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2015年福建省初中数学竞赛试题 打印版


2015 年全国初中数学竞赛试题
班级 姓名 成绩 供稿人:李锦扬

一、选择题(共 5 小题,每小题 7 分,共 35 分) 。每道小题均给出了代号为 A,B,C,D 的四个选 项,其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得 0 分) 1.已知 a ? A. ? 3

2a 3 ? 6a 2 ? a 3 ?1 ?( ,则 2a 2 ? 1 2
B. 3 C. ? 3 ? 2

) D. 3 ? 2

2.将编号为 1,2,3,4,5,6 的 6 个小球放入 3 个不同的盒子内,每个盒子放 2 个球。则编号为 1, 2 的小球放入同一个盒子内的概率为( A. ) D.

2 15

B.

1 5

C.

2 5

3 5

3.已知圆 O 是边长为 6 3 的正三角形 ABC 的内切圆,圆 O1 圆 O 外切,且与 △ABC 的 CA 边、CB 边相切,则圆 O1 的面积为( A. ? B. 2? ) C. 3? D. 4?

CA 、AB 4. 如图,P 为等腰三角形 ABC 内一点, 过 P 分别作三条边 BC 、
的 垂 线 , 垂 足 分 别 为 D 、 E 、 F 。 已 知 AB ? AC ? 10 , BC ? 12 , 且

PD ∶ PE ∶ PF ?1 ∶∶ 3 3。则四边形 PDCE 的面积为(
A.10 B.15 C.



40 3

D.

50 3

5 . 记 S (n) 为 非 负 整 数 n 的 各 个 数 位 上 的 数 字 之 和 , 如 S (0) ? 0 , S (1) ? 1 ,

S (1995) ? 1 ? 9 ? 9 ? 5 ? 24 。则 S (1) ? S (2) ? S (3) ? L ? S (2015) ? (
A. 28097 B. 28098 C. 28077 D. 28087



1

二、填空题(共 5 小题,每小题 7 分,共 35 分) 6 . 已 知 直 线 y ? 2 x ? 3 与 抛 物 线 y ? 2 x2 ? 3x ? 1 交 于 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) 两 点 , 则

1 1 ? ? x1 ? 1 x2 ? 1



F 分别在边 BC 、 CD 上, E F 7. 如图, 已知正方形 ABCD 的边长为 1, 点E 、 且 ?EAF ? 45? 。 则 △C
的周长为 。

(第 7 题 图)

8.若 1 ? x ? 3 时,二次函数 y ? 2 x2 ? 3ax ? 4 的最小值为 ?23 ,则 a ?



9.已知正整数 p , q 满足

q) 的个数是 p ? 3 q ? 2016 ,则整数对 ( p ,



2 ? ? x ??? 2 x ? ? ? x ? ? ?, ? 10 . ? x ? 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 , 则 满 足 条 件 ? 的 x 的取值范围 5 ? x? ? 2





2

三、解答题(共 4 题,每小题 20 分,共 80 分) 11.如图,二次函数 y ? mx2 ? nx ? p 的图像过 A 、 B 、 C 三点,其中 C (?1, ? 1) ,点 A 、 B 在 x 轴 上( A 在点 O 左侧, B 在点 O 右侧) ,且 sin ?BAC ? (1)求二次函数的解析式; (2)求 △ABC 外接圆的半径。

5 2 5 , sin ?ABC ? 。 5 5

(第 11 题 图)

12.已知关于 x 的方程 x ? 44 x ? n ? n ? 20 ? 0 有有理数根,求正整数 n 的值。
2 2

3

13.如图,△ABC 是等腰直角三角形,CA ? CB ,点 N 在线段 AB 上(与 A 、 B 不重合) ,点 M 在
2 2 2 射线 BA 上,且 ?NCM ? 45? 。求证: MN ? AM ? BN 。

(第 13 题)

14.在 0 与 21 之间插入 n 个正整数 a1 , a2 ,…, an ,使其满足 0 ? a1 ? a2 ? L ? an ? 21 。若 1,2, 3,…,21 这 21 个正整数都可以表示为 0, a1 , a2 ,…, an ,21 这 n ? 2 个数中某两个数的差。求 n 的 最小值。

4

2015 年福建省初中数学竞赛试题参考答案
考试时间 2015 年 3 月 15 日 9∶00-11∶00 满分 150 分
一、选择题(共 5 小题,每小题 7 分,共 35 分) 。每道小题均给出了代号为 A,B,C, D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里, 不填、多填或错填都得 0 分) 1.已知 a ? A. ? 3 【答案】 A
2a 3 ? 6a 2 ? a 3 ?1 ?( ,则 2a 2 ? 1 2

) D. 3 ? 2

B. 3

C. ? 3 ? 2

【解答】 由 a ? ∴

3 ?1 ,知 2a ? 3 ?1 , 2a ? 1 ? 3 , 4a 2 ? 4a ? 1 ? 3 , 2a 2 ? 1 ? 2a 。 2

2 a 3 ? 6 a 2 ? a 2a 3 ? 6a 2 ? a 1 1 ? 2a 1 ? ? ?a 2 ? 3a ? ? ? ? 3a ? 2 2a ? 1 ?2a 2 2 2

? ?2a ?1 ? ?( 3 ?1) ?1 ? ? 3 。
2.将编号为 1,2,3,4,5,6 的 6 个小球放入 3 个不同的盒子内,每个盒子放 2 个球。 则编号为 1,2 的小球放入同一个盒子内的概率为( A.
2 15



B. B

1 5

C.

2 5

D.

3 5

【答案】

【解答】 将 6 个小球分成 3 堆,每堆 2 球,共有下列 15 种不同的分堆方法(堆与堆之
2) , (3 , 4) , (5 , 6) ; (1, 2) , (3 , 5) , (4 , 2) , (3 , 6) , (4 , 5) ; 6) ; (1, 间不考虑顺序) : (1, (1 , 3) , (2 , 6) ; (1 , 3) , (2 , 5) , (4 , 3) , (2 , 5) ; 4) , (5 , 6) ; (1 , 6) , (4 , (1, 4) , (2 , 3) , (5 , 6) ; (1, 4) , (2 , 5) , (3 , 6) ; (1, 4) , (2 , 5) ; 6) , (3 , (1 , 5) , (2 , 3) , (4 , 5) , (2 , 6) ; (1 , 5) , (2 , 4) ; 6) ; (1 , 4) , (3 , 6) , (3 , (1 , 6) , (2 , 3) , (4 , 5) ; (1 , 6) , (2 , 5) ; (1 , 6) , (2 , 5) , (3 , 4) 。 4) , (3 ,

其中,编号为 1,2 的小球分在同一堆的情形有 3 种。 ∴ 编号为 1,2 的小球放在同一个盒子内的概率为
3 1 ? 。 15 5

3. 已知圆 O 是边长为 6 3 的正三角形 ABC 的内切圆, 圆 O1 圆 O 外切, 且与 △ABC 的 CA 边、 CB 边相切,则圆 O1 的面积为( A. ? 【答案】 A
5

) D. 4?

B. 2?

C. 3?

【解答】 如图,设圆 O 切 CB 边于 D ,圆 O1 切 CB 边于 E ,且圆 O 的半径为 R ,圆 O1 的 半径为 r 。 由 △ABC 是边长为 6 3 的正三角形,知

2 3 1 3 OC ? ? ? 6 3 ? 6 , R ? OD ? ? ?6 3 ? 3 , 3 2 3 2
∵ 圆 O1 圆 O 外切,且与 △ABC 的 CA 边、 CB 边相切, ∴ ∴
O 、 O1 、 C 三点共线, ?OCD ? 30? , O1C ? 2O1E ? 2r 。

OC ? OO1 ? O1C ? R ? r ? 2r ? 3 ? 3r ? 6 , r ? 1 。
(第 3 题答题图)

∴ 圆 O1 的面积为 ? ?12 ? ? 。 分 别 为 D 、 E 、 F 。 已 知 AB ? AC ? 10 , BC ? 12 , 且
PD ∶ P ∶ E
PDCE 的面积为( ? P1 ∶∶ F 3 。则四边形 3

4.如图, P 为等腰三角形 ABC 内一点,过 P 分别作三条边 BC 、 CA 、 AB 的垂线,垂足 )

A.10 【答案】 C

B.15

C.

40 3

D.

50 3

【解答】如图,连结 PA , PB , PC 。
1 易知 S△ABC ? ?12 ? 8 ? 48 。又 2 S△ABC ? S△PBC ? S△PCA ? S△PAB ? 1 1 1 BC ? PD ? CA ? PE ? AB ? PF 2 2 2

(第 4 题 图)

? 6 PD ? 5PE ? 5PF ? 48 , PD∶PE∶PF ? 1 ∶∶ 3 3。



PD ?

4 , PE ? PF ? 4 。 3
(第 4 题答题图)

由 PE ? PF ,知点 P 在 ?BAC 的平分线上, A 、 P 、 D 三点共线。 ∴

4 196 PC 2 ? PD2 ? DC 2 , EC 2 ? PC 2 ? PE 2 ? PD 2 ? DC 2 ? PE 2 ? ( ) 2 ? 62 ? 42 ? 。 3 9 EC ? S 14 。 3 ? S△PDC ? S△PEC ? 1 1 1 4 1 14 40 PD ? DC ? PE ? EC ? ? ? 6 ? ? 4 ? ? 。 2 2 2 3 2 3 3

∴ ∴

四边形 PDCE

5 . 记 S (n) 为 非 负 整 数 n 的 各 个 数 位 上 的 数 字 之 和 , 如 S (0) ? 0 , S (1) ? 1 ,
S (1995) ? 1 ? 9 ? 9 ? 5 ? 24 。则 S (1) ? S (2) ? S (3) ? L ? S (2015) ? (



A. 28097 【答案】 B

B. 28098

C. 28077

D. 28087

6

【解答】设 S ? S (0) ? S (1) ? S (2) ? L ? S (1999) 。 则 2S ? (1 ? 9 ? 9 ? 9) ? 2000 , S ? 28000 。 又 S (2000) ? S (2001) ? S (2002) ? L ? S (2009) ? 2 ?10 ? (0 ? 1 ? 2 ? L ? 9) ? 65 ,
S (2010) ? S (2011) ? S (2012) ? S (2013) ? S (2014) ? S (2015) ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 33 ,



S (1) ? S (2) ? S (3) ? L ? S (2015) ? 28000 ? 65 ? 33 ? 28098 。

二、填空题(共 5 小题,每小题 7 分,共 35 分) 6 . 已 知 直 线 y ? 2 x ? 3 与 抛 物 线 y ? 2x2 ? 3x ? 1 交 于 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) 两 点 , 则

1 1 ? ? x1 ? 1 x2 ? 1
【答案】
9 5



? y ? 2x ? 3 【解答】由 ? ,得 2 x 2 ? 5 x ? 2 ? 0 。 2 ? y ? 2 x ? 3x ? 1

…………… ①

依题意, x1 , x2 为方程①的两根, x1 ? x2 ?

5 , x1 x2 ? ?1 。 2



(x ? 1 ) ? x(1? 1 1 ? ? 2 x1 ? 1 x 2? 1 x ( 1 ? 1x) (? 2

5 ?2 1) x 1 ? ( x 1? ) 2 2 9 ? ? ? 。 5 1 )x x 1 ? 2 x ? ( x 1 5 1 ? 2 ) ?1 ? ?1 2


7.如图,已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 、 F 分别在边 BC 、
CD 上,且 ?EAF ? 45? 。则 △CEF 的周长为

【答案】 2 【解答】 如图, 在 CD 的延长线上取点 G , 使得 DG ? BE , 连结 GA 。 则由 ABCD 为正方形,易得 △ABE≌△ADG 。 ∴ ∵ ∴
?B A E? ? D A, G AE ? AG 。 ?EAF ? 45? , ?GAF ? ?GAD ? ?DAF ? ?BAE ? ?DAF ? 90? ? ?EAF ? 45? ? ?EAF 。 ?EAF ? ?GAF ,AF ? AF 。 于是, 在 △EAF 与 △GAF 中,AE ? AG , △EAF≌△GAF , EF ? GF 。 △CEF 的周长
(第 7 题答题图)
2

(第 7 题 图)



l ? EC ? EF ? FC ? 1 ? BE ? GF ? FC ? 1 ? GD ? GD ? DF ? FC ? 2 。

8 .若 1 ? x ? 3 时,二次函数 y ? 2 x ? 3ax ? 4 的最小值为 ?23 ,则

a?
【答案】 5



7

3 9 【解答】∵ y ? 2 x 2 ? 3ax ? 4 ? 2( x ? a ) 2 ? a 2 ? 4 , 1 ? x ? 3 , 4 8 3 4 ∴ 若 a ? 1 ,即 a ? 时,则当 x ? 1 时, y 取最小值 6 ? 3a 。 4 3

由 6 ? 3a ? ?23 知, a ? 若1 ?

29 4 ? ,不符合要求。 3 3

3 4 3 9 9 a ? 3, ?? 2 3 知, 即 ? a ? 4 时, 则当 x ? a 时,y 取最小值 ? a 2 ? 4 。 由 ? a 2? 4 4 3 4 8 8

a2 ? 24 ,得 a ? ?2 6 ,均不符合要求。
3 若 a ? 3 ,即 a ? 4 时,则当 x ? 3 时, y 取最小值 22 ? 9a 。由 22 ? 9a ? ?23 知, a ? 5 , 4

符合要求。 ∴
a ? 5。

q) 的个数是 9.已知正整数 p , q 满足 p ? 3 q ? 2016 ,则整数对 ( p ,



【答案】 3 【解答】由 p ? 3 q ? 2016 ,知 p ? 2016 ? 3 q , p ? 2016 ? 6 2016q ? 9q 。 由 p , q 为正整数知, 2016q ? 12 14 p 为整数。 ∴ 。同理, q ? 14 y 2 ( y 为正整数) 。 p ? 14 x 2 (其中 x 为正整数) 于是, x ? 3 y ? 12 ( x , y 为正整数) 。 ∴

? x?9 ? x?6 ? x?3 ,? ,? 。 ? ? y ?1 ? y ? 2 ? y ? 3

q) ? (14 ? 81, 14 ?1) ,或 (14 ? 36 , 14 ? 4) ,或 (14 ? 9 , 14 ? 9) 。 ∴ 满足条件的整数对 ( p , q) 的个数为 3。 ∴ 满足条件的整数对 ( p ,

? ? x ? ? ? 2x ? ? ? x2 ? , ? ? ? 10. ? x ? 表示不超过 x 的最大整数,则满足条件 ? 的 x 的取值范围 5 ? x? ? 2

为 【答案】 0 ? x ?


1 5 或 6?x? 2 2

2 【解答】 (1)当 x ? 0 时, ? x ? ? ?1 , ? 2 x ? ? ?1, ? ?x ? ? ? 0。



2 x ? 0 时,方程 ? x ? ? ? 2 x ? ? ? ?x ? ? 无解。

8

(2)当 0 ? x ? (3)当

1 x2 ? x2 ? ? 0 ,等式 ? x ? ? ? 2 x ? ? ? 时, ? x ? ? ? 2x ? ? 0 , ? ? ? 成立。 ? ? 2

1 x2 ? ? x ? 1 时, ? x ? ? ? 2x ? ? 1 , ? x2 ? ? 0 ,等式 ? x ? ? ? 2 x ? ? ? ? ? 不成立。 ? ? 2 3 9 x2 ? ? 1或 ? x2 ? 时, ? x ? ? ? 2x ? ? 3 。 1 ? x 2 ? , ? ? ? ? ??2。 2 4

(4)当 1 ? x ?

2 等式 ? x ? ? ? 2 x ? ? ? ?x ? ? 不成立。

(5)当

3 9 x2 ? ? 2或? ? x ? 2 时, ? x ? ? ? 2x ? ? 4 。 ? x 2 ? 4 , ? x2 ? ? ? ? ? ? 3。 2 4

2 等式 ? x ? ? ? 2 x ? ? ? ?x ? ? 不成立。

(6)当 2 ? x ?

5 5 x2 ? ? 6 知, 6 ? x ? 7 。于是, 6 ? x ? 。 时,? x ? ? ? 2x ? ? 6 ,由 ? ? ? 2 2 1 5 或 6?x? 。 2 2

综合得,满足条件的 x 的取值范围为 0 ? x ?

9

三、解答题(共 4 题,每小题 20 分,共 80 分) 11.如图,二次函数 y ? mx2 ? nx ? p 的图像过 A 、 B 、 C 三点,其中 C (?1, ? 1) ,点 A 、
B 在 x 轴上( A 在点 O 左侧, B 在点 O 右侧) ,且 sin ?BAC ?

5 2 5 , sin ?ABC ? 。 5 5

(1)求二次函数的解析式; (2)求 △ABC 外接圆的半径。

(第 11 题 图)

【解答】 (1)作 CE ? x 轴于 E ,则 CE ? 1 。 由 sin ?BAC ? ∴
EA ?

5 5 2 5 , sin ?ABC ? 知, CA ? , CB ? 5 。 5 2 5

1 , EB ? 2 。 2

3 0) ,点 B 坐标为 (1 , 0) 。 ∴点 A 坐标为 (? , 2

……… 5 分
(第 11 题答题图)

3 设所求二次函数的解析式为 y ? m( x ? )( x ? 1) 。 2

3 ? 1) 的坐标代入二次函数解析式,得 ?1 ? m(?1 ? )(?1 ? 1) 。 将点 C (?1, 2



3 1 3 m ? 1 ,二次函数得解析式为 y ? ( x ? )( x ? 1) ,即 y ? x 2 ? x ? 。 ……… 10 分 2 2 2 5 , AB 2 ? CA2 ? CB 2 。 2

(2)由(1)知, AB ? ∴ ∴
CA ? CB 。

………………………………… 15 分
1 5 AB ? 。 2 4

△ABC 外接圆的半径 R ?

…………………………………

20 分

10

12.已知关于 x 的方程 x2 ? 44 x ? n2 ? n ? 20 ? 0 有有理数根,求正整数 n 的值。 【解答】∵ ∴ 关于 x 的方程 x2 ? 44 x ? n2 ? n ? 20 ? 0 有有理数根,且 n 为正整数, …………… 5 分

△ ? 442 ? 4(?n2 ? n ? 20) ? 4n2 ? 4n ? 2016 为完全平方数

设 4n2 ? 4n ? 2016 ? k 2 ( k 为正整数) , 则 (2n ? 1)2 ? 2015 ? k 2 , k 2 ? (2n ? 1)2 ? 2015 ? 5 ?13? 31 。 ∴ ∵ ∴
(k ? 2n ? 1)(k ? 2n ? 1) ? 2015 ? 5 ?13 ? 31 。

…………… 10 分

k ? 2n ? 1 为正整数, k ? 2n ? 1 为整数,且 k ? 2n ? 1 ? k ? 2n ? 1 ,

? k ? 2n ? 1 ? 2015 ? k ? 2n ? 1 ? 403 ? k ? 2n ? 1 ? 155 ? k ? 2n ? 1 ? 65 ,或 ? ,或 ? ,或 ? 。 ? ? k ? 2n ? 1 ? 1 ? k ? 2n ? 1 ? 5 ? k ? 2n ? 1 ? 13 ? k ? 2n ? 1 ? 31
……………………… 15 分

? k ? 1008 ? k ? 204 ? k ? 84 ? k ? 48 解得, ? ,或 ? ,或 ? ,或 ? 。 ? n ? 503 ? n?8 ? n ? 99 ? n ? 35
∴ 正整数 n 的值为 503 或 99 或 35 或 8。 ………………… 20 分 注: n ? 503 时,方程化为 x2 ? 44 x ? 253532 ? 0 ,即 ( x ? 482)( x ? 526) ? 0 。
n ? 99 时,方程化为 x 2 ? 44 x ? 9920 ? 0 ,即 ( x ? 80)( x ? 124) ? 0 。 n ? 35 时,方程化为 x 2 ? 44 x ? 1280 ? 0 ,即 ( x ? 20)( x ? 64) ? 0 。 n ? 8 时,方程化为 x 2 ? 44 x ? 92 ? 0 ,即 ( x ? 2)( x ? 46) ? 0 。

11

13.如图,△ABC 是等腰直角三角形,CA ? CB ,点 N 在线段 AB 上(与 A 、 B 不重合) , 点 M 在射线 BA 上,且 ?NCM ? 45? 。求证: MN 2 ? AM 2 ? BN 2 。

(第 13 题)

【答案】如图,作点 A 关于直线 MC 的对称点 D , 连结 DA 、 DM 、 DC , DN ,则 △MDC ≌△MAC 。 ∵
△ABC 是 等 腰 直 角 三 角 形 , CA ? CB , 且 ?NCM ? 45? , ?DCN ? ?DCM ? ?MCA ? ?ACN ? ?DCM ? 45? , ?D C N ? ? B C。 N
(第 13 题答题图)

∴ ∴ ∴ ∴

?BCN ? ?BCA ? ?NCA ? 90? ? (45? ? ?MCA) ? 45? ? ?MCA ? 45? ? ?DCM 。

………………………………

5分

又 CD ? CA ? CB , CN ? CN 。
△D C N ≌△ B C。 N
N D? N B , ?CDN ? ?CBN ? 45? 。

…………………… 10 分

又由 △MDC ≌△MAC ,知
?CDM ? ?CAM ? 180? ? ?CAB ? 180? ? 45? ? 135? 。
?M D N ? ? M D C ? ? N D1C ? 35 M D? D N 。
2 2 M N2 ? D M ? DN ? 2 AM ? 2 B N 。

∴ ∴

?4 ?5

?9 ? 0 ? 。

……………………

15 分

又 MD ? MA , ∴ ∴ ∵ ∴ …………………… 20 分 …… 5 分 另解:如图, △CBN 沿 CN 翻折得 △CDN ,则 △DCN ≌△BCN 。
C D? C B ? C A DN ? BN , ?CDN ? ?CBN ? 45? , ?DCN ? ?BCN 。 , 9 ?0 ? ? ? ?A C 45 N? ? ?NCM ? 45? , ?D C M ? ? D C N ? ? MCN ? ? B4 C5 ? N ? 45? ? ?ACN ? ?ACM 。

………………… 10 分 …………………… 15 分

又 CD ? CA , CM ? CM 。 ∴ ∴ ∴
△D C M ≌△ A C 。 M
2 2 M N2 ? D M ? DN ? 2 AM ? 2 B N 。

M A? M D , ?CDM ? ?CAM ? 135? , ?MDN ? ?CDM ? ?NDC ? 90? 。

……………………

20 分

12

14.在 0 与 21 之间插入 n 个正整数 a1 , a2 ,…, an ,使其满足 0 ? a1 ? a2 ? L ? an ? 21 。 若 1,2,3,…,21 这 21 个正整数都可以表示为 0, a1 , a2 ,…, an ,21 这 n ? 2 个数中某 两个数的差。求 n 的最小值。 【解答】 ∵ n ? 2 个数至多可以表示 (n ? 1) ? n ? (n ? 1) ? L ? 2 ? 1 ? 且为正数的差。 ∴ 依题意有, ∴
n ? 5。

(n ? 1)(n ? 2) 个不同的 2

( n ? 1)( n ? 2) ? 21,即 (n ? 5)(n ? 8) ? 0 。 2

…………… 5 分

下面证明 n ? 5 不符合要求。 若 n ? 5 符合要求,则由 n ? 5 时,
(n ? 1)(n ? 2) ? 21 知,由 0, a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ,21 2

这 7 个数两两之差(大数减去小数)所得的下列 21 个数: a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ,21, a2 ? a1 ,

a3 ? a1 ,a4 ? a1 ,a5 ? a1 ,21 ? a1 ,a3 ? a2 ,a4 ? a2 ,a5 ? a2 ,21 ? a2 ,a4 ? a3 ,a5 ? a3 ,21 ? a3 ,

a5 ? a4 , 21 ? a4 , 21 ? a5 互不相同。于是它们是 1,2,3,…,21 的一个排列。……… 10 分
记这 21 个数的和为 S ,则

S ? (a1 ? 5a1 ) ? (2a2 ? 4a2 ) ? (3a3 ? 3a3 ) ? (4a4 ? 2a4 ) ? (5a5 ? a5 ) ? 6 ? 21
? ?4a1 ? 2a2 ? 2a4 ? 4a5 ? 6 ? 21 。可见 S 为偶数。

另一方面, S ? 1 ? 2 ? 3 ? L ? 21 ? ∴
n ? 5 不符合要求。

21? 22 ? 231 为奇数,与 S 为偶数矛盾。 2

…………………… 15 分

n ? 6 符合要求。如插入 2,5,8,12,19,20。 (不唯一)

可以验证: 用 0, 2, 5, 8, 12, 19, 20, 21 这 8 个数中某两个数的差可以表示 1, 2, 3, …, 21 中任意一个数。
2 ? 21 ? 19 , 3 ? 8?5, 4 ? 12 ? 8 , 5 ? 5?0, 6 ? 8? 2, 7 ? 19 ? 12 , 8 ? 20 ? 12 , ( 1 ? 21 ? 20 , 9 ? 21 ? 12 , 10 ? 12 ? 2 , 11 ? 19 ? 8 , 12 ? 20 ? 8 , 13 ? 21 ? 8 , 14 ? 19 ? 5 , 15 ? 20 ? 5 , 16 ? 21 ? 5 , 17 ? 19 ? 2 , 18 ? 20 ? 2 , 19 ? 19 ? 0 , 20 ? 20 ? 0 , 21 ? 21 ? 0 。 )

可见 n 的最小值为 6。

……………………

20 分

13


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