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2015高考数列真题汇编


2015 高考数列真题汇编 一.选择题 1.6.(北京卷)设 ?an ? 是等差数列. 下列结论中正确的是 A.若 a1 ? a2 ? 0 ,则 a2 ? a3 ? 0 C.若 0 ? a1 ? a2 ,则 a2 ? a1a3 【答案】C 2.4.(全国卷)等比数列{an}满足 a1=3, a1 ? a3 ? a5 =21,则 a3 ? a5 ? a7 ? ( A.21 【答案】B B.42 C.63 D.84 ) B.若 a1 ? a3 ? 0 ,则 a1 ? a2 ? 0 D.若 a1 ? 0 ,则 ? a2 ? a1 ? ? a2 ? a3 ? ? 0

考点:等比数列通项公式和性质. 3.(浙江卷)已知 {an } 是等差数列,公差 d 不为零,前 n 项和是 Sn ,若 a3 , a4 , a8 成等 比数列,则( ) A. a1d ? 0, dS4 ? 0 C. a1d ? 0, dS4 ? 0 【答案】B. B. a1d ? 0, dS4 ? 0 D. a1d ? 0, dS4 ? 0

1

二.填空题 1.(13)(安徽卷)已知数列 {an } 中, a1 ? 1 , an ? an ?1 ? 前 9 项和等于 【答案】27 2.10.(广东卷)在等 差数列 ?an ? 中,若 a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? 25 ,则 a2 ? a8 = 【答案】 10 .
3.13. (广东卷)若三个正数 a , b , c 成等比数列,其中 a ? 5 ? 2 6 , c ? 5 ? 2 6 ,则

1 ( n ? 2 ),则数列 {an } 的 2



b?
【答案】 1



4.14.(湖南卷)设 Sn 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和,若 a1 ? 1 ,且 3S1 , 2S2 , S3 成等差数列, 则 an ? 【答案】 3 【解析】 试题分析:∵ 3S1 , 2 S 2 , S3 成等差数列,∴
n ?1

. .

2 ? 2(a1 ? a2 ) ? 3a1 ? a1 ? a2 ? a3 ? a3 ? 3a2 ? q ? 3 ,
又∵等比数列 {an } ,∴ an ? a1q n?1 ? 3n?1 .
2

5.16.(新课标卷)设 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和,且 a1 ? ?1 , an?1 ? Sn Sn?1 ,则 Sn ? ________. 【答案】 ? 【解析】 试题分析:由已知得 an?1 ? Sn?1 ? Sn ? Sn?1 ? Sn ,两边同时除以 Sn?1 ? Sn ,得

1 n

?1? 1 1 ? ? ?1,故数列 ? ? 是以 ?1 为首项, ?1 为公差的等差数列,则 Sn ?1 Sn ? Sn ? 1 1 ? ?1 ? (n ? 1) ? ?n ,所以 S n ? ? . n Sn
考点:等差数列和递推关系. 6.11.(浙江卷)数列 {an } 满足 a1 ? 1 ,且 an?1 ? an ? n ? 1 ( n ? N * ),则数列 { 10 项和为 【答案】
20 11

1 } 的前 an

【解析】 试题分析:由题意得:
an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? (a2 ? a1 ) ? a1 ? n ? n ? 1 ? ? 2 ?1 ? n(n ? 1) 2

1 1 1 1 2n 20 所以 a ? 2( n ? n ? 1), Sn ? 2(1 ? n ? 1) ? n ? 1 , S10 ? 11 n

考点:数列通项,裂项求和 7.10、(浙江卷)已知 ?an ? 是等差数列,公差 d 不为零.若 a2 , a3 , a7 成等比数列, 且 2a1 ? a2 ? 1 ,则 a1 ? 【答案】 , ? 1 ,d ? .

2 3

3

【解析】 试题分析:由题可得, (a1 ? 2d )2 ? (a1 ? d )(a1 ? 6d ) ,故有 3a1 ? 2d ? 0 ,又因为

2a1 ? a2 ? 1 ,即 3a1 ? d ? 1 ,所以 d ? ?1, a1 ?
三.大题

2 . 3

1.18. (安徽卷) 已知数列 ?an ? 是递增的等比数列,且 a1 ? a4 ? 9, a2a3 ? 8. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和, bn ?

an ?1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 。 Sn Sn ?1

【答案】(1) an ? 2n?1 (2)

2n ?1 ? 2 2n ?1 ? 1

4

2n ?1 ? 2 ? = 1 ? n ?1 2 ? 1 2n ?1 ? 1 1
2.16、(北京卷)(本小题满分 13 分)已知等差数列 ?an ? 满足 a1 ? a2 ? 10 , a4 ? a3 ? 2 . (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设等比数列 ?bn ? 满足 b2 ? a3 , b3 ? a7 ,问: b6 与数列 ?an ? 的第几项相等? 【答案】(1) an ? 4 ? 2(n ?1) ? 2n ? 2 ;(2) b6 与数列 ?an ? 的第 63 项相等. 【解析】 试题分析:本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识,考查学生的分 析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,利用等差数列的通项公式,将

a1 , a2 , a3 , a4 转化成 a1 和 d,解方程得到 a1 和 d 的值,直接写出等差数列的通项公式即
可;第二问,先利用第一问的结论得到 b2 和 b3 的值,再利用等比数列的通项公式,将

b2 和 b3 转化为 b1 和 q,解出 b1 和 q 的值,得到 b6 的值,再代入到上一问等差数列的通
项公式中,解出 n 的值,即项数. 试题解析:(Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d. 因为 a4 ? a3 ? 2 ,所以 d ? 2 . 又因为 a1 ? a2 ? 10 ,所以 2a1 ? d ? 10 ,故 a1 ? 4 . 所以 an ? 4 ? 2(n ?1) ? 2n ? 2 (n ? 1, 2, (Ⅱ)设等比数列 ?bn ? 的公比为 q . 因为 b2 ? a3 ? 8 , b3 ? a7 ? 16 ,

).

5

所以 q ? 2 , b1 ? 4 . 所以 b6 ? 4 ? 26?1 ? 128 . 由 128 ? 2n ? 2 ,得 n ? 63 . 所以 b6 与数列 ?an ? 的第 63 项相等. 3.17.(福建卷)(本小题满分 12 分) 等差数列 ?an ? 中, a2 ? 4 , a4 ? a7 ? 15 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? 2an ?2 ? n ,求 b1 ? b2 ? b3 ? ??? ? b10 的值. 【答案】(Ⅰ) an ? n ? 2 ;(Ⅱ) 2101 . 【解析】 试题分析:(Ⅰ)利用基本量法可求得 a1 , d ,进而求 ?an ? 的通项公式;(Ⅱ)求数列 前 n 项和,首先考虑其通项公式,根据通项公式的不同特点,选择相应的求和方法, 本题 bn ? 2n ? n ,故可采取分组求和法求其前 10 项和. 试题解析:(I)设等差数列 ?an ? 的公差为 d .

由已知得 ?

? ?a1 ? d ? 4 , ? ?? a1 ? 3d ? ? ? a1 ? 6d ? ? 15

解得 ?

? a1 ? 3 . ?d ? 1

所以 an ? a1 ? ? n ?1? d ? n ? 2 .
6

考点:1、等差数列通项公式;2、分组求和法. 4.19.(广东卷)(本小题满分 14 分)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , n ? ?? .已知

a1 ? 1 , a2 ?

3 5 , a3 ? , 2 4

且当 n ? 2 时, 4Sn?2 ? 5Sn ? 8Sn?1 ? Sn?1 . (1)求 a4 的值; (2)证明: ?an?1 ?

? ?

1 ? an ? 为等比数列; 2 ?

(3)求数列 ?an ? 的通项公式.

7 ?1? 【答案】(1) ;(2)证明见解析;(3) an ? ? 2n ? 1? ? ? ? 8 ?2?
【解析】

n ?1



试题分析:(1)令 n ? 2 可得 a4 的值;(2)先将 4Sn?2 ? 5Sn ? 8Sn?1 ? Sn?1 ( n ? 2 ) 转化为 4an?2 ? an ? 4an?1 ,再利用等比数列的定义可证 ?an?1 ?

? ?

1 ? an ? 是等比数列;(3) 2 ?

7

先由(2)可得数列 ?an?1 ?

? ?

1 ? 1 ? ? an ? 的通项公式,再将数列 ?an?1 ? an ? 的通项公式转化 2 ? 2 ? ?

? ? ? ? ? an ? 为数列 ? 是等差数列,进而可得数列 ?an ? 的通项公式. n ? ?? 1 ? ? ? ? ? ?? 2 ? ? ?
试题解析:(1)当 n ? 2 时, 4S4 ? 5S2 ? 8S3 ? S1 ,即

7 ? 3 5 ? ? 3? ? 3 5? 4 ?1 ? ? ? a4 ? ? 5 ?1 ? ? ? 8 ?1 ? ? ? ? 1 ,解得: a4 ? 8 ? 2 4 ? ? 2? ? 2 4?
(2)因为 4Sn?2 ? 5Sn ? 8Sn?1 ? Sn?1 ( n ? 2 ),所以

4Sn?2 ? 4Sn?1 ? Sn ? Sn?1 ? 4Sn?1 ? 4Sn ( n ? 2 ),即 4an?2 ? an ? 4an?1 ( n ? 2 ),因
为 4a3 ? a1 ? 4 ?

5 ? 1 ? 6 ? 4a2 ,所以 4an?2 ? an ? 4an?1 因为 4

1 an ? 2 ? an ?1 4a ? 2a 4a ? a ? 2an ?1 2an ?1 ? an 1 n ?1 2 ? n?2 ? n ?1 n ? ? ,所以数列 1 4an ?1 ? 2an 4an ?1 ? 2an 2 ? 2an ?1 ? an ? 2 an ?1 ? an 2
1 1 1 ? ? ?an?1 ? an ? 是以 a2 ? a1 ? 1 为首项,公比为 的等比数列 2 2 2 ? ?
(3)由(2)知:数列 ?an?1 ?

? ?

1 1 1 ? an ? 是以 a2 ? a1 ? 1 为首项,公比为 的等比数列, 2 2 2 ?

所以 an?1 ?

1 ?1? an ? ? ? 2 ?2?

n ?1



an ?1 ?1? ? ? ?2? an ?1? ? ? ?2?
n

n ?1

? ? ? ? an a ? an ? 是以 1 ? 2 为首项, ? ? 4 ,所以数列 ? n ? n 1 ?1? ?? 1 ? ? ? ? ? ? ? 2 ?2? ?? 2 ? ? ?

公差为 4 的等差数列,所以

? 2 ? ? n ? 1? ? 4 ? 4n ? 2 ,即

8

?1? ?1? an ? ? 4n ? 2? ? ? ? ? ? 2n ? 1? ? ? ? ?2? ? 2? ?1? an ? ? 2n ? 1? ? ? ? ?2?
n ?1

n

n ?1

,所以数列 ?an ? 的通项公式是

5.19. (湖南卷)(本小题满分 13 分)
设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? 1, a2 ? 2 ,且 an?1 ? 3Sn

?Sn?1 ? 3,(n ? N * ) ,
(I)证明: an?2 ? 3an ; (II)求 Sn 。
n?2 ?3 2 (5 ? 3 ? 1), (n ? 2k ? 1, k ? N * ) ? ?2 【答案】(I)略;(II) Sn ? ? n ? 3 (3 2 ? 1), (n ? 2k , k ? N * ) ? ?2

【解析】 试题分析:(I)当 n ? N * , n ? 2 时,由题可得 an?2 ? 3Sn ?Sn?1 ? 3,(n ? N * ) ,

an?1 ? 3Sn?1 ?Sn ? 3,(n ? N * ) ,两式子相减可得 an?2 ? an?1 ? 3an ? an?1 ,即 an?2 ? 3an ,(n ? 2) ,然后验证当 n=1 时,命题成立即可; (II)通过求解数列 {an } 的奇
数项与偶数项的和即可得到其对应前 n 项和的通项公式. 试题解析:(I)由条件,对任意 n ? N ,有 an?2 ? 3Sn ?Sn?1 ? 3,(n ? N * ) ,
*

因而对任意 n ? N * , n ? 2 ,有 an?1 ? 3Sn?1 ?Sn ? 3,(n ? N * ) , 两式相减,得 an?2 ? an?1 ? 3an ? an?1 ,即 an?2 ? 3an ,(n ? 2) , 又 a1 ? 1, a2 ? 2 ,所以 a3 ? 3S1 ? S2 ? 3 ? 3a1 ? (a1 ? a2 ) ? 3 ? 3a1 , 故对一切 n ? N , an?2 ? 3an 。
*

9

(II)由(I)知, an ? 0 ,所以

an ? 2 ? 3 ,于是数列 {a2n?1} 是首项 a1 ? 1,公比为 3 an

的等比数列,数列 {a2 n } 是首项 a1 ? 2 ,公比为 3 的等比数列,所以

a2n?1 ? 3n?1, a2n ? 2 ? 3n?1 ,
于是 S2n ? a1 ? a2 ?

? a2n ? (a1 ? a3 ?

? a2n?1 ) ? (a2 ? a4 ?
3n?1 ) ?

? a2n )

? (1 ? 3 ?

3n?1 ) ? 2(1 ? 3 ?

3n?1 ) ? 3(1 ? 3 ?

3(3n ? 1) 2

3(3n ? 1) 3 ? 2 ? 3n?1 ? (5 ? 3n?2 ? 1) , 从而 S2 n ?1 ? S2 n ? a2 n ? 2 2
n?2 ?3 (5 ? 3 2 ? 1), (n ? 2k ? 1, k ? N * ) ? ?2 综上所述, Sn ? ? 。 n 3 ? (3 2 ? 1), (n ? 2k , k ? N * ) ? ?2

考点:数列递推关系、数列求和

6.19. (山东卷)(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 是首项为正数的等差数列,数列 ? (I)求数列 ?an ? 的通项公式;

?

1 ? n . ? 的前 n 项和为 2n ? 1 ? an ? an ?1 ?

(II)设 bn ? ? an ? 1? ? 2 n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .
a

【答案】(I) an ? 2n ?1. (II) Tn ?

4 ? (3n ? 1) ? 4n?1 . 9

【解析】 试题分析:(I)设数列 ?an ? 的公差为 d ,

令 n ? 1, 得

1 1 ? ,得到 a1a2 ? 3 . a1a2 3 1 1 2 ? ? ,得到 a2a3 ? 15 . a1a2 a2 a3 5
10

令 n ? 2, 得

解得 a1 ? 1, d ? 2 即得解. (II)由(I)知 bn ? 2n ? 22n?4 ? n ? 4n , 得到 Tn ? 1? 41 ? 2 ? 42 ? ...... ? n ? 4n , 从而 4Tn ? 1? 42 ? 2 ? 43 ? ...... ? (n ?1) ? 4n ? n ? 4n?1, 利用“错位相减法”求和. 试题解析:(I)设数列 ?an ? 的公差为 d ,

令 n ? 1, 得

1 1 ? ,所以 a1a2 ? 3 . a1a2 3 1 1 2 ? ? ,所以 a2a3 ? 15 . a1a2 a2 a3 5

令 n ? 2, 得

解得 a1 ? 1, d ? 2 ,所以 an ? 2n ?1. (II)由(I)知 bn ? 2n ? 22n?4 ? n ? 4n , 所以 Tn ? 1? 41 ? 2 ? 42 ? ...... ? n ? 4n , 所以 4Tn ? 1? 42 ? 2 ? 43 ? ...... ? (n ?1) ? 4n ? n ? 4n?1, 两式相减,得 ?3Tn ? 41 ? 42 ? ...... ? 4n ? n ? 4n?1

?

4(1 ? 4n ) 1 ? 3n n?1 4 ? n ? 4n?1 ? ?4 ? , 1? 4 3 3 3n ? 1 n?1 4 4 ? (3n ? 1) ? 4n?1 ?4 ? ? . 9 9 9

所以 Tn ?

考点:1.等差数列的通项公式;2.数列的求和、“错位相减法

]

7.13.(陕西卷)中位数 1010 的一组数构成等差数列,其末项为 2015,则该数列的首项 为 .

【答案】 5

11

8.16.(四川卷)设数列 {a } 的前 n 项和 S ? 2a ? a ,且 a , a ?1, a 成等差 n n 1 1 2 3 n 数列.
(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)记数列 {

1 1 成立的 n 的最小值. } 的前 n 项和 Tn ,求得 | Tn ? 1|? 1000 an

【答案】(1) an ? 2n ;(2)10. 【解析】 试题分析:(1)利用 an ? Sn ? Sn?1 及题设可得 an 与 an ?1 的关系为 an ? 2an?1 (n ? 1) , 所以这是一个公比为 2 的等比数列.再利用 a1 , a2 ? 1, a3 成等差数列,可求得 a1 ? 2 ,从 而得通项公式.(2)由(1)得

1 1 ? n ,这仍然是一个等比数列,利用等比数列的前 an 2

n 项和公式,可求得 Tn ? 1 ?

1 1 1 ,代入 | Tn ? 1|? ,即可得使 | Tn ? 1|? 成立的 n 2 1000 1000

n 的最小值.
试题解析:(1)由已知 Sn ? 2an ? a1 ,有 an ? Sn ? Sn?1 ? 2an ? 2an?1 (n ? 1) , 即 an ? 2an?1 (n ? 1) . 从而 a2 ? 2a1 , a3 ? 4a1 . 又因为 a1 , a2 ? 1, a3 成等差数列,即 a1 ? a3 ? 2(a2 ? 1) . 所以 a1 ? 4a1 ? 2(2a1 ? 1) ,解得 a1 ? 2 . 所以,数列 {an } 是首项为 2,公比为 2 的等比数列. 故 an ? 2n .

12

9.16.(四川卷)(本小题满分 12 分)
设数列{an}(n=1,2,3…)的前 n 项和 Sn 满足 Sn=2an-a3,且 a1,a2+1,a3 成等差 数列. (Ⅰ)求数列的通项公式; (Ⅱ)设数列 {

1 } 的前 n 项和为 Tn,求 Tn. an

【解析】本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列通项公式与前 n 项和等基础 知识,考查运算求解能力. (Ⅰ) 由已知 Sn=2an-a1,有

an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n≥2)
即 an=2an-1(n≥2) 从而 a2=2a1,a3=2a2=4a1, 又因为 a1,a2+1,a3 成等差数列 即 a1+a3=2(a2+1) 所以 a1+4a1=2(2a1+1),解得 a1=2 所以,数列{an}是首项为 2,公比为 2 的等比数列 故 an=2n. (Ⅱ)由(Ⅰ)得

1 1 ? n an 2

1 1 [1 ? ( )n ] 1 1 1 2 ? 1? 1 所以 Tn= ? 2 ? ...... ? n ? 2 1 2 2 2 2n 1? 2

13

10.18. (天津卷)已知数列 {an } 满足

an?2 ? qan (q 为实数,且q ? 1),n ? N* , a1 ? 1, a2 ? 2 ,且 a2 + a3 , a3 + a4 , a4 + a5 成等差
数列. (I)求 q 的值和 {an } 的通项公式; (II)设 bn ?

log 2 a2 n 的 前 n 项和. {bn} , n ? N * ,求数列 a2 n?1

?1 ? n2 2 , n为奇数, n?2 ? 【答案】(I) an ? ? n ; (II) Sn ? 4 ? n ?1 . 2 ? 2 2 , n为偶数. ?

【解析】 试题分析:(I)由 a3 + a4 - a2 + a3 = a4 + a5 - a3 + a4 得 a4 ? a2 ? a5 ? a3 先求出

(

) (

) (

) (

)

q ,分 n 为奇数与偶数讨论即可;(II)求出数列 ?bn ? 的通项公式,用错位相减法求和即
可. 试题解析:(I) 由已知,有 a3 + a4 - a2 + a3 = a4 + a5 - a3 + a4 ,即

(

) (

) (

) (

)

a4 ? a2 ? a5 ? a3 ,
所以 a2 (q ? 1) ? a3 (q ? 1) ,又因为 q ? 1 ,故 a3 ? a2 ? 2 ,由 a3 ? a1q ,得 q ? 2 ,
14

当 n ? 2k ? 1(n ? N *) 时, an ? a2k ?1 ? 2

k ?1

?2

n ?1 2



当 n ? 2k (n ? N *) 时, an ? a2k ? 2k ? 2 2 ,
?1 ? n2 2 , n为奇数, ? 所以 {an } 的通项公式为 an ? ? n ? 2 2 , n为偶数. ?

n

考点:1.等差中项定义;2.等比数列及前 n 项和公式.3.错位相减法. 11.17. (浙江卷)(本题满分 15 分)已知数列 {an } 和 {bn } 满足,

a1 ? 2, b1 ? 1, an?1 ? 2an (n ? N* ),
1 1 b1 ? b2 ? b3 ? 2 3
(1)求 an 与 bn ; (2)记数列 {anbn } 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn . 【答案】(1) an ? 2 ; bn ? n ;(2) Tn ? (n ?1)2
n n?1

1 ? bn ? bn ?1 ? 1(n ? N* ) . n

? 2(n ? N * )

15

【解析】 试题分析:(1)根据数列递推关系式,确定数列的特点,得到数列的通项公式;(2)根据 (1)问得到新的数列的通项公式,利用错位相减法进行数列求和. 12.16、(重庆卷)(本小题满分 12 分,(I)小问 7 分,(II)小问 6 分) 已知等差数列 ?an ? 满足 a3 =2,前 3 项和 S3 = 1、求 ?an ? 的通项公式; 2、设等比数列 ?bn ? 满足 b1 = a1 , b4 = a15 ,求 ?bn ? 前 n 项和 Tn . 【答案】(Ⅰ) an =

9 . 2

n +1 ;(Ⅱ) Tn = 2n - 1 . 2

试题解析: (1)设 {an } 的公差为 d,则由已知条件得

a1 + 2d = 2,3a1 +

3? 2 9 d= , 2 2 3 1 , 解得 a1 =1,d = , 2 2

化简得 a1 + 2d = 2, a1 + d = 故通项公式 an =1+ (2)由(1)得 b1 =1,b4 =a15 = 设 {bn } 的公比为 q,则 q3 = 故 {bn } 的前 n 项和

n- 1 n +1 ,即 an = . 2 2

15+1 =8 . 2

b4 = 8 ,从而 q = 2 . b1

16

Tn =

b1 (1 - q n ) 1? (1 2n ) = = 2n - 1 . 1- q 1- 2

考点:1. 等差数列;2. 等比数列.

考点:1.等差等比数列的通项公式;2.数列的递推关系式;3.错位相减法求和.

17


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