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人教版高中数学必修三 第二章 统计第三章简单随机抽样-知识点

第三章 简单随机抽样 第一节 简单随机抽样概述 一、简单随机抽样的概念 简单随机抽样也叫作纯随机抽样。其概念可有两种等价的定义方法: 定义之一:简单随机抽样就是从总体 N 个抽样单元中,一次抽取 n 个单元时,使全部可 能的 A ?( N n ) 种不同的样本被抽到的概率均相等,即都等于 1/A。 按简单随机抽样,抽到的样本称为简单随机样本。 按上述定义, 在抽取简单随机样本之前, 应将所有可能的互不相同的样本一一列举出来。 但当 N 与 n 都比较大时,要列出全部可能的样本是不现实的。因此,按上述定义进行抽样是 不太方便的。 定义之二:简单随机抽样是从总体的 N 个抽样单元中,每次抽取一个单元时,使每一个 单元都有相等的概率被抽中,连续抽 n 次,以抽中的 n 个单元组成简单随机样本。 由于定义二无需列举全部可能的样本, 故比较便于组织实施。 但按这个定义进行抽样时, 仍然需要掌握一个可以赖以实施抽样的抽样框。 二、简单随机抽样的具体实施方法 常用的有抽签法和随机数法两种。 (一)抽签法 抽签法是先对总体 N 个抽样单元分别编上 1 到 N 的号码, 再制作与之相对应的 N 个号签 并充分摇匀后,从中随机地抽取 n 个号签(可以是一次抽取 n 个号签,也可以一次抽一个号 签,连续抽 n 次),与抽中号签号码相同的 n 个单元即为抽中的单元,由其组成简单随机样 本。 抽签法在技术上十分简单, 但在实际应用中, 对总体各单元编号并制作号签的工作量可 能会很繁重,尤其是当总体容量比较大时,抽签法并不是很方便,而且也往往难以保证做到 等概率。因此,实际工作中常常使用随机数法。 (二)随机数法 随机数法就是利用随机数表、 随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样。 由于计算机 产生的随机数实际上是伪随机数,不是真正的随机数,特别是直接采用一般现成程序时,产 生的随机数往往不能保证其随机性。因此,一般使用随机数表,或用随机数骰子产生的随机 数,特别在 n 比较大时。 1、随机数表及其使用方法 随机数表是由 0 到 9 的 10 个阿拉伯数字进行随机排列组成的表。 所谓随机排列,即每个数字都是按等概和重复独立抽取的方式排定的。在编制时,使用 一种特制的电器或用计算机,将 0 至 9 的 10 个数字随机地自动摇出,每个摇出的数字就是 一个随机数字。为使用方便,可依其出现的次序,按行或按列分成几位一组进行排列。根据 不同的需要,它们所含数字的多少以及分位和排列的方式尽可以不同。 目前,世界上已编有许多种随机数表。其中较大的有兰德公司编制,1955 年出版的 100 万数字随机数表,它按五位一组排列,共有 20 万组;肯德尔和史密斯编制,1938 年出版的 10 万数字随机数表,它也按五位一组排列,共有 25000 组。我国常用的是中国科学院数学 研究所概率统计室编印的《常用数理统计表》中的随机数表。 随机数表的用途很多,不仅可以组织等概样本,也可组织不等概样本。 简单随机抽样属等概率抽样,在使用随机数表时,要注意以下几点: 第 1 页 共 11 页 ①每次使用时,确定使用哪页及哪行哪列的数字为起点,必须是随机的。 ②设总体容量为 N,若 N 的位数为 r,则一定要从 r 位数中抽取。遇到 1 至 N 的数可直 接使用;遇到其它的数不能直接使用。 ③当 r≥2 时,可从含有起点数字左边的 r 位数开始,也可从右边的 r 位数开始。可从 起点开始向下抽取,也可向右抽取。但一经确定使用哪一种方式,就必须用一种方式抽取全 部单元号,中途不能变更。 ④在重复抽样时,遇到重复的数字应重复使用;在不重复抽样时,遇到重复的数字应舍 去不用。 随机数表法一般分下述几步: 第一步:确定起点页码,如用笔尖在随机数表上随机指定一点,若落点数字(或距落点 最近的数字)为奇数,则确定起点在第 1 页;否则,起点在第二页。 第二步:确定起点的行数与列数,先在表上随机指定一点,由落点处的两位数确定起点 的行数。由于每页只有 50 行,所以当落点处的两位数大于 50 时,则取其减去 50 的差数为 行数。为保证等概性,当落点处的数为“00”时,则行数应取作 50。然后依同样的方法再 确定起点的列数。 第三步:确定所抽样本单元的号码。从上述确定的起点开始向下(或向右),每次取一个 r 位数。通常,若所需抽的数是一位数或两位数(即 r=1 或 2),则由起点开始,依次向右抽 取较方便,达到该行右端时,从下一行左端开始继续向右抽取;若所需抽的数是三位及以上 (即 r≥3)则由起点开始依次向下抽取较方便,达到最后一行时,向右移 10 位(或 r 位),再 从第一行开始向下继续抽取, 直到取足所需的 n 个 r 位数为止, 以这 n 个 r 位数所对应的总 体单元组成样本。 然而,按上述步骤抽样,由于每个总体单元只对应一个数字,因此,所读取随机数的放 弃比例可能很高,这在大样本时将使抽样过程变得很费事。为避免这种现象,可以在不违反 等概率原则的条件下令每个总体单元同时对应多个数字,以加快抽样的速度。 一般说来,当 N 为一个 r 位数字时,要取一个从一到 N 间的随机数字,可以随机取 1 至 N ? 的一个数字,其中 N ? 为 N 的最大 r 倍的整倍数。如果 N ? 为 kN,总体内每一单元便 配上 1 到 N ? 的 k 个数,符合随机数字的单元算是中选,此时放弃的随机数字比例便是 r r (10 - N ? )/10 。这时的 N ? 也不一定要取 r 位,如果能取 r ? 位( r ? >r),而使 N 的 r ? 位整位 数与 N ? 相差极小即可。 快速抽取的常用方法有: 余数法。 如果 N 是个 r 位数, 由 1 到 N ? 随机取一个数 R, 而 N ? 是 N 的最大 r 位整倍数, 则编号等于 R 除 N 所得余数的单元便被选中。 商数法。如果 N 是个 r 位数,由 0 到 N ? -1 随机取出一个数 R 而使 N ? 是 N 的最大


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