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2013届高考文科数学第一轮复习测试题10


(时间:40 分钟 一、填空题(每小题 5 分,共 40 分)

满分:60 分)

2 ? π? 1.已知直线 ρsin?θ+4?= 2 ,则极点到该直线的距离是________. ? ? 解析 由题意知,ρsin θ+ρcos θ=1,∴x+y-1=0,由点到直线的距离公式得 2 所求的距离 d= 2 . 答案 2 2

π? ? 2.(2011· 汕头调研)在极坐标系中,ρ=4sin θ 是圆的极坐标方程,则点 A?4,6?到 ? ? 圆心 C 的距离是________. 解析 将圆的极坐标方程 ρ=4sin θ 化为直角坐标方程为 x2+y2-4y=0,圆心坐 π? ? 标为(0,2).又易知点 A?4,6?的直角坐标为(2 3,2),故点 A 到圆心的距离为 ? ? ?0-2 3?2+?2-2?2=2 3. 答案 2 3 3.在极坐标系中,过圆 ρ=6cos θ-2 2sin θ 的圆心且与极轴垂直的直线的极坐 标方程为________. 解析 由 ρ=6cos θ-2 2sin θ?ρ2=6ρcos θ-2 2ρsin θ, 所以圆的直角坐标方程 为 x2+y2-6x+2 2y=0,将其化为标准形式为(x-3)2+(y+ 2)2=11,故圆心的 坐标为(3,- 2),所以过圆心且与 x 轴垂直的直线的方程为 x=3,将其化为极 坐标方程为 ρcos θ=3. 答案 ρcos θ=3 π? ? ? π? 4.(2011· 华南师大模拟)在极坐标系中,点 M?4,3?到曲线 ρcos?θ-3?=2 上的点 ? ? ? ? 的距离的最小值为________. 解析 依题意知,点 M 的直角坐标是(2,2 3),曲线的直角坐标方程是 x+ 3y -4=0,因此所求的距离的最小值等于点 M 到该直线的距离,即为 |2+2 3× 3-4| =2. 12+? 3?2

答案 2 5. (2011· 广州广雅中学模拟)在极坐标系中, ρ=4 上的点到直线 ρ(cos θ+ 3sin 圆 θ)=8 的距离的最大值是________. 解析 把 ρ=4 化为直角坐标方程为 x2+y2=16,把 ρ(cos θ+ 3sin θ)=8 化为直 8 角坐标方程为 x+ 3y-8=0,∴圆心(0,0)到直线的距离为 d=2=4.∴直线和圆 相切,∴圆上的点到直线的最大距离是 8. 答案 8 π 6.在极坐标系中,曲线 C1:ρ=2cos θ,曲线 C2:θ=4,若曲线 C1 与 C2 交于 A、 B 两点,则线段 AB=________. 解析 曲 线 C1 与 C2 均 经 过 极 点 , 因 此 极 点 是 它 们 的 一 个 公 共 点 . 由 ?ρ= 2, ? 得? π ?θ=4, ?

?ρ=2cos θ, ? ? π ?θ=4 ? 因此 AB= 2. 答案 2

即曲线 C1 与 C2 的另一个交点与极点的距离为 2,

7.(2011· 湛江模拟)在极坐标系中,圆 C 的极坐标方程为:ρ2+2ρcos θ=0,点 P π? ? 的极坐标为?2,2?过点 P 作圆 C 的切线,则两条切线夹角的正切值是________. ? ?

解析 圆 C 的极坐标方程:ρ2+2ρcos θ=0 化为普通方程:(x+1)2+y2=1,点 P 的直角坐标为(0,2),圆 C 的圆心为(-1,0).如图,当切线的斜率存在时,设切线 方程为 y=kx+2,则圆心到切线的距离为 |-k+2| 3 3 =1,∴k=4,即 tan α=4.易知 2 k +1

满足题意的另一条切线的方程为 x=0.又∵两条切线的夹角为 α 的余角,∴两条 4 切线夹角的正切值为3. 4 答案 3

8.若直线 3x+4y+m=0 与曲线 ρ2-2ρcos θ+4ρsin θ+4=0 没有公共点,则实 数 m 的取值范围是________. 解析 注意到曲线 ρ2-2ρcos θ+4ρsin θ+4=0 的直角坐标方程是 x2+y2-2x+4y +4=0,即(x-1)2+(y+2)2=1.要使直线 3x+4y+m=0 与该曲线没有公共点, 只 要 圆 心 (1 , - 2) 到 直 线 3x + 4y + m = 0 的 距 离 大 于 圆 的 半 径 即 可 , 即 |3×1+4×?-2?+m| >1,|m-5|>5,解得,m<0,或 m>10. 5 答案 (-∞,0)∪(10,+∞) 二、解答题(共 20 分) 9.(10 分)设过原点 O 的直线与圆(x-1)2+y2=1 的一个交点为 P,点 M 为线段 OP 的中点,当点 P 在圆上移动一周时,求点 M 轨迹的极坐标方程,并说明它是 什么曲线. π? ? π 解 圆(x-1)2+y2=1 的极坐标方程为 ρ=2cos θ?-2≤θ≤2?,设点 P 的极坐标 ? ? 为(ρ1,θ1),点 M 的极坐标为(ρ,θ),

∵点 M 为线段 OP 的中点,∴ρ1=2ρ,θ1=θ,将 ρ1=2ρ,θ1=θ 代入圆的极坐标 π? ?π 方程,得 ρ=cos θ.∴点 M 轨迹的极坐标方程为 ρ=cos θ-?2≤θ≤2?,它表示圆 ? ? 1 ?1 ? 心在点?2,0?,半径为2的圆. ? ? 10.(10 分)以直角坐标系的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,已知点 P 的直 π? π ? 角坐标为(1,-5),点 M 的极坐标为?4,2?,若直线 l 过点 P,且倾斜角为3,圆 ? ? C 以 M 为圆心、4 为半径.

(1)求直线 l 的参数方程和圆 C 的极坐标方程; (2)试判定直线 l 和圆 C 的位置关系. y+5 π 解 (1)由题意,直线 l 的普通方程是 y+5=(x-1)tan 3,此方程可化为 π= sin 3

?x=1a+1, ? 2 x-1 y+5 x-1 ,令 = =a(a 为参数),得直线 l 的参数方程为? π π π 3 cos 3 sin 3 cos 3 ?y= 2 a-5 ?
为参数).

(a

如图,设圆上任意一点为 P(ρ,θ),则在△POM 中,由余弦定理,得 PM2=PO2 +OM2-2· OMcos∠POM, PO· ? π? ∴42=ρ2+42-2×4ρcos?θ-2?. ? ? 化简得 ρ=8sin θ,即为圆 C 的极坐标方程. (2)由(1)可进一步得出圆心 M 的直角坐标是(0,4), 直线 l 的普通方程是 3x-y-5- 3=0, 圆心 M 到直线 l 的距离 d= 所以直线 l 和圆 C 相离. |0-4-5- 3| 9+ 3 = 2 >4, 3+1



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