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2017学年高中数学人教A版必修4示范教案:第一章第四节三角函数的图象与性质(第一课时) Word版含解析

第一章第四节三角函数的图象与性质第一课时 作者:郑吉星 整体设计 教学分析 研究函数的性质常常以图象直观为基础,这点学生已经有些经验,通过观察函数的图象,从图 象的特征获得函数的性质是一个基本方法,这也是数形结合思想的应用.正弦函数、余弦函数的教 学也是如此.先研究它们的图象,在此基础上再利用图象来研究它们的性质.显然,加强数形结合 是深入研究函数性质的基本要求. 由于三角函数是刻画周期变化现象的数学模型,这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要 的地方,而且对于周期函数,我们只要认识清楚它在一个周期的区间上的性质,那么它的性质也就 完全清楚了,因此,教科书把对周期性的研究放在了首位.另外,教科书通过“旁白”,指出研究 三角函数性质“就是要研究这类函数具有的共同特点”,这是对数学思考方向的一种引导. 由于正弦线、余弦线已经从“形”的角度描述了三角函数,因此利用单位圆中的三角函数线画 正弦函数图象是一个自然的想法.当然,我们还可以通过三角函数的定义、三角函数值之间的内在 联系性等来作图,从画出的图形中观察得出五个关键点,得到“五点法”画正弦函数、余弦函数的 简图. 三维目标 1.通过实验演示,让学生经历图象画法的过程及方法,通过对图象的感知,形成正弦曲线的 初步认识,进而探索正弦曲线准确的作法,养成善于发现、善于探究的良好习惯.学会遇到新问题 时善于调动所学过的知识,较好地运用新旧知识之间的联系,提高分析问题、解决问题的能力. 2.通过本节学习,理解正弦函数、余弦函数图象的画法.借助图象变换,了解函数之间的内 在联系.通过三角函数图象的三种画法:描点法、几何法、五点法,体会用“五点法”作图给我们 学习带来的好处,并会熟练地画出一些较简单的函数图象. 3.通过本节的学习,让学生体会数学中的图形美,体验善于动手操作、合作探究的学习方法 带来的成功愉悦.渗透由抽象到具体的思想,加深数形结合思想的认识,理解动与静的辩证关系, 树立科学的辩证唯物主义观. 重点难点 教学重点:正弦函数、余弦函数的图象. 教学难点:将单位圆中的正弦线通过平移转化为正弦函数图象上的点;正弦函数与余弦函数图 象间的关系. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.(复习导入)遇到一个新的函数,非常自然地是画出它的图象,观察图象的形状,看看有 什么特殊点,并借助图象研究它的性质,如:值域、单调性、奇偶性、最大值与最小值等.我们也 很自然地想知道 y=sinx 与 y=cosx 的图象是怎样的呢?回忆我们在必修 1 中学过的指数函数、对 数函数的图象是什么?是如何画出它们图象的(列表描点法:列表、描点、连线)?进而引导学生通 过取值,画出当 x∈[0,2π]时,y=sinx 的图象. 思路 2.(情境导入)请学生动手做一做章头图表示的“简谐运动”实验.教师指导学生将塑料瓶 底部扎一个小孔做成一个漏斗,再挂在架子上,就做成了一个简易单摆.在漏斗下方放一块纸板, 板的中间画一条直线作为坐标系的横轴.把漏斗灌上沙并拉离平衡位置,放手使它摆动,同时匀速 拉动纸板,这样就可在纸板上得到一条曲线,它就是简谐运动的图象.物理中把简谐运动的图象叫 做“正弦曲线”或“余弦曲线”.它表示了漏斗对平衡位置的位移 s(纵坐标)随时间 t(横坐标)变化 的情况. 有了上述实验,你对正弦函数、余弦函数的图象是否有了一个直观的印象?画函数的图象,最 基本的方法是我们以前熟知的列表描点法,但不够精确.下面我们利用正弦线画出比较精确的正弦 函数图象. 推进新课 新知探究 提出问题 问题①:作正弦函数图象的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值,由于对一般角的三角 函数值都是近似值,不易描出对应点的精确位置.我们如何得到任意角的三角函数值并用线段长?或 用有向线段数值?表示 x 角的三角函数值?怎样得到函数图象上点的两个坐标的准确数据呢?简单 地说,就是如何得到 y=sinx,x∈[0,2π]的精确图象呢? 问题②:如何得到 y=sinx,x∈R 时的图象? 活动:教师先让学生阅读教材、思考讨论,对于学习较弱的学生,教师指导他们查阅课本上的 正弦线.此处的难点在于为什么要用正弦线来作正弦函数的图象,怎样在 x 轴上标横坐标?为什么 将单位圆分成 12 份?学生思考探索仍不得要领时,教师可进行适时的点拨.只要解决了 y=sinx, x∈[0,2π]的图象,就很容易得到 y=sinx,x∈R 时的图象了. 对问题①,第一步,可以想象把单位圆圆周剪开并 12 等分,再把 x 轴上从 0 到 2π 这一段分成 12 等份.由于单位圆周长是 2π,这样就解决了横坐标问题.过⊙O1 上的各分点作 x 轴的垂线,就 π π π π 可以得到对应于 0、 、 、 、 、?、2π 等角的正弦线,这样就解决了纵坐标问题(相当于“列 6 4 3 2 表”).第二步,把角 x 的正弦线向右平移,使它的起点与 x 轴上的点 x 重合,这就得到了函数对 (x,y)(相当于“描点”).第三步,再把这些正弦线的终点用平滑曲线连接起来,我们就得到函数 y =sinx 在[0,2π]上的一段光滑曲线(相当于“连线”).如图 1 所示(这一过程用课件演示,让学生仔 细观察怎样平移和连线过程.然后让学生动手作图,形成对正弦函数图象的感知).这是本节的难 点,教师要和学生共同探讨. 图1 对问题②,因为终边相同的角有相同的三角函数值,所以函数 y= sinx 在 x∈ [2 kπ, 2(k+ 1)π] , k∈Z 且 k≠0 上的图象与函数 y=sinx 在 x∈[0,2π]上的图象的形状完全一致,只是位置不 同.于是我们只要将函数 y=sinx,x∈[0,2π]的图象向左、右平行移动(每次 2π 个单位长度),就可 以得到正弦函数 y=sinx,x∈R 的图象.(这一过程用课件处理,让同学们仔细观察整个图的形成过 程,感知周期性) 图2 讨论结果:①利用正弦线,通过等分单位圆及平移即可得到 y=sinx,


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