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北大附河南分校2014届高三第一次月考--数学(理)

北京大学附属中学河南分校 2014 届高三第一次(8 月)月考

数学(理)试题
选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是 符合题目要求的)
2 1. 已知集合 A ? x | 2 x ? x ? 0 ,集合 B ? x a ? x ? b 且 B ? A ,

?

?

?

?

则 a ? b 的取 值范围是( A. (?2, ??) B. [?2, ??) )

) C. (??, ?2) D. (??, ?2]

2.下列命题中,真命题是( A. ?x0 ? R, 使得e
x0

?0

B. ?x ? R, 2 ? x
x

2

C. a ? 1, b ? 1是ab ? 1 的充分条件 3.已知命题 p : ?x ? [0, A. [? , ?1]

D. sin x ?
2

?
2

2 ? 3( x ? k? , k ? Z ) sin x


], cos 2 x ? cos x ? m ? 0 为真命题,则实数 m 的取值范围是 (
B. [ ? , 2]

9 8 9 C. [ ?1, 2] D. [ ? , ?? ) 8 4. 执行右图的程序框图,若输出的 n ? 5 , 则输入整数 p 的最大值是( )

9 8

A.15 C.7

B.14 D.6
2 2

5 . 已 知 直 线 ax ? by ? c ? 0 与 圆 O : x ? y ? 1 相 交 于

A , B 两 点 , 且 AB ?
( A.0 B. )

3 , 则 OA ? OB

的 值 是

1 2

C. ?

3 4

D. ?
1 x

1 2

2 6. 设 a ? ?1 (3x 2 ? 2 x)dx ,则二项式 ( ax 2 ? ) 6 展开式中的第 4 项为(

) D. ?240

A. ?1280 x3

B. ?1280

C. 240

?ax 2 ? 1? x ? 0 ? ? 7. 已知函数 f ? x ? ? ? 为 R 上的单调函数,则实数 a 的取值范围是( x ?(a ? 2)e ? x ? 0 ? ?
(2,3]
B. (2, ??) C. ( ??,3] D. (2,3)

)A.

8.在三角形 ABC 中,已知 ?B ? 60 ,最大边与最小边的比为
0

3 ?1 ,则三角形的最大角为( ) 2

0 A 60

0 B 75

C

90 0
2

D

1150

2 9.二次函数 y ? x ? 2 x ? 2 与 y ? ? x ? ax ? b ? a ? 0, b ? 0 ? 在它们的一个交点处的切线互相垂直,

y2 10.过双曲线 M:x2- 2=1 的左顶点 A 作斜率为 1 的直线 l,若 l 与双曲线 M 的两条渐近线分别相交 b 于点 B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线 M 的离心率是( ) 5 10 A. B. C. 5 D. 10 2 3

1 4 ? 的最小值是( a b 16 A B 4 C 5




18 5

D

24 5

? 2 x ? 1( x ? 0) ? 11.已知函数 f ( x ) ? ? ,把函数 g ? x ? ? f ? x ? ? x 的零点按从小到大的顺序排列 ? f ? x ? 1? ? 1? x ? 0 ? ?
成一个数列,则该数列的前 n 项的和 S n ,则 S10 =( A.15 B.22 C.45 D. 50 )

12.抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,点 A, B 在此抛物线上,且 ?AFB ? 90? ,弦 AB 的中点 M 在该抛 物线准线上的射影为 M ' ,则 A. 3 B.

| MM ' | 的最大值为( | AB |
D.

)

3 C.1 2 二.填空题(每小题 5 分,共 20 分)

2 2

13.已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中俯视图是等腰直角三 角形,则该三棱锥的外接球的体积为_______________. 14.已知复数 z1=a+bi,z2=1+ai(a,b∈R) ,若|z1|<z2,则 b 的

取值范围是________. 15.不等式组

? x ? 1, ? ? x ? y ? 4 ? 0, ? kx ? y ? 0 ?

表示面积为 1 的

直角三角形区域,则 k 的值为_______________. 16.在△ABC 中,a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边,三边 a、b、c 成等差数列,且 B= cosA 一 cosC|的值为____ 三、解答题: (解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 )

? ,则| 4

17.(本小题满分 12 分)已知等差数列 {an } 的首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 0 .且 a2 ,a5 ,a14 分别是等比 数列 {bn } 的 b2 ,b3 ,b4 . (Ⅰ)求数列 {an } 与 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)设数列 {cn } 对任意自然数 n 均有 18. (本小题满分 12 分) 在某大学自主招生考试中,所有选报 II 类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表 达”两个科目的考试,成绩分为 A,B,C,D,E 五个等级. 某考场考生两科的考试成绩的数据统计如下 图所示,其中“数学与逻辑”科目的成绩为 B 的考生有 10 人.

c1 c2 c ? ? … ? n ? an ?1 成立,求 c1 ? c2 ? … ?c2013 的值. bn b1 b2

(Ⅰ)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为 A 的人数; (Ⅱ)若等级 A,B,C,D,E 分别对应 5 分,4 分,3 分,2 分,1 分. (i)求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分;

(ii)若该考场共有 10 人得分大于 7 分,其中有 2 人 10 分,2 人 9 分, 6 人 8 分. 从这 10 人中随机抽取两人,求两人成绩之和的分布列和数学期望.

19. (本小题满分 12 分)如图,正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在平面互相垂直,AD⊥CD,AB//CD,

AB=AD=

1 CD ? 2 ,点 M 在线段 EC 上且不与 E、C 垂合。 2
6 时,求三棱锥 M—BDE 的体积. 6

(1)当点 M 是 EC 中点时,求证:BM//平面 ADEF; (2)当平面 BDM 与平面 ABF 所成锐二面角的余弦值为

20. (本小题满分 12 分)已知圆 C : ( x ? 4) ? ( y ? m) ? 16(m ? N ) ,直线 4 x ? 3 y ? 16 ? 0 过椭
2 2

?

圆E:

32 x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的右焦点,且交圆 C 所得的弦长为 ,点 A(3,1) 在椭圆 E 上. 2 5 a b

(1)

求 m 的值及椭圆 E 的方程; (2)设 Q 为椭圆 E 上的一个动点,求 AC ? AQ 的取值范围.

21(本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? x ? b ln( x ? 1) ,其中 b ? 0 .
2

(1)若 b ? ?12 ,求 f (x) 在 [1,3] 的最小值; (2)如果 f ( x) 在定义域内既有极大值又有极小值,求实数 b 的取值范围; (3)是否存在最小的正整数 N ,使得当 n ? N 时, 不等式 ln

n ? 1 n ?1 ? 3 恒成立. n n

请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清楚题号 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲. 如图,⊙O 内切△ABC 的边于 D、E、F,AB=AC,连接 AD 交⊙O 于点 H,直线 HF 交 BC 的延长 线于点 G.
A H F O G C D B E

⑴证明:圆心 O 在直线 AD 上; ⑵证明:点 C 是线段 GD 的中点. 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程选讲. 在极坐标系中, O 为极点, 半径为 2 的圆 C 的圆心的极坐标为 ( 2 , ⑴求圆 C 的极坐标方程; ⑵ P 是圆 C 上一动点,点 Q 满足 3 P?O ,以极点 O 为原点,以极轴为 x 轴正半轴建立直角坐 O Q 标系,求点 Q 的轨迹的直角坐标方程. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲. 已知函数 f ) x| | x | ( ?1 22 x ? | ?? . ⑴解不等式 f (x ?5; ) ⑵若不等式 f x a ? 的解集为空集,求 a 的取值范围. () ( R ?a )

? ). 3

?? ?? ?? ??

参考答案

①-②:

cn ? an ?1 ? an ? 2 bn
n ?1

∴ cn ? 2bn ? 2 ? 3 ∴

(n ≥ 2)

(n ? 1 ) ? 3 cn ? ? n ?1 ( ?2 ? 3 n ≥ 2 )

则 c1 ? c2 ? c3 ? … ?c2013 ? 3 ? 2 ? 31 ? 2 ? 32 ? … ?2 ? 32013?1

? 3 ? 2 ? (31 ? 32 ? 33 ? ? ? 32012 )

3(1 ? 32012 ) ? 3? 2? ? 32013 1? 3

。。。。。。。12 分 。。。。。。

19(本小题满分 12 分) (Ⅰ)以 DA、DC、DE 分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系 则 A(2,0,0), B(2, 2,0), C (0, 4,0), E(0,0, 2), M (0, 2,1)

???? ???? ? ? BM ? (?2, 0,1), 面ADEF 的一个法向量 DC ? (0, 4, 0)

???? ???? ? ???? ???? ? ? BM ? DC ? 0 ,? BM ? DC 。即 BM // 面ADEF ……………………4 分 ?? ? t (Ⅱ)依题意设 M (0, t , 2 ? )(0 ? t ? 4) ,设面 BDM 的法向量 n1 ? ( x, y , z ) 2

则 DB ? n ? 2 x ? 2 y ? 0 , DM ? n ? ty ? (2 ? ) z ? 0

??? ? ?

???? ? ?

?? ? 2t ) ,面 ABF 的法向量 n2 ? (1, 0, 0). 4?t ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? | n ? n2 | 1 6 ? ? ?| cos ? n1 , n2 ?|? ?? 1 ?? ? ? ,解得 t ? 2 6 4?2 | n1 | ? | n2 | 2? (4 ? t ) 2
令 y ? ?1,则 n1 ? (1, ?1,

?? ?

t 2

? M (0, 2,1) 为 EC 的中点, S?DEM ?

1 S?CDE ? 2 , B 到面 DEM 的距离 h ? 2 2

1 4 ?VM ? BDE ? ? S?DEM ? h ? ……………………………………12 分 3 3

21(本小题满分 12 分) (1)由题意知, f (x) 的定义域为 (?1,??) ,

12 2 x 2 ? 2 x ? 12 ? ? 0 ,得 x ? 2 ( x ? ?3 舍去) , x ?1 x ?1 / / 当 x ? [1, 2) 时, f ( x ) ? 0 ,当 x ? (2,3] 时, f ( x) ? 0 , 所以当 x ? [1, 2) 时, f ( x) 单调递减;当 x ? (2,3] 时, f ( x) 单调递增, 所以 f ( x)min ? f (2) ? 4 ? 12ln 3 ;。。。。。。。。。。。 分 。。。。。。。。。。。。4
b ? ?12 时,由 f / ( x) ? 2 x ?

D G D? ? 0 D D ? ? ?, ? ? . ? ? ?F0 ? F 9? H G D, F H 又 ?H 0 F ? F? H ? 9 H ? ? 9 ?? . ? ?A切, ? ? ? ? ?G ? C于 A G F G ? O相F F F D F 与 点 ? H C H C . ? ? ,
∴点 ?? ? , C C D C 是线段 GD 的中点. G FC (10 分)

24 .

x ?3x ?1 , ?1 ? 解:(1)根据条件 f (x) ? ?x ?3 , 1 x≤ ? ≤ 1, ??3x ?1 x ??1 , ?

31 ? 又所 x 5 ? ? ? x 1 ? 当 x ? 1 时, f (x ?5 ?? x , x , 以; )

4 3

4 3

1x1 当 ?≤≤时, f (x ?5 ? ,1 此 x ?1 解 ? x3 ? x时 ? 又无 52 ≤ ≤ ; , )
当 x??1时, f (x ?5 ?? ? ? ? ?所 3 xx以 x ? ?1 2 1 ? 2,x 5 ,? ? 又 . ) 综上, f (x ?5的解集为 { x | x ? )

4 或 x?? }. 2 3

(5 分)

x ?3x ?1 , ?1 ? ) (2)由于 f (x) ? ?x ?3 , 1 x≤ 可得 f ( x ) 的值域为[2,+? . ? ≤ 1, ??3x ?1 x ??1 , ?
又不等式 f x a ? 的解集为空集,所以 a取 是2 (10 分) 的 围, 值 ( ] 范- . ? () ( R ?a )



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