0 且 a ≠1),总有 f (1) ? a;

(4)当 a >1 时,若 x1 < x2 ,则 f (x1) < f (x2 ) ;
指数函数的图象和性质 Y=ax a>1

0<a<1


2



2

定义域:R

值域:(0,+∞)



过点(0,1)

当 x>0 时 y>1 当 x<0 时 0<y<1 质 是 R 上的增函数

例题分析 例 1 比较下列各题中两个数的大小: (1) 3 0.8 , 30.7 (2) 0.75-0.1, 0.750.1 例 2 (1)求使 4x>32 成立的 x 的集合;
(2)已知 a4/5>a 2 ,求实数 a 的取值范围.
练习 p73 1,2 作业 p77 习题 3-3 A 组 4,5 课后反思:

当 x>0 时 0<y<1 当 x<0 时 y>1
是 R 上的减函数

第三课时
(1) 提出问题 指数函数 y=ax (a>0,a≠1) 底数 a 对函数图象的影响,
我们通过两个实例来讨论 a>1 和 0<a<1 两种情况。 (2)动手实践 动手实践一 :
在同一直角坐标系下画出 y=2x 和 y=3x 的图象, 比较两个函数的增长快慢 一般地,a>b>1 时, (1)当 x<0 时,总有 ax<bx<1; (2)当 x=0 时,总 ax=bx=1 有; (3)当 x>0 时,总ax>bx>1 有; (4)指数函数的底数 a 越大,当 x>0 时,其函数值增长越快。 动手实践 二: 分别画出底数为 0.2,0.3,0.5,2,3,5 的指数函数图象. 总结 y=ax (a>0,a≠1),a 对函数图象变化的影响。 结论: (1)当 X>0 时,a 越大函数值越大;
当 x<0 时,a 越大 函数值越小。 (2)当 a>1 时指数函数是增函数,
当 x 逐渐增大时, 函数值增大得越来越快; 当 0<a<1 时指数函数是减函数, 当 x 逐渐增大时, 函数值减小得越来越快。 例题分析 例 4 比较下列各题中两个数的大小: (1) 1.8 0.6, 0. 8 1.6; (2) (1/3) -2/3, 2 -3/5 . (1)解 由指数函数性质知 1.8 0 .6 >1.8 0=1, 0.8 1.6 <0.8 0=1,所以
1.8 0.6> 0.8 1.6

( 2) 解 由指数函数性质知(1/3) -2/3 >1, 2 -3/5 <1,所以
(1/3) -2/3> 2 -3/5 例 5 已知-1<x<0,比较 3-x , 0.5-x 的大小,

并说明理由。

解(法 1) 因为-1<x<0 ,所以 0<-x<1。

而 3>1,因此有 3-x>1

又 0<0.5 <1,因而有 0<0. 5 -x <1



3-x >0.5-x

(法 2 )设 a=-x>0, 函数 f(x)=x a 当 x>0 时

为增函数 ,而 3>0.5>0,故 f(3)>f(0.5)



3-x >0.5-x

小结:

在比较两个指数幂大小时,常利用 指数函数和幂函

数的单调性。相同底数比较指数,相同指数比较底数。

故常用到中间量“1”。

练习 1,2

作业习题 3-3 B 组 1,2

课后反思:

w w w . k s 5 u . c o



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