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电动力学-第1章-第2节-电流和磁场0925


电动力学 第一章 电磁现象的普遍规律
§1, 电荷和电场 §2, 电流和磁场 §3, 麦克斯韦方程组 §4, 介质的电磁特性 §5, 电磁场边值关系 §6, 电磁场的能量和能流

第二节 电流和磁场 (1) 一、电荷守恒定律
1,电流密度 J(矢量) , (矢量)

r 电荷的运动形成电流, 来描述电流密度。 电荷的运动形成电流, 通常用 J 来描述电流密度。 r r J = ρv r 其中 ρ 代表电荷密度,v 代表电荷运动的平均速度。
方向:沿着该点上的电流方向; 单位时间垂直通过单位面积的电量。 大小:数值上等于单位时间垂直通过单位面积 单位时间垂直通过单位面积 如有几种带电粒子,其电荷密度分别为 ρ i ,平均速度 r r 为 vi ,则有: r

J = ∑ ρ i vi

第二节 电流和磁场 (2)
2,电流强度 I , 单位时间内垂直穿过导线横截面的电量。 单位时间内垂直穿过导线横截面的电量。

I = dq/dt
3,I 和 J 的关系 , 通过面元 dS 的电流 dI 为:

r r dI = JdS ′ cos θ = J ? dS ′
r r I = ∫ J ? dS ′
S

r J )θ r dS ′

通过任一曲面 S 的总电流强度 I 为:

第二节 电流和磁场 (3)
4,电荷守恒定律 , 1) 语言描述: 语言描述: 内的总电荷严格保持不变。 封闭系统内的总电荷严格保持不变 封闭系统内的总电荷严格保持不变。 总电荷不可能产生或消灭,在一个地方电荷增加了, 总电荷不可能产生或消灭,在一个地方电荷增加了, 另一地方的电荷必然减少,而且增加和减少的量值相等。 另一地方的电荷必然减少,而且增加和减少的量值相等。 对于开放系统, 对于开放系统,单位时间流出电荷总量等于封闭曲面 S 开放系统 内总电荷的减少率。 内总电荷的减少率。

第二节 电流和磁场 (4)
2) 积分形式: 积分形式:

r r 单位时间流出的总电量: 流出为正,流入为负) 单位时间流出的总电量:∫ J ? dS ′ (流出为正,流入为负) S d dQ = ? ∫ ρ dV ′ 内总电荷的减少率: 封闭曲面 S 内总电荷的减少率: ? dt V dt r r d ?ρ ∴ ∫ J ? dS ′ = ? ∫ ρ dV ′ = ? ∫ dV ′ S V ?t dt V ?t ——这是电荷守恒定律的积分形式。 这是电荷守恒定律的积分形式 这是电荷守恒定律的积分形式。

为全空间, 为无穷远处的界面, 若 V 为全空间,S 为无穷远处的界面,由于在 S 上没有 r r 电流流出, 电流流出,因而 J ? dS ′ = 0



S

d 这时全空间的总电荷守恒, 这时全空间的总电荷守恒,即: ∫V ρ dV ′ = 0 dt

dQ 总电量不随时间变化, 总电量不随时间变化,故 =0 dt

第二节 电流和磁场 (5)
3) 微分形式: 微分形式:

r r r ?ρ ( Q ∫ J ? dS ′ = ∫ ? ? J dV ′ = ∫ ? )dV ′ V S V ?t r ?ρ ∫(? ? J + ?t ) dV ′ = 0 V
而曲面S (所包围的V)是任意选取的,所以被积函数恒为零,

r ?ρ ∴ ??J + =0 ?t
这就是电荷守恒定律的微分形式,称为电流连续性方程 电流连续性方程。 电流连续性方程

第二节 电流和磁场 (6)
4) 讨论: 讨论:

r ?ρ ??J + =0 ?t

反映了空间某点 ρ (x) 与 J (x) 之间的变化关系,电流线一般 不闭合。 若空间各点 ρ 与 t 无关,则

?ρ =0 ?t r ??J = 0

直流电) 稳恒电流 (直流电 直流电

这就表示稳恒电流的电场线分布无源,处处连续,没有发 源点和终止点,因而是闭合的。 ρ 与 J 均与 t 无关时,恒定电流只能够在闭合回路中通过, 电路一断,直流电就不能够通过。

第二节 电流和磁场 (7) 二、毕奥-萨伐尔 (Biot-Savart) 定律 毕奥 萨伐尔 1,磁场 ,
1820年4月,丹麦物理学家奥斯特在向学生做演 示实验时发现载流导线附近的磁针因受力而偏 转(课堂上获得的重大发现)。 ---- “电流具有磁效应”的首次实验验证。 1920年9月,法国科学家安倍发现两条平行导线当电流同 向时互相吸引,电流异向时互相排斥。 电流之间存在作用力,这种作用力是通过一种物质作为 媒介来传递,这种特殊物质称为磁场。 磁场也是物质存在的形式,用磁感应强度 B (x,y,z,t ) 来描述。

第二节 电流和磁场 (7) 2,毕奥-萨伐尔定律 --- 电流和磁场的相互作用 ,毕奥 萨伐尔定律
1820年,法国物理学家毕奥和萨伐尔 (J. B. Biot & F.Savart) 通过实验测量了长直电流线附近小磁针的受力规律,发表了 题为 “运动中的电传递给金属的磁化力” 的论文,后来人 们称之为毕奥-萨伐尔定律 。 在数学家拉普拉斯的帮助下,以数学公式表示出这一定律。

第二节 电流和磁场 (8)
恒定电流激发磁场由毕奥–萨伐尔定律给出。 设 J (x’) 为源点 x’上的电流密度,r 为由 x’ 点到场点 x , 的距离。电流元 J (x’) dV ’ 在场点所激发的磁场为

r s r r r ? 0 J ( x′) × r dB( x ) = dV ′ 3 4π r
则区域 V 内所有的电流所激发的磁感应强度 (满足叠加原 理) 为:

r r ?0 B( x ) = 4π



V

r r r J ( x′) × r dV ′ 3 r

第二节 电流和磁场 (9)
若激发磁场的源是面电流σ(x’),则面电流元σ(x’) dS’ 在场 ,则面电流元 点所激发的磁场为:

则面 S 内所有的电流所激发的磁感应强度为:

r r r r r ? 0 σ ( x′) × r dB( x ) = dS ′ 3 4π r

r r r r r ? 0 σ ( x′) × r B( x ) = ∫S r 3 dS ′ 4π

细导线上恒定电流的线电流元 Idl 激发的磁场为: r

则闭合回路 L 内所有的电流所激发的磁感应强度为:

r r r ?0 I d l × r dB( x ) = 4π r3

r r r r ?0 I d l × r B( x ) = ∫L r 3 4π

第二节 电流和磁场 (10) 三、磁场的散度、旋度和安倍环路定理 磁场的散度、
r r r 1 r ? = ? 3 , ? × J ( x′) = 0 . r r r r r Q ? × ? f ) ??) f + ? ? × f ( = ( × 公式见附录 (I.20) r r 1 r r 1 r r 1 ? r r 1? ∴ ? × ? J ( x′) ? = (? ) × J ( x′) + ? × J ( x′) = (? ) × J ( x′) r r? r r ?
1,磁场的散度 , 算符?对 x 的微分算符,与 x’ 无关,可得: ?

r r 毕-萨 B ( x ) = ? 0 定律 4π

?0 = 4π

r r r ?0 r r 1 J ( x′) × r dV ′ = ? ∫V J ( x′) × (? r )dV ′ ∫V r 3 4π r r ?0 J ( x′) ? r r 1? ?×∫ dV ′ ? × ? J ( x′) ? dV ′ = ∫V ? V 4π r r?

r r r ?0 J ( x′) B( x ) = ?×∫ dV ′ V 4π r r r ? 0 J ( x′) r r 令: A = ∫V r dV ′ , 则: B = ? × A 4π
因为矢量场的旋度必为无源场,即

第二节 电流和磁场 (11)

r r r ? ?? × A = 0, ? ? B ( x ) = 0
2,电磁通量 ,

Φ=



S

r r r B ( x ) ? dS =

∫(
V

r r ? ? B ( x ) dV

)

=0

(1) 电流激发的磁感应强度 B 对任何闭合曲面的总通量为零。 静磁场 B 为无源场,磁力线总是闭合的, (2) 它不仅适用于静磁场,它也适用于变化磁场。

第二节 电流和磁场 (12)
3,磁场的旋度 ,

r r 前面已得到: B = ? × A r r r r r 2 ∴ ? × B( x ) = ? × (? × A) = ?(? ? A) - ? A r r r ? 0 J ( x′) r 先计算 ? ? A , 又 A = ∫V r dV ′ 4π
r r r ?0 ?0 ? J ( x′) ? ?? A = ∫V ? ? ? r ? dV ′ = 4π 4π ? ?

r r 1 ∫V J ( x′) ? ? r dV ′

1 1 ( r 的函数对 x 微分与对 x’微分仅差一负号) Q ? = ?? ′ r r

r ?0 ∴ ?? A = ? 4π

r r 1 ∫V J ( x′) ? ?′ r dV ′

第二节 电流和磁场 (13) r ?0 r r 1 ?? A = ? ∫V J ( x′) ? ?′ r dV ′ r 4π r r 公式见附录 (I.19) Q ?(? f ) (??) f + ? ? ? f ? r = ? r r r J ( x′) r r 1 1 ∴ ?′ ? = J ( x′) ? ?′ + ?′ ? J ( x′) r r r r r r r ? J ( x′) ? ?0 ?0 1 ∴ ?? A = ? ∫V ?′ ? ? r ? dV ′ + 4π ∫V r ?′ ? J ( x′) dV ′ 4π ? ? r r r r ? 0 J ( x′) r ? 0 1 =? ∫S r ? dS ′ + 4π ∫V r ?′ ? J ( x′) dV ′ = 0 r 4π 故 ?? A = 0
右边第一项:由于积分区域包括所有 电流在内,没有电流通过闭合区域的 界面 S ,因而这面积积分为零。 右边第二项:由恒定电流的 r 连续性,?′ ? J ( x′) = 0 , 因 此这积分也等于零。

第二节 电流和磁场 (14)
r s r r ? 0 J ( x′) 2 再计算 ? A , Q A = ∫V r dV ′ 4π r r r ?0 ?0 r r 2 1 2 2 ? J ( x′) ? ∴ ? A= ∫V ? ? r ? dV ′ = 4π ∫V J ( x′)? r dV ′ 4π ? ?
1 r r 利用 ? = ?4πδ ( x - x ′) 可得: rr r r r r r r 2 ? A = ? ? 0 ∫ J ( x′) ? δ ( x - x′)dV ′ = ? ? 0 J ( x )
2

r r (1) 磁场为有旋场,但在 J (x ) 无分布区域,场的旋度为零;
(2) 稳恒电流是激发静磁场的涡旋源。

r r r r r 2 ∴ ? × B( x ) = ? × (? × A) = ?(? ? A) - ? A r r r 2 = ?? A = ? 0 J ( x )

V

第二节 电流和磁场 (15)
3,磁场的旋度方程 ,



L

r r r r r r B( x ) ? dl = ∫ ? × B( x ) ? dS ′
S

= ?0 ∫

S

r r r J ( x ) ? dS ′ = ? 0 I

(1) 其中 L 为任一闭合曲线,I 为通过 L 所围成曲面的总 电流,不通过 L 所围成曲面的电流对环量没有贡献。 (2) 磁场沿闭合曲线的环量与通过闭合曲线所围成的电流 I 成正比。 (3) 此方程也称为安倍环路定理 安倍环路定理。仅由它还不足以确定一个 安倍环路定理 矢量,当电流分布具有明显的对称性时,也可直接计算出 磁场的分布。

第二节 电流和磁场 (16) 四、安培作用力定律
----

通电物体在磁场中受力大小的实验定律

线电流元: 体电流元:

r r r dF = Id l × B
r r r dF = ( Jd V ) × B

r r r 在闭合回路中: F = Id l × B ∫L r r r 或 F = ∫ J × B dV
V

第二节 电流和磁场 (17)
2,两电流元之间的相互作用力 , r r r r 它们相距 r12 = r21 设两个体电流元分别为 J1 d V1 ,J 2 d V2 , r r r r r ? 0 J1dV1 × r12 J1 d V1 在 r12 处产生的磁感应强度为:dB1 = 3 r r12 4π J 2 d V2 受到的作用力: r r r r r r ? 0 J 2 × ( J1 × r12 ) dF12 = J 2 dV2 × dB1 = dV1dV2 3 4π r12

r r r r r ? 0 J 2 dV2 × r12 J1 d V1 在 r21 处产生的磁感应强度为:dB2 = 3 4π r21 r r r r J1 d V1 受到的作用力:
r r r ? 0 J1 × J 2 × r21 dF21 = J1dV1 × dB2 = dV1dV2 3 4π r21

(

)

在一般情况下

r r dF12 ≠ dF21

第二节 电流和磁场 (18)
将Ampere’s law与Coulomb’s law比较,可看到电流元之间 的相互作用力:a) 也服从平方反比律; b) 方向不具有有心性质; c) 不满足Newton第三定律。 3,两通电闭合导线回路之间的相互作用力 ,

r r r d F12 = I 2 d l2 × dB1 r r r r r r ? ? 0 I1 d l1 × r12 ? ? 0 I1 I 2 d l2 × d l1 × r12 = I 2 d l2 × ? ?= 3 3 4π r12 4π r12 ? r r ?r r r r r ? 0 I1 I 2 (d l2 ? r12 ) d l1 ? (d l2 ? d l1 ) r12 F12 = 3 4π ∫L2 ∫L1 r12 r r r (d l2 ? d l1 ) r12 ? 0 I1 I 2 =? 3 4π ∫L2 ∫L1 r12

(

)

第二节 电流和磁场 (19) 五、总结
静磁场的基本方程: 静磁场的基本方程:

r 微分形式: ? × B = ? 0 J , ??B = 0 r r r r r r r 积分形式: ∫ B( x ) ? dl = ?0 J , S B ( x ) ? d S = 0
L



磁场为无源有旋场,磁力线总是闭合的,它的激发源是 流动的电荷(电流) 。

第二节 电流和磁场 (20)
例题: 例题:电流 I 均匀分布于半径为 a 的无穷长直导线内,求空间 各点的磁场强度,并由此计算磁场的旋度。 解:在与导线垂直的平面上作一半径为 r 的圆,圆心在导线 轴上。由对称性,在圆周各点的磁感应强度有相同数值,并 沿圆周环绕方向。 I 1) 先求磁感应强度: r (1) 当 r > a 时,通过圆内的总电流为 I,

r r 用安培环路定理得: ∫ B ? dl = 2π r B = ?0 I
L

因此可以得出: 因此可以得出:

r ?0 I r B= e? 2π r
式中

r e?

为圆周环绕方向单位矢量。 为圆周环绕方向单位矢量。

第二节 电流和磁场 (21)
(2) 若 r < a,则通过圆内的总电流为

应用安培环路定理得

r r π r2I r2 I ′ = J ? ?SS = π r 2 J = J = 2I 2 πa a

r ? 0 Ir r r r r2 ∫L B ? d l = 2π r B = ?0 I ′ = ?0 a 2 I ? B = 2π a 2 e?

2) 用柱坐标的公式求磁场的旋度

r ?0 I r r (1) 当 r > a 时,B = e? = B? e? , Br = 0 , Bz = 0 2π r r ?B r r 由附录 (I.36) 可得: ? × B = ? ? e + 1 ? (rB )e , r ? z r ?r ?z =0

第二节 电流和磁场 (22)

r ? 0 Ir r r (2) 若 r < a, B = e = B? e? , Br = 0 , Bz = 0 2 ? 2π a r ?B? r 1 ? r 由附录 (I.36) 可得: ? × B = ? er + (rB? )ez , r ?r ?z 2 1 ? ? 0 Ir r = ( )e z , 2 r ?r 2π a r ?0 I r = e = ?0 J 2 z πa
某点邻域上的磁感应强度的旋度只和该点上的电流密度有关。

第二节 电流和磁场 (23)
练习题: 练习题: 一个半径为 a 的通有稳恒电流为 I 的无限长圆柱体, 内有一半径为b的圆柱形空腔,空腔轴心 O′离开圆柱轴心O ′ 的距离为 d 。求: (1)空间各点的磁场B;(2)空间各点处B的散度及旋度。 ; x2

a
φ

b

o O′(c, 0)

x1

第二节 电流和磁场 (24)
解:先将系统看成两个柱体,通过 电流密度大小相同而方向相反的电 流,其中半径为a 的柱体电流与原 电流同向。 对于大的圆柱体,安培环路定律: x2
r Ba
R

r P( x )
r R′ Bb
b

a
φ

o O′(c, 0)

r r ∫L Ba ? d l = ?0 I a =r2πRBa ?0 I a ?0 I a r ? Ba = , Ba = e? 2πR 2πR a2 I 2 (i) 当 R > a 时, I a = π a = 2 2 I 2 2 π (a - b ) (a - b ) I R2 2 (ii) 当 R < a 时,I a = π R = 2 2 I 2 2 π (a - b ) (a - b )

x1

第二节 电流和磁场 (25)
r ?0 I a r Ba = e? 2πR
? ?0 a 2 I r e? ? 2 2 ? 2π (a ? b ) R =? ?0 RI r ? e? 2 2 ? 2π (a ? b ) ? ( R > a) ( R < a)
a
φ

x2

r Ba
R

r P( x )
r R′ Bb
b

o O′(c, 0)

x1

对于小的圆柱体,同理可得:

? ? 0b 2 I r e? ′ ?? 2 2 r ? 0 I b r = ? 2π (a ? b ) R′ Bb = ? e? ′ ? ? 0 R′I r 2πR′ ?? e? ′ 2 2 ? 2π (a ? b ) ?

( R′ > b) ( R′ < b)

第二节 电流和磁场 (26)
所求磁场为: x2
r Ba
R

r P( x )
r R′ Bb
b

r r r B = Ba + Bb

r = (? Ba sin ? + Bb sin ? ′) e1 r + ( Ba cos ? ? Bb cos ? ′) e2

a
φ

o O′(c, 0)

x1

区域 I, R > a , ,

r B1 =

?? ?r a2 b2 ? ? 2 + e + 2 2 ?? 2 2 2? 1 2π (a ? b ) ?? x1 + x 2 ( x1 ? c) + x 2 ? ? ??

? 0I

? a 2 x1 ( x1 ? c) ? r ? ? +? 2 ? e 2 2 2 ? 2? ? x1 + x 2 ( x1 ? c) + x 2 ? ? ? ? ?

第二节 电流和磁场 (27)
x2
r Ba
R

r P( x )
r R′ Bb
b

a
φ

o O′(c, 0)

x1

区域 II, R′ > b ,R < a ,

r B2 =

?? ? r b2 ? ?1 + ? x 2 e1 + 2 2 ?? 2 2π (a ? b ) ?? ( x1 ? c) + x 2 ? ? ? ? 2 ? b ( x1 ? c) ? r ? ? + ? x1 ? e 2 2 ? 2? ( x1 ? c) + x 2 ? ? ? ? ? ?

? 0I

第二节 电流和磁场 (29)
区域 III, R′ < b , x2
r Ba
R

r P( x )
r R′ Bb
b

r B3 =

2π (a 2 ? b 2 )

? 0Id

r e2

a
φ

o O′(c, 0)

x1

对于磁场散度和旋度,直接运算有:

r r r ? ? B1 = ? ? B2 = ? ? B3 = 0 r r ? × B1 = ? × B3 = 0
r ? × B2 =

π (a 2 ? b 2 )

?0 I

r r e2 = ? 0 J



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