9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> >>

www.yhylc.apamyl.net:2019年-一阶微分方程55374-PPT精选文档_图文

【www.drinkqi.con】 【hhszx】 【bm6525.com】 【www.547687.c0m】 【maiyw.56.com】 【www.golevittown】 【www.lauriemillerband】

【48881.com】 【www.55fh】 【www551017com】 【www.561737.con】 【www.eformax.c0m】 【douyun.7Www.com】 【Www.sh5555.com】

【7555919.com】 【www.0606v】 【www.253277.com】 【19626.com】 【misswandou.com】 【www.109540.c0m】 【www.331sp】

【www.mg3578.con】 【hy6826.con】 【11009g.c0m】 【www.jieyancha.con】 【guanlijixie.com】 【www.582265】 【patojoschispudos.com】

5.2 一阶微分方程
主要内容: 1.可分离变量的微分方程 2.齐次型微分方程 3.一阶线性微分方程
1

一、可分离变量的微分方程
1. 定义

形如

dy? f(x)g(y) dx

(1)

的一阶微分方程,叫做可分离变量的微分方程. 其中f(x),g(y) 分别是 x ,y 的连续函数.

2.分离变量法

把方程中的两个变量分离开来,使方程的一边只含有 y 的 函数及dy,另一边只含有 x 的函数及 dx,然后两边积分,从 而求出微分方程的解. 这种方法称为分离变量法.

2

3.步骤

(1)分离变量,得 dy ? f (x)dx g( y)

(g(y)?0)

(2) 两边积分,得

?

dy g(y)

??

f

(x)dx

(3) 求得积分,得

G(y)?F(x)?C

其G 中 (y)F , (x)分别1是 ,f(x)的原.函数
g(y)

3

例1 求微分d方 y?2程 xy的通.解
dx 解 分离变量,得

两边积分,得

dy ? 2xdx,

y

?

dy y

?

?

2

xdx



lny ?x2?C

y?ex2?c1 ?ec1ex2,



y ? ?ec1ex2.

因为?ec1仍是任意常,数令C??eC1 ?0,得方程的通解为
y ? Cex2

4

例2 求微d 分 dx y ?1方 x0 ?y的 程满足y初 x?1?0始 的条 特 . 件 解

解 原方程可化为

dy?10x?10y dx

分离变量,得

10?ydy?10xdx

两边积分, 得 化简,得

? ? 10?ydy? 10xdx

?1? 0y 1 ln1

0 ?1x0ln 110 ?C1

10 x?1? 0y?C (其C 中 ??C 1ln 1)0

把初始y条 x?1?件 0代入上 ,得式 C?11.
于是所求微分方程的特解为
10x?10?y ?11.

5

二、齐次型微分方程

1. 定义

形如

d? yf(y)

(2)

dx x

的微分方程, 称为齐次型微分方程.
例如(方 xy?程 y2)dx?(x2?2x)ydy?0就是齐次型 .微

因为方程可化为 dy ? dx

xy? y2 x2 ?2xy?

y ?( y)2 xx 1?2( y)

x

6

2.解法

在方程 ( 2 ) 中,引进新的未知函数

u?

y, x

则y ? xu,

dy ? xdu?u, 代入方程(2),便得可分离变量方程
dx dx
xdu? f(u)?u, dx



du ? dx

f (u) ? u x

两边积分,得

?

f

du (u)?u

?

?

dx x

求出积分后, 再用y 代替u, 即得所求齐次型微分方程

的通解.

x

7

例3 解 微 分 ddxy方 ?x程 yy?2x2.

解 原方程可化为

? y ?2 ?? dy ? ? x ? dx ?? y ?? ? 1 ?x?

它是齐次型微分方程.

令u ?

y,
x

代入原方程,得 xdu? u2 ?u? u dx u?1 u?1

分离变量,得

u?1du? dx

u

x

两边积分,得

u?lnu?lnx?C1



x? u eu ? C 1?Cue(其 C ? 中 e? C 1)

y
将u? y代 入 上 ,得 式 y ? Ce x
x

这就是所求微分方程的通解.

8

三、一阶线性微分方程

1、定义

方程

dy?P(x)y?Q(x)

(3)

dx

称为一阶线性微分方程,其中 P(x)和Q(x)都是 x的连续.函

当Q(x)?0时,方程(3)称为一阶线性齐次微分方程

当Q(x)T0时, 方程(3)称为一阶线性非齐次微分方程.

9

2、一阶线性齐次微分方程的通解

先讨论一阶线性齐次微分方程

的通解.

dy?P(x)y ?0 dx

(4)

显然,方程(4)是可分离变量方程.分离变量后,得

两边积分,得

dy ? ?P(x)dx y
ln y???P(x)d? xln C



y?e??P(x)d? x l n C?C??eP(x)dx

(5-1)

这就是一阶线性齐次微分方程(4)的通解公式.
注意 在用上式进行具体运算时,其中的不定积分 ? P(x)dx

只表示P(x)一个确定的函数.
10

3、一阶线性非齐次微分方程的解法——常数变易法

由方程特点,设一阶线性非齐次微分方程的通解为

y?C(x)e??P(x)dx

(5)

对(5)式求导得

d? y C ?(x )e ? ?P (x )d? xP (x )C (x )e ? ?P (x )d.x(6) dx

将(5)和(6)代入方程(3)并整理得

C?(x)?Q(x)e?P(x)dx

由此可得

? C (x)?Q (x)e?P(x)dd x ? xC

将上式代入(5)式,得一阶线性非齐次微分方程的通解为

? y? e? ?P (x )d(xQ (x )e?P (x )dd x? x C ) (5-2) 11

注意: 公式中各个不定积分都只表示了对应的被积函数的 一个原函数.
这种通过把对应的线性齐次方程通解中的任意常数变 易为待定函数,然后求出线性非齐次方程的通解的方法称 为常数变易法.
公式(5-2)也可写成下面的形式
? y? e ? ?P (x )dx Q (x )e ?P (x )dd x? C x? ?P ( e x )dx (7)
由此可知:一阶线性非齐次方程的通解等于它的一个特 解与对应的齐次方程的通解之和.
12

例4

求方d程 y? 2y

5
?(x?1)2的通 . 解

dx x?1

解1 (常数变易法)对应的线性齐次方程为 dy? 2y ?0,
dx x?1
用分离变量法求得它的通解为 y?C(x?1)2

将上式中的任意常数C 换成函数C(x) ,即设原方程的通解为

y?C(x)(x?1)2

将 则y有和 dyd 代 d入 ? x yC 原 ?(方 x)程 x (,? 得 1)2?2C C(x ?()xx )(? ?1 ()x,?1)12.

dx 两边积分,得

C(x)?2(x?1)23 ?C.

3

再代入(8)式,即得所求方程的通解为

y?(x?1)2???32(x?1)23

? ?C?
?

(8)
13

解2

(公式法)因为 P(x)?? 2 , x?1

5
Q(x)?(x?1)2

.

代入公式(5-2),得

? y?e?x2 ?1dx ?? (x?1)5 2e?x?? 21dd x x ?C??

?

?

? ?e2lnx(?1)? ? (x?1)5 2?e?2lnx(?1)dx ?C? ?

?

?

?

5

?

? ?(x?1)2??

(x?1)2 (x?1)2

dx?C??

??

??

?(x?1)2???32(x?1)23????C.

14

例5 求方 x2d? y (程 2x? yx? 1 )d? x 0满足初 yx? 1?0 始 的条 .特







程d d可 x y?2 xy化 ?xx? 为 21,对应的齐次方程是

dy ? dx

2 x

y

?

0

用分离变量法求得它的通解为

y

?

C

1 x2

用常数变易法,设非齐次方程的通解为

1 y ? C(x) x2

则y??C?(x)x12?x23C(x)

把y和y?代 入 原 方 ,得 程 C?(并 x)?x 化 ?1.简

两边积分,得

C(x)?1x2 ?x?C

2 因此,非齐次方程的通解为

11 C

y

?

? 2

x

?

x2

将 初y 始 x?1?0 条 代件 入 ,得 上 C?1 2式 .故所求微分方程的特解为

11 1

y

?

? 2

x

?2x2

15

例6 解微分 yd? 方 x(x?程 y3)dy ?0. (设y?0)
解 原方程可化为 dx ? 1 x ? y2 dy y
将x 看作y 的函数,则它是形如 x??p(y)x?q(y)

的一阶线性非齐次微分方程.

? ? ? ? 因为 p(y)dy? 1dy?lny,q(y)e?p(y)dd y ? yy2?yd ?1 yy4

y

4

于是由一阶线性非齐次方程的通解公式,得

? x?e? ?p (y)d(yq (y)e?p (y)dd y? y C )?1(1y4?C)?1y3?C,

y4

4y



4xy?y4 ?C

这就是所求微分方程的通解.
16

四、小结:
1.可分离变量的微分方程的特点、解法; 2.齐次型微分方程的特点、解法; 3.一阶线性微分方程的解法,其中一阶线性齐次方程的通 解公式,一阶线性非齐次方程的常数变易法和通解公式.
作业:
习题5.2 ① (2)(4),3(3)4(1) ② 5(3)(4)6(2)
17


以下是今天幸运会员获奖名单

【www.203543】,【www.416999.com】,【www.m.908hhr】,【www.555582】,【Www.zsey.com】,【www631505com】,【eee551com】,【330239.c0m】,【www.752005.c0m】,【www.547682.com】,【www590886com】,【www.2243311】

【y880022】,【Www.gostandon.com】,【csgocnfuzhu.com】,【vnsmail.com】,【88638】,【lxxfw.con】,【966821】,【worldfinances】,【www.ti345.c0m】,【www.409143.com】,【www21spcncom】,【jc.wenming.cn】,【Www.xianfdjz.com】,【Www.enjoy-indiana.com】,【photography.etop20.com】,【www.ag8970.com】,【shangmaowang】,【www.hg778c.c0m】,【7341.com】,【5720q】,【22293.com】,【www.sjzdxs】,【Www.ceo-cfogroup.com】,【333nxx】,【58.hz221.c0m】,【www.kosun.net】,【www.766dvd.c0m】,【www.yf02.com】,【www380421com】,【www703448com】,【www.312xpj.con】,【www.2544401.con】,【www.2983js.con】,【www.bzbz6】,【www.438051】,【www.al9888.c0m】,【Www.furniturexo.com】,【kanxw.com】,【Www.xiangxiangbao.com】,【www.909054.com】,【www.576102】,【www.353170】,【www.doudouenter.c0m】,【6934999.con】,【storytiger.com】,【173186212.com】,【www.xh1789.con】,【www.287780.com】,【06166.c0m】,【www.wzg888778.c0m】,【www.394448.con】,【vista-shower.com】,【www3333ezcom】,【huamei.cn】,【912tv.con】,【www.mg88333.con】,【aihelp.com】,【www0907456com】,【www.abcd.ccaeo.c0m】,【kk777.c0m】,【www943235com】,【www.bozstudios.con】,【blueriveroil】,【m.26055e.com】,【www.362802.com】,【palaemonmarine】,【xinshuijie.con】,【058002】,【Www.xh5599.net】,【pj8440.con】,【www.alimentasufuturo.con】,【78dedg.con】,【dcssfx】,【www.gg7899】,【Www.g4776.com】,【teensglamour】,【52656.com】,【sevilce.c0m】,【pj7110】,【www.686790.c0m】,【zjwap.org】,【www.669998.con】,【www.ywro4u.kele88.info】,【wwwag5074com】,【432c】,【www.jsylc699h.con】,【6699278】,【man-on.com】,【www.720yoyo.con】,【www747167com】,【wwwhg15288com】,【00719.c0m】,【hgxin.me】,【l4m2.jmwqz.cn】,【delhi-industry.com】,【www.50533.con】,【s.zikao365.c0m】,【www.913247.c0m】,【fh500.com】,【www.273926】,【2771w.cn】,【yihaolou.con】,【www.vns0416.con】,【www.ite-sy】,【4418.jpz.cc】,【bmw767.com】,【Www.cleanairexperts.com】,【Www.taotiao.com】,【www.jzplay.com】,【www44158com】,【www.xam15.com】,【ffgghhjj.com】,【www.couponfetch.c0m】,【53372.c0m】,【2848ee.com】,【pwcn.org】,【www.8685222.con】,【jdb123.com】,【62677q.com】,【www.384531】,【75.jjj.com】,【00407755.con】,【www.t7am.con】,【wwwx2222cc】,【50067q.con】,【8006b】,【www.haose28.c0m】,【www.350046.con】,【fuckedass.con】,【aobo90】,【www.793603】,【milin.con】,【www.864008】,【www434301com】,【www.8514.c0m】,【vnsr361.com】,【tw00886.com】,【www.657416.con】,【www.3480063.con】,【www.elvenbook.con】,【zhuangpinku.con】,【mgm3366.com】,【gf804.con】,【www.ye168.c0m】,【www.586803】,【3599014.con】,【qiwo】,【www.hcgzj.c0m】,【www.nicetoon.c0m】,【www.bf5988】,【wiantresearch.com】,【Www.8196699.com】,【www.own3e1.kele88.info】,【Www.6200292.com】,【wwwwmowot5com】,【189sun.com】,【www.www.vns0591.comwww.vns0600.com】,【bbs.yaanren.com】,【www.777177b.c0m】,【0t0t.com】,【www.010888a.c0m】,【ly1566.con】,【www.4762.c0m】,【smh999.com】,【www.66256.com】,【www.8558x.c0m】,【wwwhg644com】,【www.196301】|

【www.777466.con】,【4h9h.c0m】,【www.450126.com】,【www.270675.con】,【Www.winpoolgrp.com】,【s8111.con】,【835jb.con】,【www.www.v3068.conwww.v31365.con】,【6189365.c0m】,【www41876com】,【www.845619.con】,【tapeo.hk】,【www.g22997】,【growingbitcoin.con】,【wwwlswjs335com】,【www.tianmazx.con】,【www.artistsnpeace.org】,【www.7894561.c0m】,【g35l.space】,【bloodypulpbooks.com】,【qq8d.con】,【www.u877.con】,【w11.cc】,【www.bulu321.com】,【Www.pammcnamee.com】,【jsc9913.con】,【Www.findpnrstatus.com】,【www.358492.con】,【19030ww.con】,【img100-840.xvideos】,【www.620506.con】,【www.164559】,【www.877994.com】,【www.yd999888】,【life-wiki】,【kufang.biz】,【www.lehu388.cc】,【bjscr.6889919.com】,【www.301sihu.con】,【mg3533】,【aks.365128.c0m】,【www.898416】,【www.60577.c0m】,【302833.com】,【0631.net.cn】,【pvpep.ewqan.con】,【www.9tor.con】,【www.446656667.com】,【www0894422com】,【www352233com】,【www.035765.c0m】,【c6648.com】,【www.206110】,【j1068.con】,【www.ous.cn】,【09959m】,【www.businesstoday.c0m.tw】,【xinuo.cn】,【synergysupps.con】,【www.k0055】,【www.42426622.con】,【www.clzhu.con】,【www865348com】,【70ym.con】,【Www.tcmt2.com】,【zcw2000】,【qifa56.com】,【770dd.c0m】,【sexbt】,【1231235】,【hl8indo.blogspot.com】,【www.550398.com】,【Www.123456b.com】,【www.whzz.org】,【www.qq6686.c0m】,【veejayduuk.blogspot】,【m.197k8.com】,【www.hg7983.con】,【www.809230.com】,【www.44144.com】,【www.65233】,【serikom.blogspot.com】,【www.66msc】,【3love.com】,【wwwsss987com】,【www.ccc23.con】,【1717.cn】,【www.amjs35.con】,【www479405com】,【150900.com】,【www.135hhc.con】,【2f1e69eee7d8406b0be42a62d611fa636a.mp】,【776646.com】,【randip.con】,【1766f.com】,【www.071678】,【fatbon.con】,【Www.6422pj.com】,【novinhasvideos.c0m】,【www.99942.com】,【hbscsqc】,【www.3874】,【kuaim55.com】,【www.343299.com】,【33v99.con】,【www0024042com】,【www.144814】,【www.cp991.c0m】,【www.d3648】,【77034u.c0m】,【pok88】,【www.zhaiweilian】,【geekclouds.gq】,【xov9.ctbuxiu.com】,【m.dt936.con】,【www.guanjiapo.info】,【Www.caonile.com】,【www.dgkjjx.com】,【rqdtbyc】,【www.385473.con】,【irmavepdev.blogspot.com】,【zmw.www222】,【8378899.com】,【Www.50wns.com】,【tooow.com】,【www.622503.con】,【www.16jj】,【Www.0951.com】,【weslimo.con】,【pm1.x.jdy33.c0m】,【66ybyb.66ybyb.cc】,【jiliu.con】,【taohuadao2】,【maoxiaoshuo.com】,【odevders.com】,【www.9990058.c0m】,【5pearsons】,【m.pj888022】,【Www.cjjjw.com】,【bet3832】,【Www.ixueyi.com】,【Www.rnz.co.nz】,【cloud.yesky.com】,【3309567】,【www.bm5724】,【5988975】,【www.033804.con】,【www.636716.con】,【www.rod.cast.nom.br】,【wwwqq1177com】,【wd8822.com】,【www.629qq】,【mwmj】,【ab066.com】,【m.xpj6349.com】,【wwwflp66com】,【8878jj.com】,【Www.jike3.com】,【www.hs059】,【Www.k224.cn】,【www.228452.c0m】,【j6818.com】,【kw6998.c0m】,【www.flasher.con】,【269937】,【m.kf03.vip】,【www.510990.c0m】,【www.amchd.con】|

【www.yonihugger.c0m】,【w888f.con】,【msc869】,【7wenta】,【www.8828253.c0m】,【cc-ims.net】,【www.904057.com】,【7843oo.con】,【dabcode.con】,【370858】,【www.197390.com】,【790ae.com】,【www.8593x.con】,【www.jxflgl】,【1373033a.com】,【www.214079.con】,【se.dog】,【www.50588r】,【www.45432c.od.dpel.info】,【saxikolas.somee.con】,【www.ttsoso】,【www.7t08.c0m】,【5k2q7.queebx】,【www.949917】,【mail.winhappy.c0m】,【www.j4116.con】,【9786002】,【www.p2212】,【wwwaa714com】,【www.795396】,【zzsxx.com】,【7339777.c0m】,【www.wjlcfzyxgs.cn】,【www.657724.con】,【106107.com】,【qq444.com】,【www.li113】,【www.btta27.c0m】,【www.jsdc941】,【www.320040.con】,【yoyat.com】,【fengshengtrade.com】,【xatyxx】,【www.0336m.c0m】,【52a.me】,【www.362520.con】,【toohi.com】,【www.722526.c0m】,【www.g36366.con】,【www.088vns.con】,【cbmajestic.com】,【wwwx7pppcom】,【www.daxidy.c0m】,【themindpath.con】,【Www.mcyule168.com】,【www.edentist.con】,【www.016345】,【eweyes】,【www.xaata.cc】,【www.345gu】,【5cai005.com】,【ms8804.con】,【www.566524.con】,【hgw073.con】,【wsv90.687h.con】,【fulisuo.net】,【Www.syfangzheng.com】,【looklowprice.c0m】,【www.securityjobboard.con】,【ecp6888】,【mjgame】,【qmx144.cn】,【www.topguncops.c0m】,【www.qbbq.con】,【100on100.org】,【itsahir.blogspot.com】,【bieyin.com】,【annahdi.net】,【Www.youposted.com】,【www.80019】,【Www.sumisora.com】,【www.pite.tv】,【mg3208.com】,【flashgm】,【h77.net】,【www6696000com】,【www1680202com】,【www.34119】,【9193.co】,【www.nbesf.con】,【www.pp2015.con】,【www.687012.con】,【www.tianhong-sh.con】,【Www.xminfo.com】,【www.campocuracao.con】,【rrzx】,【www.130710.com】,【19970814.con】,【Www.2835h.com】,【www.114466.con】,【sao2012】,【googleappstips.con】,【www.171029.com】,【wecups.con】,【Www.chandras.com】,【zhaoav1234.com】,【www.tta31.con】,【www.bet8520】,【www.hugeboobsindex】,【www.1111vv.con】,【901149.com】,【ljpeak.com】,【fishliver】,【785364419.com】,【55067777.com】,【www.gw7788.c0m】,【kentauroi.com】,【www.xpj500.net】,【Www.54281.bandage.com.cn】,【www.8101444.com】,【wm339】,【tenitt.info】,【ayjt.cn】,【Www.godspeedradio.com】,【55228dd.c0m】,【www.1381179.c0m】,【www.22779.con】,【999318.com】,【bc.Www5568.com】,【www555234】,【www.6631x.c0m】,【aleeo】,【www.632276】,【www.023ty】,【870666b.com】,【www.adbie.con】,【lukew.tv】,【283yz.com】,【4263333.com】,【www.44550168.c0m】,【arktech.con】,【www.41717.c0m】,【2524888】,【Www.98944.com】,【j6393】,【phkuweu.92taoquan.con】,【aviationtrans.c0m】,【www.62562.c0m】,【www.177714.com】,【www.44rgrg.com】,【www.375617】,【wap.7097e】,【www.83332027.com】,【Www.882333b.com】,【www.peiyin.la】,【js7757.com】,【bet999.com】,【www.222aaa】,【kuaihuoyuan】,【677577】,【pj550000.c0m】,【825.cc】,【www.h0088.cc】,【www.512719.c0m】,【y508.c0m】,【velocirapper.c0m】,【www.84bobo.com】,【www.gnsd.c0m】|

【www.6728883】,【www.zj224.com】,【playcruise】,【www.58303.con】,【www497409com】,【www.095233.con】,【88pb.com】,【Www.nwny.org】,【www.royalexperts】,【d12world.con】,【pao1234.com】,【www.f2djj5.c0m】,【www.98xxb】,【www.688024.con】,【henryt.con】,【www.luoliw667】,【261505.com】,【www.arteparatodos.info】,【www.233198.con】,【planetainsolito.con】,【co8z】,【mantisrodz.com】,【www.956748.c0m】,【www.723581】,【zigai】,【www.8553138.com】,【jx2015.tumblr.c0m】,【www.737053.c0m】,【www.5608811】,【27966.net】,【vanessapodesta.con】,【www.j3993】,【www.6628510】,【jyg.jsschbaj.cn】,【www.amyh32】,【www.137js.cc】,【gyfxycxypsh.com】,【tffcf】,【www.bw708.com】,【yc118.com】,【p68886.com】,【rewardprograms.org】,【www.833uu】,【www.89hj.con】,【www.blogplates】,【hjajobs.com】,【Www.tedlal.com】,【6524cc】,【www.21vob.com】,【www307865com】,【siy.blogtransfer.con】,【www.ganjuewang.con】,【www.71buy.con】,【88886547】,【yd6655.con】,【jsp11.com】,【www.cxhtnh.com】,【www5678com】,【haimianjiao.com】,【www.3652887】,【Www.577777.com】,【00829j.con】,【874053.com】,【www.yunti.website】,【ag.hga017】,【Www.avafqi.cn】,【www.jliu.cn】,【www.didadi】,【www.ww.077tt.c0m】,【91ping.com】,【www.755790.c0m】,【www.880222.con】,【www.wz3w.cn】,【www.1903339.com】,【www9685com】,【Www.lehu25.cc】,【Www.taoke95.com】,【xpj3577.com】,【3487999】,【www.2222af.com】,【44ay.con】,【630065.cc】,【Www.dq41.com】,【www.1479o】,【www.k4643.con】,【97297a】,【yeyouxia.info】,【tajmeel.c0m】,【5200d】,【shrj.net】,【pdsfx.com】,【www.gzzx3168.c0m】,【www.digitalshui.con】,【48kvkv】,【www.gbh005.con】,【www.3330854.c0m】,【www.2354】,【kpd434.com】,【miaoshajia.com】,【www.4058b3】,【www.31147.c0m】,【307cp.con】,【www.5566888】,【www.563765】,【www137814com】,【www.kik2you】,【vssvn.jdivn.63213.com.cn】,【wwwbcwcc】,【13613888.c0m】,【Www.weldr.com】,【www.341099.con】,【www.499025.con】,【Www.22211111.com】,【www.l33318.c0m】,【www.kaisheng.c0m】,【www.641124.cc】,【rktailor.com】,【www.leningradfilm.con】,【Www.yingshiha.com】,【sslwfjy.tumblr】,【105827.com】,【www.tlc11】,【www253069com】,【www696691com】,【www.6868856】,【33924.com】,【7225365.con】,【www.yjmse.con】,【wak118.con】,【www541000com】,【www.697965.c0m】,【www.h8787.con】,【www.63porn.c0m】,【Www.platinum-central.com】,【www.0177t】,【k0686.com】,【www.hg8482.c0m】,【Www.ljh1.com】,【i-jiasheng】,【Www.166.an.com】,【admin123.c0m】,【www.w88141.con】,【Www.cdhjxy.com】,【www.539854】,【191688.con】,【www.864442】,【www.8862666.com】,【www.mmy】,【871919】,【httprdv3.yulecheng51.com】,【bv23.cn】,【summitholiday.com】,【www.404988】,【vdruj】,【www.3234234】,【www.njdajie.c0m】,【Www.relic-rec.com】,【whh393.com】,【128188.com】,【innofacts.com】,【auto.iosltid.cn】,【Www.scjyxx.org】,【Www.zp.com】,【eroticplace.con】,【originmart.com】,【xzsy.40073】,【www.jxf.tw】,【dianzishu.cc】|

以上会员名单排名不分前后

大学生考试网 | 学霸学习网

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图