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22.1.4二次函数y=ax^2+bx+c的图像和性质(第2课时:待定系数法)


2 22.1.4二次函数y=ax +bx+c

图象和性质
y
---用待定系数法求二次函数解析式

o

x

二次函数的解析式有哪几种形式?
一般式 y=ax2+bx+c (a≠0)

顶点式

y=a(x-h)2+k (a≠0)

知识回顾:用待定系数法求函数的解析式 已知一次函数经过点(1,3)和 (-2,-12),求这个一次函数的解析式。
解:设这个一次函数的解析式为y=kx+b, 将点(1,3)和(-2,-12)代入,得 k+b=3 -2k+b=-12 解得 k=3,b=-6 所以一次函数的解析式为y=3x-6.

我们知道,由两点(两点的连线不与坐标轴平行)的坐标可以

确定一次函数,即可以求出这个一次函数的解析式。对于二次
函数,探究下面的问题: (1)有几个点的坐标可以确定二次函数?这几个点应满足什 么条件? (2)如果一个二次函数的图像经过(-1,10), (1,4), (2,7)三点,能求出这个二次函数的解析式吗?如果能,求 出这个二次函数的解析式。

Page ?4

解:设所求二次函数的解析式为 y=ax2+bx+c (a≠0) 由已知,函数图像经过(-1,10)(1,4)(2,7)三点, 得关于a,b,c的三元一次方程组


a-b+c=10 a+b+c=4 4a+b+c=7

解得

a= 2 b= -3 c= 5

待定系数法



所求二次函数是y=2x2-3x+5

一、设 二、代 三、解 四、回代

Page ?5

1、已知一个二次函数的图象过点(0,-3) (4,5) (-1, 0)三点,求这个函数的解析式?
解:设其解析式为y=ax2+bx+c (a≠0)

将点(0,-3)(4,5)(-1, 0)代入,得 a= 1 c=-3 x=0时,y=-3; 解得 b=-2 16a+4b+c=5 c= -3 a-b+c=0

x=4时,y=5;

∴ 所求二次函数的解析式为y=x2-2x-3

x=-1时,y=0;

2、已知抛物线过两点A(1,0),B(0,-3)且对称轴是 直线x=2,求这个抛物线的解析式。
解:∵A(1,0),对称轴为x=2 ∴抛物线与x轴另一个交点C应为(3,0)
y

将点(1,0)(0,-3)(3,0)代入,得

A o 1

2

C 3

a+b+c=0

x



解得 c=-3 9a+3b+c=0

a= -1 b= 4 c= -3

B -3

∴所求函数解析式为:y= -x2+4x-3

另法:已知抛物线过两点A(1,0),B(0,-3)且对称 轴是直线x=2,求这个抛物线的解析式。
解:∵A(1,0),对称轴为x=2 ∴抛物线与x轴另一个交点C应为(3,0)
y

∴设其解析式为y=a(x-1)(x-3) 将B(0,-3)代入上式
A o 1 2 C 3 x

∴-3=a(0-1)(0-3)
B -3

∴a=-1 ∴y= -(x-1)(x-3)=-x2+4x-3

3、 已知抛物线与X轴交于A(-1,0),B(1,0) 并经过点M(0,1),求抛物线的解析式?

解:设所求的二次函数为y=a(x+1)(x-1) 由条件得:点M( 0,1 )在抛物线上 所以:a(0+1)(0-1)=1 得 : a=-1 故所求的抛物线为 y=- (x+1)(x-1)
y x
o

即:y=-x2+1
思考: 用一般式怎么解?

3、 已知:抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示: y (1)求此抛物线的解析式;

(2)当x取何值时,y>0?
(3)将抛物线作怎样的一次

平移,才能使它与坐标轴仅有
两个交点,并写出此时抛物线

A -1 o -2.5 D C

B 5 x

的解析式。

求一次函数关系式常见方法: 1.已知图象上三点或三点的对应值,通常设解析
式为一般式:

y=ax2+bx+c (a≠0) y=a(x-h)2+k (a≠0)

2.已知图像的顶点坐标(h,k)或对称轴和最值,通
常设解析式为顶点式:
倍 速 课 时 学 练

3.已知图像与x轴两个交点坐标,通常选择交点
式:

独立 作业

知识的升华
数学课本第41页

习题22.1 10

祝你成功!

下课啦!

1、根据下列条件,求二次函数的解析式。 (1)、图象经过(0,0), (1,-2) , (2,3) 三点; (2)、图象的顶点(2,3), 且经过点(3,1) ;

(3)、图象经过(-1,0), (3,0) ,(0, 3)。

2、二次函数y= ax2+bx+c的对称轴 为x=3,最小值为-2,,且过点 (0,1),求此函数的解析式。 4、抛物线的对称轴是x=2,且过 点(4,-4)、(-1,2),求 此抛物线的解析式。

3、已知二次函数的对称轴是直线 x=1,图象上最低点P的纵坐标为

-8,图象经过点(-2,10),求这 个函数的解析式.

4、已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2, 图象顶点在直线y=x+1上,并且图象经过点 (3,-6),求此二次函数的解析式。
解:∵二次函数的最大值是2 ∴抛物线的顶点纵坐标为2 又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上 ∴当y=2时,x=1。 故顶点坐标为( 1 , 2) 所以可设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2
又∵图象经过点(3,-6) ∴-6=a (3-1)2+2 得a=-2 故所求二次函数的解析式为:y=-2(x-1)2+2 即: y=-2x2+4x



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