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18版高中数学基本初等函数Ⅰ2.1.2第1课时指数函数的图象及性质学案新人教A版1180227351

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第 1 课时 指数函数的图象及性质

学习目标 1.了解指数函数的概念(易错点).2.会画出指数函数图象(重点).3.掌握并 能应用指数函数的性质(重、难点).

预习教材 P54-P56,完成下面问题:

知识点 1 指数函数的概念

一般地,函数 y=ax(a>0,且 a≠1)叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域是

R.

【预习评价】 (正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)函数 y=-2x 是指数函数.( )

(2)函数 y=2x+1 是指数函数.( )

(3)函数 y=(-3)x 是指数函数.( )

提示 (1)× 因为指数幂 2x 的系数为-1,所以函数 y=-2x 不是指数函数;

(2)× 因为指数不是 x,所以函数 y=2x+1 不是指数函数;

(3)× 因为底数小于 0,所以函数 y=(-3)x 不是指数函数.

知识点 2 指数函数的图象及性质

a>1

0<a<1

图 象

定义域:R

值域:(0,+∞)

过点(0,1),即 x=0 时,y=1

性质

当 x>0 时,y>1;

当 x>0 时,0<y<1;

当 x<0 时,0<y<1

当 x<0 时,y>1

在 R 上是增函数

在 R 上是减函数

【预习评价】

(1)函数 y=2-x 的图象是( )

1

(2)函数 f(x)=ax+1-2(a>0 且 a≠1)的图象恒过定点________. 解析 (1)y=2-x=???12???x 是(-∞,+∞)上的单减函数,故选 B. (2)令 x+1=0,则 x=-1,f(-1)=a0-2=-1,则 f(x)的图象恒过点(-1,-1). 答案 (1)B (2)(-1,-1)

题型一 指数函数的概念及应用

【例 1】 (1)给出下列函数:

①y=2·3x;②y=3x+1;③y=3x;④y=x3;⑤y=(-2)x.其中,指数函数的个数是( )

A.0

B.1

C.2

D.4

(2)已知函数 f(x)是指数函数,且 f???-32???= 255,则 f(3)=________. 解析 (1)①中,3x 的系数是 2,故①不是指数函数;②中,y=3x+1 的指数是 x+1,不

是自变量 x,故②不是指数函数;③中,3x 的系数是 1,幂的指数是自变量 x,且只有 3x 一

项,故③是指数函数;④中,y=x3 的底为自变量,指数为常数,故④不是指数函数.⑤中,

底数-2<0,不是指数函数.

(2)设

f(x)=ax(a>0



a≠1),由

f???-32???=a-32

3 =5-2

,故

a=5,故

f(x)=5x,所以

f(3)=53=125.

答案 (1)B (2)125

规律方法 判断一个函数是指数函数的方法

(1)看形式:只需判断其解析式是否符合 y=ax(a>0,且 a≠1)这一结构特征.

(2)明特征:看是否具备指数函数解析式具有的三个特征.只要有一个特征不具备,则

该函数不是指数函数.

【训练 1】 若函数 y=a2(2-a)x 是指数函数,则( )

A.a=1 或-1

B.a=1

C.a=-1

D.a>0 且 a≠1

?? a2=1, 解析 由条件知?2-a>0,
??2-a≠1,

解得 a=-1.

答案 C

2

题型二 指数函数图象的应用 【例 2】 (1)函数 f(x)=2ax+1-3(a>0,且 a≠1)的图象恒过的定点是________.
(2)已知函数 y=3x 的图象,怎样变换得到 y=???13???x+1+2 的图象?并画出相应图象. (1)解析 因为 y=ax 的图象过定点(0,1),所以令 x+1=0,即 x=-1,则 f(x)=-1, 故 f(x)=2ax+1-3 的图象过定点(-1,-1).
答案 (-1,-1)
(2)解 y=???13???x+1+2=3-(x+1)+2. 作函数 y=3x 的图象关于 y 轴的对称图象得函数 y=3-x 的图象,再向左平移 1 个单位长 度就得到函数 y=3-(x+1)的图象,最后再向上平移 2 个单位长度就得到函数 y=3-(x+1)+2= ???13???x+1+2 的图象,如图所示.

规律方法 处理函数图象问题的策略 (1)抓住特殊点:指数函数的图象过定点(0,1),求指数型函数图象所过的定点时,只要 令指数为 0,求出对应的 y 的值,即可得函数图象所过的定点. (2)巧用图象变换:函数图象的平移变换(左右平移、上下平移). (3)利用函数的性质:奇偶性与单调性. 【训练 2】 (1)函数 y=2|x|的图象是( )
(2)函数 f(x)=ax-b 的图象如图所示,其中 a,b 为常数,则下列结论正确的是( )

A.a>1,b<0 B.a>1,b>0

解析

(1)y=2|x|=?????2???21x,???x,x≥x<00,,

C.0<a<1,b>0 故选 B.

D.0<a<1,b<0
3

(2)从曲线的变化趋势,可以得到函数 f(x)为减函数,从而有 0<a<1;从曲线位置看, 是由函数 y=ax(0<a<1)的图象向左平移|-b|个单位长度得到,所以-b>0,即 b<0.

答案 (1)B (2)D

题型三 指数型函数的定义域、值域问题

【例 3】 (1)函数 f(x)= 1-2x+ 1 的定义域为( ) x+3

A.(-3,0]

B.(-3,1]

C.(-∞,-3)∪(-3,0]

D.(-∞,-3)∪(-3,1]

(2)函数 f(x)=???13???x-1,x∈[-1,2]的值域为________. (3)函数 y=4x+2x+1+1 的值域为________.

解析 (1)由题意得自变量 x 应满足?????1x- +23x>≥0,0, 解得-3<x≤0.

(2)∵-1≤x≤2,∴19≤???13???x≤3,∴-89≤???13???x-1≤2,∴值域为???-89,2???. (3)函数的定义域为 R,又 y=4x+2x+1+1=(2x)2+2·2x+1=(2x+1)2,易知 2x>0,故

y>1,即函数的值域为(1,+∞).

答案 (1)A (2)???-89,2??? (3)(1,+∞) 规律方法 指数型函数 y=af(x)定义域、值域的求法 (1)定义域:函数 y=af(x)的定义域与 y=f(x)的定义域相同.

(2)值域:①换元,t=f(x).

②求 t=f(x)的定义域为 x∈D.

③求 t=f(x)的值域为 t∈M. ④利用 y=at 的单调性求 y=at,t∈M 的值域.

【训练 3】 求函数 y=5 1 的定义域和值域. 2x-4

解 由 2x-4>0,得 x>2,故函数的定义域为{x|x>2},

因为 1 >0,所以 y=5 1 >1,故函数的值域为{y|y>1}.

2x-4

2x-4

课堂达标

1.若函数 f(x)是指数函数,且 f(2)=2,则 f(x)=( )

A.( 2)x

B.2x

C.???12???x

D.??? 22???x

4

解析 由题意,设 f(x)=ax(a>0 且 a≠1),则由 f(2)=a2=2,得 a= 2,所以 f(x)

=( 2)x.

答案 A 2.当 x∈[-2,2)时,y=3-x-1 的值域是( )

A.???-89,8???

B.???-89,8???

C.???19,9???

D.???19,9???

解析 y=3-x-1,x∈[-2,2)上是减函数,∴3-2-1<y≤32-1,即-89<y≤8.

答案 A 3.已知函数 f(x)=2x,则 f(1-x)的图象为( )

解析 f(1-x)=21-x=???12???x-1 是减函数,故排除选项 C,D,又当 x=0 时,???12???0-1=2,
排除 A,故选 B. 答案 B 4.函数 f(x)=2·ax-1+1 的图象恒过定点________. 解析 令 x-1=0,得 x=1,f(1)=2×1+1=3,所以 f(x)的图象恒过定点(1,3). 答案 (1,3) 5.函数 f(x)= ax-1(a>0,且 a≠1)的定义域是(-∞,0],求实数 a 的取值范围. 解 由题意,当 x≤0 时,ax≥1,所以 0<a<1,故实数 a 的取值范围是 0<a<1. 课堂小结 1.判断一个函数是不是指数函数,关键是看解析式是否符合 y=ax(a>0 且 a≠1)这一结
构形式,即 ax 的系数是 1,指数是 x 且系数为 1. 2.指数函数 y=ax(a>0 且 a≠1)的性质分底数 a>1,0<a<1 两种情况,但不论哪种情况,
指数函数都是单调的. 3.由于指数函数 y=ax(a>0 且 a≠1)的定义域为 R,即 x∈R,所以函数 y=af(x)(a>0 且
a≠1)与函数 f(x)的定义域相同. 4.求函数 y=af(x)(a>0 且 a≠1)的值域的关键是求 f(x)的值域.
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