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2019年-一阶微分方程55374-PPT精选文档_图文

5.2 一阶微分方程
主要内容: 1.可分离变量的微分方程 2.齐次型微分方程 3.一阶线性微分方程
1

一、可分离变量的微分方程
1. 定义

形如

dy? f(x)g(y) dx

(1)

的一阶微分方程,叫做可分离变量的微分方程. 其中f(x),g(y) 分别是 x ,y 的连续函数.

2.分离变量法

把方程中的两个变量分离开来,使方程的一边只含有 y 的 函数及dy,另一边只含有 x 的函数及 dx,然后两边积分,从 而求出微分方程的解. 这种方法称为分离变量法.

2

3.步骤

(1)分离变量,得 dy ? f (x)dx g( y)

(g(y)?0)

(2) 两边积分,得

?

dy g(y)

??

f

(x)dx

(3) 求得积分,得

G(y)?F(x)?C

其G 中 (y)F , (x)分别1是 ,f(x)的原.函数
g(y)

3

例1 求微分d方 y?2程 xy的通.解
dx 解 分离变量,得

两边积分,得

dy ? 2xdx,

y

?

dy y

?

?

2

xdx



lny ?x2?C

y?ex2?c1 ?ec1ex2,



y ? ?ec1ex2.

因为?ec1仍是任意常,数令C??eC1 ?0,得方程的通解为
y ? Cex2

4

例2 求微d 分 dx y ?1方 x0 ?y的 程满足y初 x?1?0始 的条 特 . 件 解

解 原方程可化为

dy?10x?10y dx

分离变量,得

10?ydy?10xdx

两边积分, 得 化简,得

? ? 10?ydy? 10xdx

?1? 0y 1 ln1

0 ?1x0ln 110 ?C1

10 x?1? 0y?C (其C 中 ??C 1ln 1)0

把初始y条 x?1?件 0代入上 ,得式 C?11.
于是所求微分方程的特解为
10x?10?y ?11.

5

二、齐次型微分方程

1. 定义

形如

d? yf(y)

(2)

dx x

的微分方程, 称为齐次型微分方程.
例如(方 xy?程 y2)dx?(x2?2x)ydy?0就是齐次型 .微

因为方程可化为 dy ? dx

xy? y2 x2 ?2xy?

y ?( y)2 xx 1?2( y)

x

6

2.解法

在方程 ( 2 ) 中,引进新的未知函数

u?

y, x

则y ? xu,

dy ? xdu?u, 代入方程(2),便得可分离变量方程
dx dx
xdu? f(u)?u, dx



du ? dx

f (u) ? u x

两边积分,得

?

f

du (u)?u

?

?

dx x

求出积分后, 再用y 代替u, 即得所求齐次型微分方程

的通解.

x

7

例3 解 微 分 ddxy方 ?x程 yy?2x2.

解 原方程可化为

? y ?2 ?? dy ? ? x ? dx ?? y ?? ? 1 ?x?

它是齐次型微分方程.

令u ?

y,
x

代入原方程,得 xdu? u2 ?u? u dx u?1 u?1

分离变量,得

u?1du? dx

u

x

两边积分,得

u?lnu?lnx?C1



x? u eu ? C 1?Cue(其 C ? 中 e? C 1)

y
将u? y代 入 上 ,得 式 y ? Ce x
x

这就是所求微分方程的通解.

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三、一阶线性微分方程

1、定义

方程

dy?P(x)y?Q(x)

(3)

dx

称为一阶线性微分方程,其中 P(x)和Q(x)都是 x的连续.函

当Q(x)?0时,方程(3)称为一阶线性齐次微分方程

当Q(x)T0时, 方程(3)称为一阶线性非齐次微分方程.

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2、一阶线性齐次微分方程的通解

先讨论一阶线性齐次微分方程

的通解.

dy?P(x)y ?0 dx

(4)

显然,方程(4)是可分离变量方程.分离变量后,得

两边积分,得

dy ? ?P(x)dx y
ln y???P(x)d? xln C



y?e??P(x)d? x l n C?C??eP(x)dx

(5-1)

这就是一阶线性齐次微分方程(4)的通解公式.
注意 在用上式进行具体运算时,其中的不定积分 ? P(x)dx

只表示P(x)一个确定的函数.
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3、一阶线性非齐次微分方程的解法——常数变易法

由方程特点,设一阶线性非齐次微分方程的通解为

y?C(x)e??P(x)dx

(5)

对(5)式求导得

d? y C ?(x )e ? ?P (x )d? xP (x )C (x )e ? ?P (x )d.x(6) dx

将(5)和(6)代入方程(3)并整理得

C?(x)?Q(x)e?P(x)dx

由此可得

? C (x)?Q (x)e?P(x)dd x ? xC

将上式代入(5)式,得一阶线性非齐次微分方程的通解为

? y? e? ?P (x )d(xQ (x )e?P (x )dd x? x C ) (5-2) 11

注意: 公式中各个不定积分都只表示了对应的被积函数的 一个原函数.
这种通过把对应的线性齐次方程通解中的任意常数变 易为待定函数,然后求出线性非齐次方程的通解的方法称 为常数变易法.
公式(5-2)也可写成下面的形式
? y? e ? ?P (x )dx Q (x )e ?P (x )dd x? C x? ?P ( e x )dx (7)
由此可知:一阶线性非齐次方程的通解等于它的一个特 解与对应的齐次方程的通解之和.
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例4

求方d程 y? 2y

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?(x?1)2的通 . 解

dx x?1

解1 (常数变易法)对应的线性齐次方程为 dy? 2y ?0,
dx x?1
用分离变量法求得它的通解为 y?C(x?1)2

将上式中的任意常数C 换成函数C(x) ,即设原方程的通解为

y?C(x)(x?1)2

将 则y有和 dyd 代 d入 ? x yC 原 ?(方 x)程 x (,? 得 1)2?2C C(x ?()xx )(? ?1 ()x,?1)12.

dx 两边积分,得

C(x)?2(x?1)23 ?C.

3

再代入(8)式,即得所求方程的通解为

y?(x?1)2???32(x?1)23

? ?C?
?

(8)
13

解2

(公式法)因为 P(x)?? 2 , x?1

5
Q(x)?(x?1)2

.

代入公式(5-2),得

? y?e?x2 ?1dx ?? (x?1)5 2e?x?? 21dd x x ?C??

?

?

? ?e2lnx(?1)? ? (x?1)5 2?e?2lnx(?1)dx ?C? ?

?

?

?

5

?

? ?(x?1)2??

(x?1)2 (x?1)2

dx?C??

??

??

?(x?1)2???32(x?1)23????C.

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例5 求方 x2d? y (程 2x? yx? 1 )d? x 0满足初 yx? 1?0 始 的条 .特







程d d可 x y?2 xy化 ?xx? 为 21,对应的齐次方程是

dy ? dx

2 x

y

?

0

用分离变量法求得它的通解为

y

?

C

1 x2

用常数变易法,设非齐次方程的通解为

1 y ? C(x) x2

则y??C?(x)x12?x23C(x)

把y和y?代 入 原 方 ,得 程 C?(并 x)?x 化 ?1.简

两边积分,得

C(x)?1x2 ?x?C

2 因此,非齐次方程的通解为

11 C

y

?

? 2

x

?

x2

将 初y 始 x?1?0 条 代件 入 ,得 上 C?1 2式 .故所求微分方程的特解为

11 1

y

?

? 2

x

?2x2

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例6 解微分 yd? 方 x(x?程 y3)dy ?0. (设y?0)
解 原方程可化为 dx ? 1 x ? y2 dy y
将x 看作y 的函数,则它是形如 x??p(y)x?q(y)

的一阶线性非齐次微分方程.

? ? ? ? 因为 p(y)dy? 1dy?lny,q(y)e?p(y)dd y ? yy2?yd ?1 yy4

y

4

于是由一阶线性非齐次方程的通解公式,得

? x?e? ?p (y)d(yq (y)e?p (y)dd y? y C )?1(1y4?C)?1y3?C,

y4

4y



4xy?y4 ?C

这就是所求微分方程的通解.
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四、小结:
1.可分离变量的微分方程的特点、解法; 2.齐次型微分方程的特点、解法; 3.一阶线性微分方程的解法,其中一阶线性齐次方程的通 解公式,一阶线性非齐次方程的常数变易法和通解公式.
作业:
习题5.2 ① (2)(4),3(3)4(1) ② 5(3)(4)6(2)
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